2022届冲刺数学复习必备分项解析13

2022届新高考复习必备数学试卷分项解析

专题13.数列与数学归纳法(解答题)

n+,+,

34.(2021•浙江)己知数列｛4｝,但｝中，4=1，4=2,ah+1=an+bn+2(-l),ba+l=a„+b„+(-l)",nwN.

(I)证明｛%+勿-(-1)"｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

(II)设%flogzd，求数列｛5｝的前2”项和52”.

2+l

【答案】(I)证明见解析，«n=2"+(-ir；(II)S2n=(2n-D2"+M+2.

【分析】

(I)根据递推关系，结合等比数列的定义进行求解即可；

(II)利用分组求和的方法，结合错位相减法进行求解即可.

【详解】

(I)...1=氏+么+2(—1严,%=/+4+(一1严,

二%+%=2(。,,+2)+3(-1产

+,n

«,.+>+b„+l-(-1)"=2(a„+b„-(-l)),且q+〃-(-l)=4

所以忆+2-(T)”｝是等比数列.

•.•4+自一(-1)=4,A«„+^„-(-1)"=2n+1,即。〃+a=2"+’+(-1)"

+,n+,n+1

又4向=an+hn+2(-1)",:.an+x=2+(-l),

又4=1,故％=2"+(-1尸,匕=2".

(II)因为c"="2"+(-l)"〃,

t己=1x2+2x22+3x2'+…+2〃x2?”

则25“=1X22+2X23+3X24+3+2〃X22"|

两式相减，得-%=2+22+―+22"-2〃・2"T=2(.2")_2〃.2"+I

1-2

2B+l

7；n=(2n-l)2+2.

222

・设A/2„=(-1)'-1+(-1)•2+■••+(-1)"-'•(2«-1)+(-1)"-2n=«,

所以S2“=(2〃-l)22*'+〃+2.

35.(2021•浙江高三其他模拟)已知等比数列｛《,｝的公比4>1,且4+。3+%=42,%+9是%%的等差

2"

中项.数列也｝的通项公式包=忑不五;p

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)证明：々+伪+…+包〈后订二1,〃wN".

【答案】(I)。"=2"；(II)证明见解析.

【分析】

(I)由等差中项的性质可求得为=8,进而得到4+生=34,进一步求得公比4,由此即可得解；

(II)化简数列｛2｝,由此即可得证.

【详解】

(I)由%+9是％,%的等差中项得4+%=2%+18,

所以4+%+6=3%+18=42,

解得〃3=8,

Q1

由q+q=34,得F+的2=34,解得=4或d=:，

q4

因为4>1，所以4=2,

所以勺=2”；

T

(II)证明：由(I)可得2~//,几eN"，

也-1+也+1-1

.b_2〃“〃“一]_”“+]_1)_2”—I—[%一1)

Q-—1+Ja“+i〃-17%一。"〃一《山

T

2-2"

2322,,+,,,

b、+b2+...4-^=f>/2-l-l)4-(5/2-2-V2-l)4----+(V2-l-V2-l)

=V2n+,-l-l<^2H+,-l

36.(2021•浙江高三月考)己知数列｛q｝,｛〃｝满足：q=l,=2/1+1,记数列｛%｝的前〃项和为S”,

b饱々Lb.=2M.

(I)求％与",；

(II)求证：｝+衿｝+L+£<4.

a瓦byhn

【答案】(I)a„=n,2=2"；(II)证明见解析.

【分析】

(I)由已知凑配出数列5“一列是常数列,从而易得其通项公式,求出凡后可得S”,利用相除的求得或;

(II)求出口，用错位相减法求得和1+^+｝+L+少，需两次运用错位相减法求和，再结合不等式的

h

„ab2bybn

性质可证明.

【详解】

(I)解:由4=1,an+l+an=2n+l

=a“+i-(〃+1)="(«„-«)=(-1)"(4T)=0得％="，

所以s.二驾1

s

又岫也3bn=2",所以伉=2"=2,

b一岫力山b,「2黑一品一,=2"

当"22时,

"4她L%

上式对〃=1也成立，所以d=2".

