非饱和砂的相对渗透率与饱和度的关系

第六章地下水运动中的专门问题

Source:AdaptedfromEnvironmentalProtectionAgency,OfficeofWaterSupplyandSolidWasteManagementPrograms,WasteDisposalPracticesandTheirEffectsonGroundwater(Washington,D.C.:U.S.GovernmentPrintingOffice,1977).

主要内容1.非饱和带中的地下水运动2.地下水中的溶质运移（水动力弥散理论）§6.l非饱和带的地下水运动

在地下水面以上的非饱和带（即包气带）也有水的运动。在许多情况下，研究非饱和带的地下水运动具有很大的意义。在地下水资源评价中，必须研究“三水”(即大气水、地表水相地下水)的相互转化，而非饱和带的地下水运动是其转化的重要环节。入渗的水必须经过非饱和带才能到达潜水面，故研究水在非饱和带的运动，对于入渗的计算很重要。其次，各种施加在地表的污染物将随入渗的水一起运动，经过非饱和带进入地下水中。因此研究地下水污染时，也必须研究非饱和带中水的运动。由于问题的复杂性，只介绍基本原理和基本方程。1非饱和带水分的基本知识1）含水率、饱和度和田间持水量 在非饱和带中，空隙空间的一部分充填了水，其余部分充填了空气。水分和空气的相对份量是变化的。可以用二个变量来表示水分含量的多少。

—为含水率，表示单位体积中水所占的体积：式中，为含水率，无量纲；(Vw)0为典型单元体中水的体积；V0为典型单元体的体积(6-1)图6-0含水量曲线

另—个为饱和度Sw，表示岩石的空隙空间中水所占据部分所占的比例：

式中，Sw——饱和度，无量纲；

(V0)0——典型单元体中的空隙体积。显然，q含水率不能大于空隙度n。而饱和度Sw不能大于1，两者之间有下列关系：

q＝nSw(6-3)

因为利用了典型单元体的概念，上述定义对于任一点都是适用的。

（6-2）

田间持水量是在长时间重力排水后仍然保留在土中的水量。此时，水以簿膜水的形式和在颗粒接触点附近以孤立的悬挂环形式存在。从图6-1可以看出，空隙度减去田间持水量，相当于排水空隙度，即排水时的有效空隙度。图6-1非饱和带的含水量曲线2)毛管压力当多孔介质空孔隙中有两种不相混溶的流体(如水和空气)接触时，这两种液体之间的压力存在着不连续性。此压力差的大小取决于该点界面的曲率(它又取决于饱和度)，这个压力差pc称为毛管压强：

Pc=Pa-Pw(6-4)

式中,Pa——空气的压强,Pw——水的压强。如假设孔隙中的空气是在101325Pa(一个大气压)下，并取大气压强作为测量流体压强的基准，则Pa＝0，于是：

Pc=-Pw(6-5)

故非饱和带孔隙中的水处于小于大气压强的情况下。正如在毛细管现象中见到的一样，在周围水面以上的毛管内的压强是负的。

和饱和带的情况一样，可以定义非饱和带水流中任何点的水头(毛管水头)：式中，r为水的容重；称为毛管压力水头。对于饱和—非饱和流动，可以写出统一的水头表达式:

式中，压强p可正可负。在饱和带中，p为水的压强，取正值；在非饱和带，p为毛管压强的负数，取负值。其余符号同前。(6-6)(6-7)(6-10)3．土壤水分特征曲线图6-2土壤水分特征曲线（据Richards和Weaner）水分特征曲线是反映毛管压强pc或毛管压力水头hc和土壤含水率q

或饱和度Sw关系的曲线(图6-2)。它表示非饱和带中水分的能量和数量之间的关系，反映了包气带中水的基本特征。从曲线上还可以看出，即使在相当高的压强下，土样中仍保持一定的水，含水率不再进一步减。这个含水率记作，相应的饱和度为：

