无穷小与无穷大-极限运算法则

第四节

无穷小与无穷大

当一、无穷小定义1例如:函数当时为无穷小;函数

时为无穷小;若函数y

f(x)在自变量x的变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中，f(x)为无穷小量，简称无穷小。注：（1）无穷小量是以零为极限的变量。（2）0是特殊的无穷小，很小的数不是无穷小。例1：当时，下列变量中不是无穷小的是（）ABCDB定理1(无穷小与函数极限的关系)其中思考：时，吗？这个能写出来吗？函数以为极限的充分必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和，即二、无穷小的性质定理1有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。定理2

有界变量乘无穷小量仍然是无穷小量。推论1：常数乘无穷小量仍然是无穷小量。

推论2：无穷小量乘无穷小量仍然是无穷量。

无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小思考：无穷多个无穷小的代数和是否无穷小呢？因为由无穷小的性质，得又因为是无穷小，，即x

时，是有界变量，，所以解：三、无穷大定义2

若在自变量x的某个变化过程中，函数绝对值可以任意的大，则称在该变化过程中，f(x)为无穷大量，简称无穷大，记作

例如当x0时，是无穷大；当x

时，x3，x

都是无穷大。注意:无穷大不是很大的数，它是描述函数的变化趋势.2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真!四、无穷小与无穷大的关系例如，当x0时，x2是无穷小量，而是无穷大量。若为无穷大,为无穷小

;若为无穷小,且则为无穷大.则定理2.

在自变量的同一变化过程中,例如，当x

时，x2

是无穷大量而是无穷小量。作业P42习题1-46第五节极限运算法则

一、无穷小的运算法则定理1有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。定理2

有界变量乘无穷小量仍然是无穷小量。推论1：常数乘无穷小量仍然是无穷小量。

推论2：无穷小量乘无穷小量仍然是无穷量。

推论：当C为常数，n为正整数，有定理3设则二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则

定理6.设且

x满足时,又则有例1求(1)(2)四、求极限的常用方法直接代入法有理整函数或者分式函数一般采用直接代入法。结论:.,0)(0则商的法则不能应用若=xQ)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx®®®=则有且设,0)(,)()()(.20¹=xQxQxPxfnnnaxaxa+++=-L10100nnxxnxxxxaxaxaxf+++=-®®®L110)lim()lim()(lim000则有设,)(.1110nnnaxaxaxf+++=-L例

1

求例

2

求解：解：例3求解解例4(消去零因子法)

通过约分.,,1分母的极限都是零分子时®x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x例5

求解：(消去零因子法)

通过有理化例6求解(无穷小因子分出法).,,分母的极限都是无穷大分子时¥®x.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.为非负整数时有和当nmba,0,000¹¹ïïïîïïïíì<¥>==++++++--¥®,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当LL利用无穷小的性质复合函数极限运算法则无穷小和无穷大之间的关系小结常见极限类型求解方法：分子、分母同时除以最高次方消去分子或分母趋于零的因式通分进行求解¥-¥型0¥型例

求解：例

求解：例

求解：例

求解：例

求解：例求解：例求解：例求例求解先变形再求极限.是无穷小之