(H)解：由(I)得上与A，

"k2

5.555„_lx22x33x4〃("+1)

所以<=---1----1----bLH----------1------1---;--FLH------:--

234+|

4b2b,b„2222"

1„1x22x33x4,(n-l)//〃(〃+1)

/=下-+3-+下-+1+2一+2”度，

错位相减得gl,=；+,+—+L(*)

记C=i+i+i+L+F,则#=^+f+F+L+展+券'

错位相减得gc“=g+*+*+L+£-券=1-/一言<1，

所以C〃v2代入(*)得

1123Tn3n(n+I)八

5北二,+齐+至+L+^r<2^~<2,

所以Z,<4,即［L+)I+3+L+，<4.

仄b2b｝bn

37.(2021•浙江金华市•高三月考)已知数列｛4｝的前“项和为%=a2“=〃("eN)数列也｝满足:

当S“，S向，S..成等比数列时，公比为5,当S“，5„+1,S,"成等差数列时，公差也为匕.

(1)求$2“与$2,1；

111n

(2)证明：T+~r+'"+7~--^-

ab2b„2

2

【答案】(1)邑“=〃(〃+1)，52n_,=n;(2)证明见解析.

【分析】

2

(1)根据々“-I=%”=〃(〃eN*),可得S2„=n(n+1),S,,,..=S2n-a2n=n；

(2)当〃=当-1时,得当T，S*,S2t成等比数列，求得/T=¥=tL

^2k-i《

当〃=2攵时，SZKENEE成等差数列，求得%X'+LSZL女+1,

\\k\

由;+厂=7T7+7T7=L分n=2k、〃=2左一1可得答案.

b2kb2kk+1k+1

【详解】

(1)因为。2〃_i=%〃=〃(〃£N*),所以当〃=1时，4=%=1，当〃=2时，4=4=2,

当九=3时，%=%=3,L,

所以$2”=a\+a2^---a2n-\+a2n=l+l+2+2d----+〃

=2(1+24---Fn)=n(n+1),

^2n-l=^2n~a2n=〃(〃+1)­〃=.

2

(2)当〃=23-1时,S2k_i=E,S2k=k(k+l),S2k+｛=(k+1),

・・・S；k=S”T+S加I,成等比数列，

52A._PS2„S2,+1

则为1一|=3=’1

2

当刀=2%时，S2k=k(k+1),S2k+l=(A:+1),S2k+2=(k+l)(fc+2),

***2s2k+i=S2k+S2&+2，S?k，S2k+i，S2k+2成等差数列，

=

则b2k^2A+1—S2k=k+1,

111n

工当九=2k时，-—+...+—=

ab]bn2

1111..&-1+』=2k-\

・・・当九=2左一1时,-----1-------F•••H------------1---------

b、b?b2k22

111n

即丁+7+d----..;-

瓦b2b.2

1n

综上可得,—I—+•••+—..

a瓦b“2-

38.(2021•浙江高三其他模拟)已知数列他),｛&｝满足。“%+及”他-(2“+1)%2=0,。,,噜色产0,

awOMeR/eN，).

(1)若彳=-1,。=-1,求数列｛%｝的通项公式；

(2)若兀=1<=1,记5,=-4+4-4+...+(-1)%；,证明：(+(+…+(<2.

5323〃

【答案】(Dc„=-n2；(2)证明见解析.

【分析】

(1)根据已知条件，可得j.「q,=-(2〃+l),利用累加法求｛c“｝的通项公式，注意验证q=-l是否也符合

通项公式.

(2)由题设，可得C.「C.T=2,讨论〃为奇偶性求｛4,｝的通项公式，进而求S.，应用裂项相消法求

111…

三+三+…+不，即可证结论.

【详解】

(1)由题设知：勺%-。“他一(2〃+1)2+优=0且。=，=-1,b产a,

：.%一誓=2几+1,即%=-(2〃+1),

hn2+1

Ac2-c,=-3,C3-C2=-5,cn-cn_x=-(2«-l)(n>2),将它们累加可得

­2

Cn—C]=[3+5+...+(2〃-1)]=1—/7,

・・・G=-〃2,而q=-12=一]也成立，即数列｛q｝的通项公式c.=—〃2.

