2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一年级上册期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

I.已知集合4y="^,xeN},B={0』,2,3,4,5},则A与8之间的关系是（）

A.A=BB.AC.AGBD.A=B

【答案】D

【分析】计算得到A={0,1,2,3,4},据此得到集合的关系.

【详解】A={x|y=^4^,xeN}={0,1,2,3,4},8={0,1,2,3,4,5},

故A=3错误；3。A错误，A错误；Au3正确.

故选：D

2.“角A为钝角”是“角4€6,兀卜的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用充分、必要条件的概念即得.

【详解】由角A为钝角可推出角

由角Aegj可推出角A为钝角，

所以“角A为钝角”是“角4©信兀）”的充要条件.

故选：C

3.以下四组数中大小关系正确的是（）

0303

A.log3l47t<logn3.14B.O.5<0,4

C.兀42<兀皿D.0.4M<0.1°-7

【答案】C

【分析】结合指数函数、对数函数、幕函数性质即可求解.

【详解】对A,log314n>l,log„3.14<l,故log”47t>log,3.14,错误；

对B,y=x03在第一象限为增函数，故0.5。-、>0.403,错误；

对C,y=k'为增函数，故;正确;

对D,0.40J>0.1°3,0.1°3>0.1°7,故0.4°3>O.l07,错误；

故选：C

4.已知x,ycR,角。的顶点在坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合,终边上有两点A（X,1）,B（-2,y）

且sin6»=g,则（）

A.±4B.-2C.±2D.4

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义即得.

【详解】由三角函数的定义可知1

即孙=-2.

故选：B.

5.某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

X1.02.04.08.0

y0.010.992.023

现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（）A.y=log2x

B.y=2xC.y=x2+2x-3D.y=2x-3

【答案】A

【分析】由表中数据的增大趋势和函数的单调性判断可得选项.

【详解】解：由表中的数据看出：），随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，

而函数y=21y=d+2x-3在（（）,+8）的增大幅度越来越大，函数y=2x-3呈线性增大，只有函数

y=log,x与已知数据的增大趋势接近，

故选：A.

6.已知函数/（x）=x-e-，的部分函数值如下表所示

X10.50.750.6250.5625

“X)0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函数/(X)的一个零点的近似值(精确度为0.1)为()A.().55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.

【详解】函数〃x)=x-1口在R上单调递增，

由数表知：/(0.5)</(0.5625)<0<./(0.625)</(0.75)</(I),

由零点存在性定义知，函数f(x)的零点在区间(0.5625,0.625)内,

所以函数/(x)的一个零点的近似值为0.57.

故选：B

7.函数y=log,(x—l)+13>0且“xl)的图象恒过定点A,且A点在直线如+〃y=l上,

的>0,〃>0),则空1+2的最小值为()

mn

A.6+2&B.10C.8+20D.8

【答案】B

【分析】先得出42,1),再由基本不等式得出答案.

【详解】当x-l=l时，y=10gfll+l=l,即函数的图象恒过定点A(2,l),

因为A在直线mx+〃y-l=0上，所以2〃?+"=1,

2m+1212Al2、n4/?i

---------1—=2H----1—=2+(2n?+〃)—I—=6H-----1----->6+2

tnntnn\mn)mn

当且仅当”=2/n=!时，取等号，即空1+2的最小值为10.

2mn

故选：B

8.设函数/(x)=2sin®x+夕)-1(0>0,04/4"与83=3(；_¥+。)有相同的对称轴,且/(力在

［。，5句内恰有3个零点，则9的取值范围为()

71兀

B.

畤392

兀兀

D.

3,2

【答案】D

［分析］根据“X)与g(x)有相同对称轴，求出。的值，对“X)的相位进行换元，根据0404］,确定定

义域大致范围，画出新函数图象，分夕在第一个零点前后两种情况讨论,根据有3个零点，写出不等式求

出范围即可.

【详解】解:由题知，因为/（X）与g（X）有相同对称轴,

所以0=g,

即/（x）=2sin（；x+0）-l,O494^,

1「5兀

令+*，万+9,

571

即y=2sinf-l在（p,^+（p上有3个零点，

7T57r57r

因为所以三4三+夕437t

y=2sin，-l在夕，弓~+夕上有3个零点,

r令13冗，5兀17K

只需=4?+9<丁，

oZo

解得亨夕咛

故049J；

6

当言夕三吐

62

y=2sinz-l在0,g+g上有3个零点,

lr17兀，5兀，c

只需——<—+（p<3ii,

62

解得90日，

综上:0494或白尹芸.

