培优专题26相似三角形的一线三等角模型-原卷版

培优专题26相似三角形的一线三等角模型【专题讲解】1.常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型2.模型构造图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度3.构造步骤：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是45°等倾斜直线；构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊角的Rt△；例：如右图，当∠ABP=45°时，∵∠ABP在y轴上，∴在y轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE，△PHG，则在y轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴4.模型特例——K型图（三垂定理）性质：性质：普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。应用：当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K型图”解题当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K型图”解题由“K型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算“K型图”常和“A字图”或“8字图”类的平行相似结合在一起求长度“K型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂线。如图：【专题训练】1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（

）A． B． C． D．2．（2020·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝上运动，则m的值为(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-183．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（）A．16 B．8 C．8 D．164．（2020·重庆九年级阶段练习）如图，点是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是（

）A． B． C． D．5．（2020·重庆九年级阶段练习）如图，点是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为边作等边，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．7．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=____．8．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________9．（2019·浙江·九年级期末）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为_____．10．（2021··九年级专题练习）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．(1)___________；当时，_________；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．12．（2022·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．13．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．14．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．16．（2021·浙江衢州·中考真题）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，