结构力学课件：矩阵位移法1

结构力学(Ⅱ)

StructuralMechanics南京工业大学第九章矩阵位移法矩阵代数复习1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m行和n列，称为m

n

阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLéëêêêêêùûúúúúú2、转置矩阵将一个矩阵的行和列依次互换，所得的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132éëêêêùûúúú其转置矩阵为AT=éëêùûúaaaaaa112131122232任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI=AIA=A5、逆矩阵在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，

除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若AB=C则B=A-1C此处A-1称为矩阵A的逆矩阵。一个矩阵和它的逆矩阵有关系式：AA-1=

A-1A=I矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵。6、正交矩阵若一方阵A每一行（每一列）的各个元素平方之和等于1，则称该矩阵为正交矩阵。A=cossinsincosaaaa-éëêùûú正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1=AT结构矩阵分析的目的——结构趋向大型化、复杂化，利用计算机进行结构分析。矩阵位移法的理论基础是位移法，与传统位移法的相同之处——以结构的结点位移为基本未知量。矩阵位移法与传统位移法的差异:⒈全部杆件归入一类基本构件——两端固定杆件，这便于编制计算机程序，实现程序化；⒉矩阵位移法的表达形式采用矩阵代数。§9-1概述一、矩阵位移法的基本思路

拆分、离散化重新集合结构整体基本构件形成整体矩阵位移法的三个基本环节：

①单元划分：一根等截面直杆作为一个单元，单元间由结点相联。②单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵。③整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程。

杆件标识及符号规则：局部坐标的坐标与杆轴重合；121E,A,Il(a)图示的6个杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部坐标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)二、杆端位移、杆端力平面一般杆单元：指杆件有弯曲变形、轴向变形和剪切变形，杆件两端各有三个位移分量。图示的6个杆端力均为正方向。12（1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部坐标系而言的。12§9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)一、一般单元刚度方程单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系的，不是新东西，但采用矩阵的形式表示。方程由胡克定律：Δ由转角位移方程，12单元刚度方程将式(a)、(b)合在一起，并以矩阵的形式表示：可写成分块形式:局部坐标系中的单元刚度矩阵⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑴⑵⑶⑷⑸⑹二、单元刚度矩阵的性质

①单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。

②其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。

③单元刚度矩阵是对称矩阵。

④第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。

⑤从数学上可以证明一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。因此不存在逆矩阵。

⑥

与单元的材料、截面、杆长有关。

如

第⑶个杆端位移分量

时引起的第⑹个杆端力。(i)(j)三、特殊单元

若单元六个杆端位移中有某一个或几个为零，则该单元称为特殊单元。e以连续梁为例：eee12e特殊单元的刚度矩阵，可由一般单元的刚度矩阵删除与零位移对应的行和列得到。12eeeeeee§9-3单元刚度矩阵(整体座标系)选整体坐标系是为了按统一的坐标系来建立各单元的刚度矩阵，以便进行整体分析。单元坐标转换矩阵整体坐标系中的杆端力yxyx局部坐标系中的杆端力yx写成矩阵形式简写成：T——单元坐标转换矩阵T为正交矩阵

其中:同理可有:因此：T11整体坐标系中的单元刚度矩阵将式(a)、(b)代入式(c)设局部坐标系中、整体坐标系中的单元刚度方程分别为：(9-21)单元刚度矩阵ke

的性质:①单元刚度矩阵是杆端力和杆端位移的关系矩阵。②其中每个元素称为单元刚度系数。③是对称矩阵。④一般单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵。A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m25m5m①②解：①求局部坐标系中的单刚②求整体坐标系中的单刚，k①：①②因为单元①第一列元素变符号即第四列，第二列元素变符号即第五列，第六列元素与第三列相同，只是k⑶⑹=k⑶⑶/2；第一行元素变符号即第四行，第二行元素变符号即第五行，第六行元素与第三行相同，只是k⑹⑶=k⑶⑶/2、

k⑹⑹=2

k⑶⑹。例1：求图示刚架中各单元在整体标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何尺寸相同,并且已知③求k②：单元②：第一列元素变符号即第四列，第二列元素变符号即第五列第六列元素与第三列相同，只是k⑶⑹=k⑶⑶/2；第一行元素变符号即第四行，第二行元素变符号即第五行第六行元素与第三行相同，只是k⑹⑶=k⑶⑶/2、

k⑹⑹=2

k⑶⑹。P-9.1写出一般单元的单元刚度矩阵，并说明其性质。①一般单元的刚度矩阵：解：②一般单元刚度矩阵的性质：a.

刚度系数表示单位杆端位移引起的杆端力.b.

是一个对称矩阵.c.

是一个奇异矩阵.P-9.8写出整体坐标系和局部坐标系下的单元力矩阵、位移矩阵和单元刚度矩阵间的转换表达式。①整体、局部坐标系下单元力矩阵的转换表达式：解：②整体、局部坐标系下单元位移矩阵的转换表达式：③

整体、局部坐标系下单元刚度矩阵的转换表达式：§9-4连续梁的整体刚度矩阵⑴建立整体刚度方程Δ1Δ2Δ3F1F2F3结点位移列阵：结点力列阵：整体刚度方程:基本未知量为结点转角Δ1、Δ2、Δ3总刚①连续梁单元刚度矩阵e12连续梁是无线位移的单元。⑵连续梁单元刚度矩阵的特点②单元局部坐标系与整体坐标系一致，不需进行坐标转换i1i212①在整体中，结点位移统一编码，称为总码。②在单元中按单元两端结点单独编码，称为局部码。⑶单元定位向量(1)(2)1(1)(2)2单元结点总码组成的向量称为单元定位向量λ

Δ1Δ2Δ312312

③在单刚中元素按局部码排列，在总刚中元素按总码排列。①②√注意结点位移在整体中和在单元中编码的不同。直接刚度法就是单元刚度矩阵利用“单元定位向量”进行“对号入座”，由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵。单元

[k]=4i12i14i12i11单元

[k]=4i22i24i22i22

⑷单刚集成总刚(直接刚度法)i1i212123单元

[k]=4i12i14i12i111=[K]=1123000004i12i12i14i1123单元

[k]=4i22i24i22i222=[K]=20000000004i22i24i22i21231234i12i12i1002i22i24i24i1+4i2集成得整体刚度矩阵：i1i212123[例]：试求图示连续梁的整体刚度矩阵K。1230123解：①编码

(结点位移为零的，其总码编为零)②单元定位向量③求单刚并集成总刚124i12i12i14i12i12i14i14i22i22i24i2234i22i22i24i2+4i32i32i34i3304i3+i1i2i31231

234i1123023在给结点位移编码时，考虑了支承