(2)由题设知：a/向+4+也,一(2〃+1)仇+也,=0,则肾+/=Ce+c“=2〃+l,

“"+1

c,+c“_|=2〃-15*2),故C,,“-c“T=2,又q=1,则。2=2,

.•.当〃为奇数时，1=1+(--1)x2=":当"为偶数时，c.=2+《-l)x2=〃；

综上，知：c„=n,则c：=〃2,

.•.当〃为奇数时，有

a/x/x/x/\/、/、22n[n+1)八

Sn=(c2-q)(q+q)+(Q—C3)(G+C3)+…+(%_〔一cn_2)(cn_]+cn_2)一〃~=q+…+C〃T-〃=一一——<0；

当"为偶数时，有S“=(。2—。)(。2+q)+(o4-q)(，+q)+…+(%—&_1)(%+q-)=q+…+q="7)；

1八JI1c-、

当〃为奇数时，—<0,则三+?+…+不<0<2恒成乂；

当”为偶数时，1=2(1__L.)；则[+…+不=2.(1一:+：_；+…__)=2-(1--)<2,

5〃nn+13]Sfl223n-\nn

111c

综上，-+—+...4--<2,得证.

J】d25

39.(2021・浙江绍兴•高三二模)已知等差数列｛斯｝的公差不为零，。4=1,且“4,%,S成等比数列，数列｛%｝

的前〃项和为S",满足Sn=2b"-4(〃GN*).

(1)求数列｛斯｝和｛d｝的通项公式；

(2)若数列｛如｝满足q=-：,c"+i=C"-｝("CN*),求使得%>与]成立的所有〃值.

2b“16

【答案】⑴a„=n-3,」=2叫(2)〃的值为3,4.

【分析】

(1)根据已知条件求得d,由此求得4；先求得伪，然后利用S“-S“T求得".

(2)利用累加法，结合错位相减求和法求得c,,由此解不等式%=F>F，求得〃的所有可能取值.

216

【详解】

(1)设等差数列｛斯｝的公差为d(存0),由题意得

即(l+d)2=l+3d,整理得/=d,解得d=l,

所以4n=/+(〃-4)d=〃-3,

因为仇=Si=2仇-4,所以6=4,

当佗2时，由分〃=S〃-S“.|,得仇=2瓦-2瓦-i,BPhn=2hn.।,

所以｛d｝是以4为首项，2为公比的等比数列，所以乩=2"+L

ann-3

(2)山c〃+尸C”-『，得C,I+|-Cn=-3M,

_l—2―1n—4

=

所以Cn(Clt-Cn-I)+(G»-I-C”-2)+…+(0-Cl)+C尸一万一(^"+^7+....+~

、几f-2-1n-4...1T-2-1n-4

设「尸梦+声+……+~2ir'^22r+……+^T，

两式相减得

-2111w-4_1232n+l72-4_1n-2

H---,,+,

中+尹+梦+2"2--2~~12向一—4

1—

2

所以T“=-1展，所以CL卜丁“=展，

因为%==>?，所以5-2）（24一"-1）>0,

216

当〃=1时，不满足题意：

当，?=2时，不满足题意；

当佗3时，24n-1>0,解得3W"",

所以满足题意的所有〃的值为3,4.

40.（2021.浙江临海市回浦中学高三其他模拟）数列｛4｝满足q=l,«„+2«„+1=0,其前"项和为S,,,数

列｛3｝的前〃项积为出.

（1）求S“和数列出｝的通项公式;

（2）设"质席函+卮丫求｛5｝的前〃项和T,,并证明：对任意的正整数m4，均有

b.=2n-l；(2)7；=41—jJ=j,证明见解析

【答案】（1）

2(，2〃+1)

【分析】

（1）利用己知条件建立等量关系求出数列的通项公式.

（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论.

【详解】

a“+2a向=0,得｛可｝是公比为-;的等比数列，，可

(1)1••4=1

丝为21

当〃‘2时’数歹“嘉｝的前〃项积为七则：3:52712〃+1,两式相除得

^,A2T_1

、352n-l2n+l

]

昌=用="，得％=2〃-1，

2n+1]2n+1

2n-{

又4=g得4=1一也=2"T；

______________1_______________j_以+1—-2.-1_J________1]

J2〃-1J2〃+1(J2〃+1+yjln—X)2A/2H—1,2〃+12(J2〃-1A/2/24-1J

故界>兀

41.（2021•浙江效实中学高三其他模拟）己知数列｛4“｝的前〃项和为"，4=1,%=2,公比为2的等比数

列｛。｝的前〃项和为7,,并且满足叫+/幅（为+1）=25„.

（I）求数列｛《,｝,｛〃,｝的通项公式；

（II）已知g=4?,+1,规定%=0,若存在•使不等式G+C2+g+...+c“<l-4成立，求实数力的

T

Jn+\〃

取值范围.