不同土的水分特征曲线是不同的。在同样条件下，粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高的含水率。土的颗粒级配，对持征曲线的形状也有影响，如图6-2的曲线I和II。温度的变化对它也有影响。温度升高时，表面张力降低，在同样吸力下含水率要低一些。水分持征曲线斜率的负倒数称为容水度，记作C：容水度不是常数，它随含水率或毛管压强而变化，记作

C()或C(hc)。它表示毛管压力水头变化一个单位时从单位体积土中释放出的水体积，是计算非饱和带水运动的重要参数。(6-11)图6-3吸湿和排水情况下的水分特征曲线(据J.Bear)

实验表明：同一土样在同样的温度下，排水过程和吸湿过程的水分特征曲线是不同的(图6-3)。在同一pc或hc下，排水时的含水率要大于吸湿时的含水率。这种现象称为滞后现象。土样从饱和到干燥或从干燥到饱和的水分持征曲线称为主线。土样从部分湿润到开始排水或从半干燥状态重新润湿时，水分特征曲线是顺着一些中间曲线由一条主线移至另一条主线，这些中间曲线称为扫描曲线。因此，水分持征曲线随土壤的干、湿历史的不同而变化。故容水度C(q)不是含水率q的单值函数。4)非饱和流动中的给水度概念

前边已经讲过，给水度是单位体积含水层中所排出的重力水的体积。但实际上，当潜水面下降时，其间的水并未全部排出，只是由饱和带的水变成非饱和带的水，水分分布曲线发生相应的改变。实际排出的水体积只相当于排水前后两条水分分布曲线间的那一部分面积。为此，需要这样来定义给水度：从地表一直延伸到含水层底板的一个单位水平面积垂直土柱，当潜水面降低一个单位时，由重力所排出的水的体积。由于重力排水的迟后，给水度u也是时间t的函数。只有当长时间排水后才趋近于某一常数值。2非饱和带水运动的基本方程

非饱和带中的Darcy定律表达式为：

v=K(q)J(6-12)

如用渗透率k来表达时，则有：式中：k——饱和土的渗透率；

k(Sw)——非饱和土的渗透率，为饱和度Sw的函数；

kr(Sw)——相对渗透率，；

u——水的动力粘滞系数。

(6-13)图6-4非饱和砂的相对渗透率与饱和度的关系(据Wyckoff和Botset,1936)相对渗透率为非饱和土的渗透率和同一种土饱和时的渗透率的比值，为含水率或饱和度Sw的函数。非饱和砂的相对渗透率和饱和度Sw的关系表示在图6-4中。当饱和度(含水率)减少时，大孔隙(Macro-pore）首先开始排水，渗透在较小的孔隙中进行，过水断面减小，渗流途径的弯曲度增加，相对渗透率急剧减小。到达A点，孔隙中的水变得不连续了，相对渗透率等于零。此时的饱和度为身Sw0，相应的含水率为q0＝nSw0。2)基本微分方程根据第一章渗流的连续性方程(1-65)式，可以得到相应的连续性方程：将运动方程(6-12)式代入(6-14)式中，得： 式(6-15)即为非饱和流的基本微分方程，称为Richards方程。（6-14）（6-15）

为解决问题方便起见，可以把基本微分方程化成以下几种表达形式。

(1)以含水率q为因变量的表达式：

由于水分持征曲线各处的斜率不同，C不是常数，而是随含水率q而变的变数，即C＝C(q)。令：

参数D(q)是渗透系数和容水度的比值，称为扩散系数，量纲为[L2T-1]。（6-16）(6-16)式变为：这是二阶的非线性偏微分方程。对于一维的垂直流动，可简化为：z轴向上取正值，z轴向下取负值。（6-18）（6-19）(2)以毛管压力水头为因变量的表达式从水分特征曲线可知，毛管压力水率之间存在着函数关系。因此，非饱和土的渗透系数同样是毛管压力水头的函数，即K=K(hc)或K(ψ)，C＝C(hc)或C(ψ)。于是，考虑到：（6-20）（6-21）（6-22）(3)饱和—非饱和流的表达式在饱和—非饱和流动中，常以压强p或水头H为因变量，有