632

故选:D

二、多选题

9.下列结论正确的是()

A.若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数

X

B.函数、=耳寸的定义域为

C.若函数yTog的MV+x+a)的值域为R，则实数”的取值范围为

D.函数y=/(x)的定义域为［T3］则y=/(x)+〃—x)的定义域为

【答案】BD

【分析】利用特例可判断A,求函数的定义域可判断B,根据对数函数及二次函数的性质可判断C,

根据抽象函数的定义域可判断D.

【详解】对于A,如y=21与y=2*定义域与值域相同，但不是同一个函数，故A不正确;

XX

X

对于B,函数y=定义域为(1，y)，故B正确;

y/x-l

对于C,要使函数丁=1082023卜2+犬+。)的值域为区，令yV+x+a,则A=l-4a20naq,故C

错误;

对于D,因为函数y=/(x)定义域为［-1,3］,则要使y=/(x)+/(-x)有意义，必须

-14x43

=^>-1<X<1

-l<-x<3

所以y=〃x)+〃-x)定义域为［-1,1］,故D正确.

故选：BD.

10.函数〃x)=2sin(2x-£|+l,则下列结论正确的为()

A.函数〃x)的图象关于总,0卜寸称

B.函数“X)的图象关于直线x对称

C.若xe„,则函数/(x)的值域为［1-6,1+6］

D.函数“X)的单调减区间为也+卷兀,也+劳兀(ZeZ)

【答案】BD

【分析】代入验证正弦型函数的对称性判断AB,求正弦型函数在给定区间的值域判断C,求解正弦

型函数的递减区间判断D.

【详解】选项A：$巾'弓-5|=0,则函数f(x)的图象关于点目卜寸称，故A错误；

选项B：sin(2x1^-m)=l，则函数〃x)的图象关于直线x=1对称，故B正确；

选项C：由xe[o,5,可得一方亨，贝I]42sin12x-g142,1-642sin(2x-1)+l43

即若T。,；],则函数〃x)的值域为[1-6,3],故C错误；

选项D：由2E+¥«2x-工42E+包，％eZ,可得E+型4x4E+小，keZ,

2321212

即函数f(x)的单调递减区间为E+W兀,也+£兀(kwZ),故D正确.

故选：BD.

11.下列函数中，最小值不为4的函数为()

A.y=x+—B.'=卜问+_I

x|sinx|

C.y=e*+4e*D.y=log3x+logv81

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式逐项分析判断即得.

4

【详解】对于A,当x<0时,y=x+-<0,所以A最小值不为4；

x

扁>°，卜皿|+忌^2"=4,

对于B,卜而乂>0,

当且仅当卜访x|=品，

即卜吊目=2时，取得最小值4,但卜皿闻=2无解,故B最小值不为4；

对于C,因为e*>0,所以y=e*+4e-'22,4e*•€-*=4，

当且仅当e*=4ef,即x=ln2时取等号,

所以y=e*+4eT的最小值为4,所以C最小值为4；

对于D,当0cx<1,^=log3x+logA81<0,所以D最小值不为4.

故选：ABD.

12.已知“X)是定义域为R的奇函数，且满足:“x+2)=-"x),当x«0,l]时，/(x)=2石,

则下列结论正确的是()

A.〃x)为周期函数

B./(-3)=-2

C.不等式/(x)Z0的解集为{x|4A4x44k+2,&eZ}

D.关于X的方程/(X)=7HT恰有三个不同的解，则机=2

【答案】AC

【分析】利用周期性的定义可判断A选项，计算出/(-3)的值，可判断B选项，求出不等式〃x)>0

在-24x42上的解，结合周期可判断C选项，数形结合可判断D选项.

【详解】对于A,由已知可得f(x+4)=-〃x+2)=〃x),故函数/(x)为周期函数，A对；

对于B,由A知f(-3)=f(-3+4)=/(l)=2xVi=2,B错；

对于C,由奇函数的性质可得"0)=0,则〃2)=-40)=0,/(—2)=/(2)=0,

当xw(O,l]时，/(x)=2Vx>0,

当xe[-l,0)时，-xe(O,l],贝i]f(x)=-/(—x)<0,

当x«l,2)时，x-2e(-l,0),则〃x)=-〃x-2)>(),

当2,-1)时,x+2e(O,l),则〃x)=_〃x+2)<0.