【答案】（I）a”=n，bn=2'-\（IDA<1.

【分析】

（I）由递推式，令”=1求4=1,写出｛4｝的通项公式及结合已知条件求｛q｝通项公式.

（II）应用裂项求和求q+。2+。3+•••+%,即有2V,进而求义的范围.

【详解】

(I)由题设，4log2(Z+l)=251,即g1。82色+1)=2《，可得&=1,又等比数歹£4｝的公比为2,

；・b“=2"T,故包=2"-1,即2S“=〃a,m，

当"W2时，2(S„-S„.I)=2a„=na„+l-(n-l)a„,即〃%=("+1)a,,,

当”=1时，a2=2a,,

上有〃a0+i=("+l)a“，即•^■-2=0,而g=l,

n+\nI

；•四｝是常数列且%=1，即4=〃；

nn

z(〃—1)2"+1n〃+l

(II)由题意，=(2--l)(2n+l-l)=J

...c,+c,+G+-F=口+2_3+...+q〃+11n+\<1一2，对〃£N*有解，则4<(9]+〃

=1--；—

123"337X-\2〃+1一1n12-1

22

n~-\-n±,r..(n+l)+(n+l)n+n,,、，n+2n、(”+1)[(2-〃)2'用—2]

令4=故d“*「d=~j—-----=(〃+1)()=

2n+l-ln2n+l-l2n+2-l2"+,-1----(2,,+2-1)(2,,+I-1)

二当〃=1时，出>4；当〃22时，d„+t<dn,知:4为虑的最小项，

42.（2021•浙江镇海中学高三其他模拟）已知数列｛4｝、色｝满足4=4=0,（2"+1”,向=（2向+1）q+2",

,1

当〃之2时,b“=-~.

3%+1

（1）求数列｛叫、｛包｝的通项公式；

（2）若g=b.",数列｛c,,｝的前”项和为S"，证明：S„<j.

6

0,〃=1

2〃-2

【答案】（D",=£7^，""=1C；(2)证明见解析.

----,n>2

【分析】

（1）由已知条件推导出育7-白7，利用累加法可求得数列｛%｝的通项公式，进一步

乙IX乙IX乙IX乙।X

可求得数列出｝的通项公式;

+

（2）分析可得当“22时，c„<l[=然后分〃=1、wN2两种情况讨论，结合等比数列的

2—1+122

求和公式可证得结论成立.

【详解】

（1）...（2"+1）〃用=（2e+1”,,+2"=（2e+1）4+（2向+1）—（2"+1）,

[O,n=l

因为当〃之2时，bn=,故2H1；

"[王才

（2）%=」•时,当"22时，%4±；=高=皆,

Z—1Z—1+1Z乙

当〃=1时、G=?<3；

11115

当〃N2时,S〃=q+J+.•+%可+—+一+…+—=-+<-+—=—

83326

综上所述，对任意的〃EN*,5“＜金.

6

'2%+2〃,〃为奇数

43.（2022•全国高三专题练习）已知数列｛«„｝满足4=1，4向记数列｛”“｝的前〃项和

-4“-1,〃为偶数

4

为S“，b„=a2n,neN

（1）求证：数列｛2｝为等比数列，并求其通项£；

（2）求｛m,｝的前〃项和刀,及伍“｝的前”项和为S”.

2-如以,〃为奇数

4

【答案】（1）证明见解析;2=（-2广

〃2-+|

2----h（-2）2为偶数

4

【分析】

（1）根据题中条件,推出%=%"2=一2%,=-21,即可证明数列｛2｝为等比数列，从而可求出其通项公

式;

(2)根据(I)的结果，由错位相减法，即可求出设%先由题中得到c“的通项,

再由分组求和法计算再T,根据52„=S2n+l-a2n+l求再,进而可得1.

