新教材2023高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算分层演练新人教A版选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算A级基础巩固1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,若a⊥b,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题意,得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.答案:B2.已知a,b是两异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,若AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为()A.30° B.60° C.90° D.45°解析:由题意,得AC⊥CD,DB⊥CD,即AC·CD=DB·CD=0.因为AB=AC+CD+DB,所以AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=CD2=1因为cos<AB,CD>=AB·CD|所以<AB,CD>=60°,所以直线a,b所成的角为60°.答案:B3.如图,已知空间四边形每条边和对角线都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2BA·ACB.2AD·DBC.2FG·ACD.2EF·CB解析:2符合题意C答案:C4.已知线段AB的长度为64,AB与直线l的方向向量a的夹角为120°,则AB在l上的投影向量的长度d为32.解析:d=5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,若E为棱C1D1的中点,则AB·AE=14.解析:AE=AA1+AD+AB·AE=AB·AA1+AB·AD+12AB2=4×3×cos60°+0+126.如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,试求A,D两点间的距离.解:因为AD=AB+BC+CD,所以|AD|2=(AB+BC+CD)2=|AB|2+|BC|2+|CD|2+2AB·BC+2AB·CD+2BC·CD=12+2(2×2×cos90°+2×2×cos120°+2×2×cos90°)=8,所以|AD|=22,即A,D两点间的距离为22.B级能力提升7.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,若(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析:因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)=AB2-AC2所以|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰三角形.答案:B8.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,若M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°.解析:设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则AB1=BB1-BA,BM=BC+12BB1,cos<AB1,BM>=(BB1-9.如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有A,B两点,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,若AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为229.解析:由题意,得AB·AC=AB·BD=AC·BD=0.因为CD=CA+AB+BD=AB-AC+BD,所以CD2=(AB-AC+BD)2=AB2+AC2+BD2-2AB·AC+2AB·BD-2AC·BD=16+36+64=116,所以|CD10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1(1)试用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解:(1)MN=MA1+A=13BA1=13(c-a)+a+13(b-a)=13a+13b(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×122×1×1×12=所以|a+b+c|=5,所以|MN|=13|a+b+c|=5即MN=5311.如图,正四面体V-ABC的棱长为1,高VD的中点为O,M为VC的中点.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<DM,AO>.(1)证明:设VA=a,VB=b,VC=c.因为正四面体V-ABC的棱长为1,则VD=13(a+b+c),可得AO=16(b+c-5a),BO=16(a+c-5b),CO=16(a+b所以AO·BO=136(b+c-5a)·(a+c-5b)=136(18a·b-9|a|2)=136(18×1×1×cos60°-所以AO⊥BO,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)解:DM=DV+VM=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-2b所以|DM|=16(-2又因为|AO|=16(bDM·AO=16(-2a-2b+c)·16(b+c-5a)=所以cos<DM,AO>=1412所以<DM,AO>=45°.C级挑战创新12.多选题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面给出的结论正确的是()A.|A1A+A1D1+A1B1B.A1C·(A1B1C.AD1与AD.此正方体体积为|AB·AA1·解析:A项,由题意知|A1A+A1D1+A1B1|=|A1C|=3|A1B1|,所以|A1AB项,由题意知A1C·(A1B1-A1A)=(A1B1A1B12+A1B1·A1D1+A1B1·A1C项,由题意可求得AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但AD1与A1BD项,因为AB·AA1=0,所以|AB·AA1·AD|=0,答案:AB13.多选题在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的数量积可能为0的有()A.AD1·B1CC.AB·AD1 D.B解析:对于选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,所以AD1⊥B1C,此时有AD1·B1C=0;对于