中学地理教学中的数值推理方法

中学地理教学中的数值推理方法

自创立以来，地理学与数学有着密切的关系。世界上的任何事物都可以用数值来度量。在地理学中,一切地理要素,例如气温的高低、雨量的多少、人口的增减、区域的规模、城市的位置等,都可以用数量来表示。在古代地理学中,已运用数学方法描写地理事件、记载地理知识。在近代地理学中,则是侧重对地理现象的解释性描述。而在现代地理学中,则是通过数学定量的方法进一步深入地揭示地理现象发生、发展的内在机制及本质规律,从而为地理系统的预测及优化调控提供科学依据。普通高中地理课程标准在知识与技能的基础上,强调过程和方法的重要性,这就要求教师在地理教学中要注重知识和技能的建构和相关的研究方法。而数值推理法的合理应用不仅能优化地理知识的探究过程,还能使学生逐步掌握一套科学的研究方法和表达手段,这对于加深学生对地理现象本质的掌握以及培养学生理性的地理思维能力具有重大意义。数值推理法在地理数据来源的探究和地理模型的建立、探索等方面具有广泛的应用。一、太阳辐射的影响地理教材使用大量的数据用以说明地理事物和现象的特征。指导学生对这些数据的来源进行探究,对帮助其掌握地理学科学的研究方法具有很大帮助。如,地球获得了太阳辐射总量的22亿分之一,针对这“22亿分之一”的来源,可以引导学生进行如下探究:如图1所示:太阳辐射来自于太阳中心点,并向四周空间均匀发散,传递到地球附近时,其能量应该均匀分布在以太阳核心为球心,以日地距离R为半径的球面上。地球所获得的太阳辐射量,即为地球最大截面的截获量。依据地球的最大截面就是其大圆(半径为地球半径r)的面积,我们可以计算出地球所获得太阳辐射量:如此,学生可以感受到这些数据的得来并不神秘,处理方法亦不繁杂,重要的是探究过程中应用的方法。这种研究方法还有助于对相关问题作进一步探究。例如:日地最大距离是1.52亿千米,最小距离为1.47亿千米,根据上面的研究方法,可以迅速计算出地球处于近日点和远日点时获得太阳辐射的差值:即近日点时地球获得的太阳辐射量仅比远日点多了6.9%。再看看由于地球公转运动而带来的正午太阳高度变化的影响,以中纬度的45°N为例,其正午太阳高度最大值在夏至日取得,其数值为:90°-(45°-23.5°)=68.5°;而正午太阳高度最小值在冬至日取得,其数值为:90°-(45°+23.5°)=21.5°;这样,45°N地区夏至日和冬至日正午时分地面获得太阳辐射差值即可进行如下计算:(Sin68.5°-sin21.5)/sin21.5°=201.7%即夏至日前后正午地面获得的太阳辐射强度竟然比冬至日高了两倍以上,事实胜于雄辩,经过这样的探究过程,学生不仅深刻领会到影响太阳辐射强度的因素主要是太阳高度,而且在探究的过程中使用的基于数值推理的定量分析思想也为其今后的终生学习和研究奠定了基础。太阳辐射对地球的影响,除了太阳辐射强度,昼夜长短也是重要的因素。教师亦能引导学生应用简单的立体几何知识构建数学模型自主探索。二、c地夜弧的模型分析所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定研究对象,为了某个特定的目的,在做了一些必要的简化假设后,运用适当的数学工具,并通过数学语言表述出来的数学结构。通过构建数学模型,我们可以引导学生从定量角度优化探究过程,深入理解地理现象和地理规律。昼夜长短是地球运动的地理意义教学中的重点和难点。常规的教学方法是引导学生分析两分两至日的日照图中不同纬度纬线上昼弧和夜弧的比例分布,进而得到描述性结论。如在教学中,引导学生应用他们已有的立体几何知识,构建数学模型进行探究,则不仅能优化昼夜长短现象的分析过程,还有助于精确表达昼夜长短时空分布规律。借助已经掌握的信息技术手段,还可用图表等直观形式将这些规律表达出来。构建数学模型一般按如下步骤进行:第一步,建模准备。主要是引领学生明确建模的目标是探究昼夜长短的时空分布的规律。第二步,建模假设。对昼夜长短的影响因素进行抽象、简化,并且用学生可以理解的数学语言作出假设,这是建模过程关键的一步。下面为笔者在教学实践中得到的建模假设:如图2所示:O为地球球心,太阳直射纬度为α,则弧JEK为晨线,弧JFK为昏线。晨昏线交β纬度线于EF两点,则弧EGF为夜弧,弧ECF为昼弧。请用α、β表示C地的白昼长度。第三步,模型建立。分析建模假设的各条件,建立各个量之间的等式或不等式关系,选择恰当的数学工具对其进行表征,构造出刻画实际问题的数学模型。为了研究的方便,我们将经过C地的纬线以顶视图绘出(如图3所示)。根据数学知识:∵C地纬度为β∴C地纬线圈的半径GH=EH=CH=Rcosβ,OH=Rsinβ∵HO⊥AO,BO⊥JO(太阳直射光线垂直于晨昏圈平面),∠AOB=α∴∠JOH=α∴NH=OH·tanα=Rsinβtanα∴在RTΔENH中,cos(EHN)=NH/EH=Rsinβtanα/Rcosβ=tanβtanα∴∠EHF=2∠EHN=2arccos(tanβtanα)∴C地夜长=24[arccos(tanβtanα)/π];C地昼长=24[1-arccos(tanβtanα)/π]当β≥90°-α时,夜弧消失,C地的夜长为0,即出现极昼现象;同理,当-β≥90°-α时,昼弧消失,C地为极夜。当太阳直射点位于赤道(即α=0)时,C地的夜长为:24[arccos(tanβ·0)/π]=12其结果是12小时,并与该地纬度β无关,也就是说全球各纬度的夜长均为12小时,即全球昼夜等长。这与我们定性分析的春秋分时全球昼夜等长的结论吻合。根据这个数学模型,应用信息技术我们还可以对特定纬度昼夜长短的周年变化或特定日期全球昼夜长短的分布作进一步的探究。图4便是根据该模型应用Exce绘制的北半球夏至日全球昼夜长短的纬度分布图。分析该图像,学生们可以发现,昼夜长短的差异随纬度的增加而递增,但并非呈线性关系,大致是随着纬度的增加,昼夜长短的差异迅速扩大。显然这种规律凭借传统的定性分析是不可能得到的。在地理及其相关学科中,诸如洪水的流量过程线、洪水的等级重复间隔、农业和工业区位论、影响城市功能分区的经济因素等都是基于数学模型的数值推理应用的范例。这种建立数学模型定量分析的方法更符合现代科学发展的要求。正如马克思所说:“一切科学,只有成功应用了数学之后才会成熟和完善。”地理数学模型的应用,使地理过程的分析更加精确,地理学亦可从单纯的现象描述走向趋势预测的境界。对学生加以数学建模思想的有效引导,能够为学生的地理思维能力培养提供新的路径,这对于地理学未来的研究者而言是很好的启蒙,而对于地理学的科学化发展而言将大有裨益。讨论:地理学的最大特点是综合性。在地理的教学过程中,我们应该尽可能地综合应用所有学科的优秀成果和有效方法,引导学生做学科教学体系中的集大成者。数学是对思维过程的描述和探究成果表达的有效工具。在地理教学中,我们应该在坚持以学生为主体,调动学生的主观能动性的基础上,以培养学生的创新思维为出发点,引导学生充分应用已掌握的数学技能自主探究,培养其自觉在学习过程中构建数学建模意