【详解】

、[2〃”+2小〃为奇数

⑴因为e，it”为偶数，…，

所以%=02m2=2%用+2(2〃+1)=2(一G，一2"—1)+4〃+2=—2%〃=一»“‘

又仿=%=24+2=4,

所以数列电｝是以4为首项，以-2为公比的等比数列，

因此么=4x(-2广=(-2)"“；

-23

(2)由(])uj得(=4+2&+3仇■>---nbn=(2)+2x(―2)+3x(—2)------Fnx(―2)"'(T),

贝I]—27；=(-2)'+2X(-2)4+3X(-2)5+---+nx(-2)"”②，

①一②得37；=(-2)2+(-2)3+(-2)4+(-2)5+…+(-2)""-MX(-2)，，+2=⑸-(>)__〃、(-2f2，

4n1

则一+一

设％=4“+4向("N)

则C〃=%〃+%〃+]=/“+(一%一2〃-=,

所以§2〃+1=4+(生+%)+(%+6)+…+(%”+%〃+1)=4+G+J+…+%=1+?(9产)=一〃2-2n+l；

邑”=$2”+[一。2〃+1=$2“+1+a2n+2〃+1=-〃2-2〃+1+(-2)〃,+2n+1=一疗+(—2)〃।+2；

n-\也止，〃为奇数

4

I因।此sf“t="2

一19+(_2声+2=2一9+(_2声,〃为偶数

44.(2021•浙江杭十四中高三其他模拟)已知数列｛叫的前”项和为S“，且满足25,,=(”+2)(%-1),〃€”.

(1)证明：｛架:｝为常数列，并求见；

(2)令d=4「sin詈，求数列也｝的前“项和小

4/、

-(2n-1),n=2k,keN

【答案】(1)见解析；⑵2

--~~—,n=2k-l,keNt

3

【分析】

(1)根据已知〃=1,求出4,再由"22,4=5“7,1得到%，41，化简可证｛絮齐为常数列，即可求出《；

(2)由(1)求出％进而求出｛〃,｝通项公式，根据通项公式对“分类讨论，分组求和，即可得出结论.

【详解】

(1)因为2s“=(〃+2)(%-1)①，

当〃W2时，2S„_,=(«+1)(«„_,-1)②，

①-②得，〃=(〃+2)。〃——1,即natl-(n4-l)aM_,=1,

/、凡an-\111

同除〃(〃+1)得，―：=(------77，

\7〃+1n+n〃+1

整理得3=4应，所以为常数列.

因为2s=(1+2)(6—1),所以勾=3,

则"二="口=2,所以a,=2〃+l.

n+l2

(2)由(I)得知=2-2"+1=2"盟+1,

所以2=(2,,+1+1卜山.(2；+1)=(2a+1卜山(5+〃乃)，

(2叫1,〃=2鼠&eN*

则'i一(2向+l),〃=2k-l,keN"'

①当〃=2Z,ZeN*时，

7；=(-22-1)+(23+1)-(24+1)+---+(-2"-1)+(2"+1+1)

2345,,,,+|24,,,

=,2+2-2+2+--2+2=2+2+-+2=-(2'-1),

②当〃=2攵-1,AeN*时,

r=*2向-1)-(2"”+1)=-^^，

4/、

综上，(=\叫7

--------,n=2k-T,kwN*

3

45.(2021•浙江)已知等比数歹式4｝,4=2.数歹!］他｝满足的2……=2%〃eN*)且a=6+4.

(1)求数列｛4｝、｛〃｝的通项公式；

(2)设&=，-((〃”)，记数列｛%｝的前〃项和为S,,.

①求S.；

②求正整数k使得对任意”eN*,都有S«2S,,.

【答案】(1)”"=2",包=〃(〃+1)；(2)①S'=-^-一口］;②&=4.

【分析】

(1)根据已知条件先确定出公比q>0,然后根据已知条件求解出4的值，则｛4｝的通项公式可求；将｛q｝

的通项公式代入的,……=29并化简可求解出料｝的通项公式；

(2)①先计算出｛&｝的通项公式，然后利用裂项相消以及公式法求解出黑；

②先计算S“,「5"的结果，然后根据其结果的正负分析S“的单调性，由此确定出S“的最大项，从而出的值可

求.

