复数讲义高三数学一轮复习

第18讲复数教师版【知识必备】1.复数的一般形式：（其中为实部，为虚部）2.复数的化简：3.复数的分类：（1）当为实数时（2）当为虚数时（3）当为纯虚数时（4）当为一般虚数时4.复平面的对应：复数与复平面上的点一一对应备注：实轴即轴，虚轴即轴5.复数相等：6.复数的模：7.共轭复数：8.复数的运算性质：【题型精讲】【题型一复数的运算】1．计算．(1)；(2)．【答案】(1) (2)【详解】（1）；（2）2．复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，所以虚部为，3．（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，4．复数z满足：（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设，则，由得，，解得，．5．已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，，则，，∴.6．若复数（其中i为虚数单位），则（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】因为，则.7．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意．8．已知复数，则复数z的模为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以．9．复数的共轭复数是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以复数的共轭复数是.10．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，则.11．设复数z满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．2【答案】D【详解】由可得，故，则的虚部为2，12．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解析：因为，所以，13．若，则等于（

）A．2 B．6 C． D．【答案】B【详解】,所以.14．已知复数z满足，则（

）A． B．0 C．4 D．5【答案】D【详解】由，则有，所以.15．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】，故复数z在复平面内所对应的点位于第二象限,16．已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，，所以.17．若(为实数，为虚数单位)，则________.【答案】3【详解】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以.18．已知复数、满足，且．求的值．【答案】【详解】因为，所以．又，所以，所以，所以．因为，所以．【题型二复数的分类】19．已知复数，其中.(1)若为实数，求的值；(2)若为纯虚数，求的值.【答案】(1) (2)【详解】（1）若z为实数，则，解得．（2）若为纯虚数，则，解得，∴，故，20．若复数是纯虚数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】为纯虚数，，，21．已知复数，其中，若是实数，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【详解】因为复数，且是实数，则，22．已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】复数是纯虚数，，且，故，.故复数在复平面内对应的点在第一象限，23．设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题知，，因为存在实数，使得为实数，所以关于的方程有实数根，所以，有实数根，所以，即所以，的取值范围是24．已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【详解】因为为纯虚数，所以，解得.25．已知，且为实数，则实数（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】因为为实数，所以.26．已知复数是纯虚数，是实数，则（

）A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【详解】由题意设，则，因为是实数，所以，得，所以，所以，27．若复数为纯虚数，则实数（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【详解】,因为复数为纯虚数，，解得28．若为纯虚数，则复数的虚部为__________.【答案】1【详解】，因为纯虚数，所以，且，解得，得，所以虚部为1.【题型三复数的几何意义】29．已知，则对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】,，在复平面对应的点为，在第四象限.30．复数在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，该复数在复平面内对应的点的坐标为．31．在复平面内，复数对应的点为，设是虚数单位，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，，所以，，故.32．已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，则，其虚部为.33．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】由得，复数所对应的点为，位于第一象限34．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由已知，则z的共轭复数为，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.35．已知复数，i是虚数单位），是实数.(1)求b的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵，∴∵是实数，∴，解得.（2）由（1）知,∴，∵复数在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得，故实数m的取值范围是.36．已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】根据题意，得，所以．所以在复平面内对应的点为，位于第四象限．37．已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】，对应点坐标为，位于第二象限.38．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由图形知，点，复数，，所以复数的虚部为.39．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第四象限，40．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.【答案】【详解】因为，，，所以，，，所以，所以.【题型四复数对应方程问题】41．已知复数是方程的一个根，求和的值．【答案】p=6，q=10【详解】由一元二次方程根的性质可知：是方程的另一个根，由韦达定理知：；综上，.42．若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【详解】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，故该方程的另一个复数根是.43．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】设复数的平方根为，则，化简，所以，，解得，或，，即复数的平方根为或，44．方程的解为______．【答案】或【详解】，故方程的两根为或.故答案为：或.45．若实系数一元二次方程的一个根是，则这个方程可以是______．【答案】【详解】设一元二次方程为，设这个一元二次方程的一个根是，另一个根为，由韦达定理可得：，，这个一元二次方程的系数都为实数，，都是实数，则与都是实数，则一定为虚数，设，则为实数，得，解得，为实数，得，解得，则，则，，即，，则一元二次方程为，化简为：，46．设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和.【答案】满足条件的复数之和为.【详解】设则原方程变为，所以若，则，但当时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①②，故满足条件.若，则由②知，但显然不满足①，故只能是，代入①解得，进而，相应有.综上所述，满足条件的复数之和为.【多选练习】47．若复数，，则下列说法正确的是（

）．A．B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限C．的实部为13D．的虚部为【答案】ABC【详解】由题意得，，故A正确；在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故B正确；∵，∴的实部为13，虚部为11，故C正确，D错误．48．已知复数，则下列选项正确的是（

）A．z的虚部为1B．C．为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第一象限【答案】AC【详解】，则z的虚部为1，选项A正确；，选项B错误；为纯虚数，选项C正确；在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；49．已知复数，则下列结论中正确的是（

）A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2C． D．【答案】CD【详解】，所以，z对应的点位于第一象限，A错误；的虚部为,B错误；，C正确；，D正确，50．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（

）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．【答案】AD【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；对于C：，则，C错误；对于D：，则，D正确.51．已知复数满足，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则 D．【答案】BD【详解】设则，不满足，也不满足，故选项AC错误；对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；对于D，设，则，所以，，故选项D正确；52．已知复数z满足，则下列说法中正确的是（

）A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为 D．【答案】AD【详解】因为，所以，，有，故A正确；复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误；复数的共轭复数为，故C错误；因为，故D正确，53．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（

）A． B．C． D．在复平面内对应的点位于第二象限【答案】BC【详解】对于A，由，得，故A错误；对于B，由，得，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，由，得，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误.54．已知复数，，则下列结论中一定正确的是（

）A．若，则或 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【详解】对于A，

设，若，则，所以，即，所以，若，则成立，此时；若，由得，由得，此时；若，由得，所以，此进，所以若，则或，故A正确；对于B，设则，故B不正确；对于C，设，所以，若，则或，所以，故C正确；对于D，由，取，满足条件，而，故D不正确.55．已