【详解】

b„

(1)设等比数列的公比为4，因为qa,……4=25，

所以-……/=2空，所以/=2空卷>0,所以4>0，

仇biab、

因为2彳=q的的，2亍=44'所以2小三=4，

又因为4=6+2,所以2=3,所以％=23=8,

所以包=d=4,所以〃=土2,所以4=2,所以a.=2”；

a\

E斗，冬山1、1"("叫生ecribn”(〃+l)

因为的2……4=22,所以2i22x23x......x2"=2k=2寸，所以k=七~4

所以勿=〃(〃+1);

11111

(2)①因为c,=---—--

a,b„Fn(n+l)F

记〃加正品同时n/〃+1):*”(〃+1)(〃+2)2〃+2

「以/(«)一(〃+2)(〃+3)2向一〃+3

因为2〃+2—(〃+3)=〃-120,

所以当心2,〃eN.时，/；；；：>］且/⑺>0，所以/(〃)单调递增，

又〃1)可(2)=|<1,〃3)啮《必4)4哈>1,

所以当“24时，向>(〃+1)(〃+2)>0,所以击一(“+1；〃+2)<0，*单调递减,

当14〃43时，/(n)<l,0<2H+'<(n+l)(n+2),所以击一正品词>。，S.单调递增，

所以可得S1<S2Vs3<&>$5>S6>……，

所以(S")皿=£，所以々=4.

46.(2021•浙江省杭州第二中学高三其他模拟)已知数列也｝各项都是正数，4=1,对任意/N”都有

Y+W+…展=""J.数列也｝满足4=1,

(1)求证：｛4｝是等比数列，也｝是等差数列；

(2)设g=34+4-(-1广'九4,对任意鼠eN",都有>cj恒成立，求实数人的取值范围.

31

【答案】(1)证明见解析：(2)---<2<—.

42

【分析】

(1)在吊+片+…“：=智’，得〃22时，《+嫉+…”3=芋，两式相减得｛q｝的递推关系，得证得

其为等比数列，设，="-〃，得出｛e“｝递推关系后可求得e.，从而得或的通项公式我，得证其为等差数列;

（2）要（1）基础上求得％,作差恒成立，按”的奇偶分类讨论可得3范围.

【详解】

（1）证明：因为片+d+…展，所以时，…43=号1,

22

两式相减得：片=,即又4>0（〃eN*）,所以心=2〃“，

3

又4：=邑二1,公=4,%=2（因为电>0）,所以/=2q,即％1'=2,〃eN*,4=1,所以｛%｝是等比

3a„

数列.

4=1,4=4+1=2,设％="一〃，则由”+[=纸+zt得e.+i+"+1='+”+〃，所以e,+1，又q=4-1=0,

!nnn

4

明以，一~(n-l)(n-2)=0,

(〃一1)!

所以4=〃，｛%｝为等差数列.

(2)由⑴4=2"',

q,=3"+4•(-1)"T2.2"-'=3(,+2-(-1)"-'2-2",

,,+l

c„+l-c„=3"“+2•(-1)'N•2"M—3"一2•(_1)"T2•2"=2x3"+3•(-l)'N-2,

对任意”wN*，都有％>q,恒成立，贝：2><3"+3-（-1）"32用>0恒成立,

OM-Ion-1i/o、"-1

（T严二，士是递增数列，

2"2"2\2）

〃为奇数时，2<-xf-T',义<:，

〃为偶数时，-2<^,/!>-：,

2⑵44

31

综上-W<a<耳.

47.（2021.浙江高三其他模拟）已知数列应｝满足q=g,2a向+4,,=3,数列也｝满足a=1,

"%-5+1应=1+”.

（1）数列｛4｝,也｝的通项公式;

(2)若q,=(%「2”,,，求使[q]+[cJ+[j]+…+&]42021成立(&]表示不超过％的最大整数)的最大整

数”的值.

2

【答案】(1)%=1+卜；)，bn=n；(2)最大值为44.

【分析】

(I)由题得数列国-1｝是等比数列，即求出数列E｝的通项；由题得｛4｝是一个以q=1为首项，以1为

n1

公差的等差数列，即得数列｛〃｝的通项公式；

n=1

〃=2,

(2)先求出[喙1闺卜€"),再求出

2n,〃=2%+1,

2〃+1,〃=2女+2

n=2k,（丘N*）即得解.

[cl]+[c3]+[c2]+--+[c„]=.

〃=2左+1

【详解】

解：(1)由2a“+|+%=3得a“+[-1=-](““-1),

所以数列｛q-1｝是等比数列，公比为

解得q=1+5目”.

由泌"+|-5+1)〃,=〃2+”，得也=1,

所以｛争是一个以2为首项，以I为公差的等差数列,

所以—=1+(/I—l)x1=n,

解得勿=下.

⑵山c“=3向一"）4得c“=（2〃+l）1+|-1

2n+l,,2/7+32〃+1l-2n„

-^7-,-d„------=-7-<0

357

所以｛4｝为单调递减且4=9，4=?,4=?<1，

248

1,n=1

6,n=2,

所以［%］=，(keN*),

2〃，〃=2攵+1,

2〃+1,n=2k+2

1,〃=1,

2

因此［封+上＞叵卜…+&］<H+-|n,n=2k,(keN"

231

n+—72——,n=2k+1

22

当〃=2左时，/42021的”的最大值为44；

31

当般=2A+1时，川+5〃-542021的〃的最大值为43；

故［。］+邑］+［。2］+…+L/42021的”的最大值为44.

【点睛】

n=1

关键点睛：解答本题的关键有两点，其一：求出［&］=＜：；

(kg,其二：求出

n=2k+1,'7

2〃+1,n=2k+2

1,"=1,

23n=2k,(kwN').

[c1]+[c2]+[c2]+---+[cn]«+]”,

鹏一n=2k+1

22

48.(2021•浙江瑞安中学高三其他模拟)已知递增等比数列｛%｝,和等差数列低｝满足：4=2,4=1,其

中4=4，且生是4和4的等差中项.

(1)求见与。；

(2)记数列｛(4+1)〃｝的前"项和为7；,若当〃cN"时，不等式(-1)"2+0+"应＜7；,恒成立，求实数2

取值范围.

【答案】(1)。"=2",b„=n,(2)-2<A<10

【分析】

(1)设递增等比数列｛a,,｝的公比为q(q>l),等差数列｛〃,｝的公差为"，依题意得到方程组，求出1、d,

即可求出数列的通项公式；

(2)依题意可得(4+1)包=。也+2，记｛。也｝的前"项和为R,也｝的前〃项和为s.，

则(-1)"义<Q对〃eN*恒成立，利用错位相减法求出｛%"｝的前”项和为2,,则(-1)"2<2+(〃-l)x2"M,

再对"分奇偶数讨论，即可求出参数的取值范围；

【详解】

解：(1)设递增等比数列｛q｝的公比为44>1),等差数列｛〃｝的公差为d，

因为q=2,瓦=i,%=4,月一的是丹和4的等差中项,

1\_

q=一q=一

厂2+〃，所以4=2:,2(舍去)或，3\(舍

所以解得d=l或(舍去)或，

2a=b+%4q=2+6d4=1d=J

22d

9

去)

所以q=2",b„=n

(2)因为(a,+l应=。也+々,记｛。也｝的前“项和为｛2｝的前"项和为S",

所以1=0+与=2,+9学

因为(一1)"2+("?”<7；,即(-1/2+("?”<<2„+止誓，即(-1)"A<Q„对“eN*恒成立,

因为Q“=lx2i+2x22+3x2,+…+〃x2"①

2(2„=1X22+2X23+3X24+---+MX2"+,(2)

②-①得

2,=-1X2'-23-24----2"+nx2',+'=-2^-^+nx2"+'=2+(/z-1)x2,,+l

当〃为偶数时，A<2+(«-l)x2n+l,所以2<[2+(〃-1)X2""L,=1°

当"为奇数时，—4<2+(〃-1)><2向，所以2>-[2+(”-l)x2"["=-2

综上可得一2<2<1()

49.（2021.全国高三专题练习）已知数列｛氏｝满足：4=1,a^=qa+——.

n（一幺）

（1）若％,%，生成等比数列，求4的值；

（2）若⑷41,求证：同43-爵.

【答案】（Dq=~（2）证明见解析；

【分析】

（1）首先表示出色,%，根据等比中项的性质得到方程，求出夕即可；

⑵依题意可得-㈤。[£]”,再根据同=（㈤-|4」）+（|加|-1-1）+…+（同-闷）+同，利用错位

相减法求和即可得证；

【详解】

，、，111（1）

++

解：（I）a,=l,a2=­-+q,a3=—+qa2

因为成等比数列，所以W=q“3

则（-；+«）解得q=一；

⑵由141<1,得％=/+£*匈+$04l|q,|+^4同+/

（一，）（-Z；ZZ

所以旧一卜同4小（£|,所以当"22时，

同=（同T%l）+（l%HaM）+…+（同-图）+同

-2+2-（2）+…+（”_2）｛g）+（〃-l）（g）+何|

设S=g+2・（g）+…+（〃-2）（；）①

哮=（）+2K）+…+（〃-呜’