故当-2<xV2时，不等式〃上0的解为04x42,

又因为函数“X)的周期为4,故不等式/(x)20的解集是{X|4AWXV4Z+2,%£Z},C对；

对于D,作出函数/(x)与函数丫=如的部分图象如下图所示：

由图可知，当加=1时，直线y=2x与函数/(x)的图象也有三个交点，D错.

故选：AC

三、填空题

13.已知全集为R,A=伸呜(x+1)<2},则aA=.

【答案】QA={x|x4-l或X23}

【分析】先化简集合A,再根据补集的定义写出结果即可.

【详解】解油题知4=仲。氏(》+1)<2},

解得:A={止l<x<3},

故。4={收_1或xN3}.

故答案为:今4=3=或xN3}

-vl+2sin20sin110…士、」

14.-----------/,的值为__________.

cos20+V1-COS2160

【答案】1

【分析】根据诱导公式，平方关系即可解出.

［详解］原式=Jl+2sin20cos20_“sin20+cos20)_sin20+cos20

cos20+sin160sin20+cos20sin20+cos20

故答案为：1.

15.已知定义在R上的函数〃x)=202HT-l(feR)为偶函数，记:a=/(log053),

fe=/(log25),c=/(2r),则4,4c的大小关系按从大到小排列为.

【答案】b>a>c

【分析】根据函数的奇偶性及函数的单调性结合条件即得.

【详解】因为函数〃x)=2023M-1(止R)为偶函数，

所以/(-%)=2023卜T一1=2023M-1=/(X),即2023^=2023HI,

所以f=0,即/(司=2023“-1,函数在［0,+8)上单调递增，

又a=/(log()53)=/(-log23)=/(log,3),c=/(2f)=/(0),log,5>log,3>0,

所以。>a>c.

故答案为：b>a>c.

16.已知〃x)=(x「2+1,厂>?,关于x的方程严(同一3〃x)+a-l=0(aeR)有8个不等的

一厂一2x+l(x<0)

实数根，贝IJa的取值范围为.

【答案】0,?)

【分析】令,结合的图象将问题转化为“方程r-3f+a-1=0在(1,2)上有两不等实根”,

利用韦达定理结合二次函数性质求解出a的取值范围.

【详解】作〃x)的图象如下图所示,

令/(x)=f,因为关于x的方程U(x)-3/(x)+a-1=0有8个不等的实数根，

结合图象可知，关于，的方程，-3f+a-l=0有两不等实根，记为4,%,且4名6(1,2),

因为4+芍=3,/也=a—1,所以a—1=4(3—4)=—(a—：)+:，

又因为4«1,2),#明即f尸|，所以的取值范围是(2；),

所以〃的取值范围是卜，?)，

故答案为：(3,：］.

四、解答题

17.已知角a的终边经过点P(-4,3),

tana

⑴求sin(^-a)-cos^y+a^值；

(2)求sin2a+sinacosa+2cos2a的值.

【答案】(l)-£

o

29

⑵一

25

【分析】(1)根据点坐标求出正余弦三角函数值结合诱导公式和同角的三角函数关系即可求出结果;

(2)直接代入正余弦值即可.

34

【详解】(1)由题意sina=g,cosa=--,贝lj

sina

原式_cosa_]__5；

sina+sina2cosa8

/八,42i121629

(2)原式=1+sin2cosa+cos~2=1--+—.

18.已知/(x)=log4x,当尤eW，4时的值域为集合A,关于x的不等式：([*”>2"(aeR)的解

集为B,集合C={H^^2O1,集合Q={X|，〃+14X<2〃？一1}

(1)若AuB=3,求实数。的取值范围；

(2)若OqC,求实数，”的取值范围.

【答案】(1)(—,-4);

⑵S，3].

【分析】(1)根据对数函数及指数函数性质可得集合AB,由题可得AqB,由此列出不等式求解,

即得；

(2)先解分式不等式，根据OqC,分别讨论加+122机-1,6+1<2机-1两种情况，即得.

【详解】⑴由对数函数的单调性可得，“司=1%》在住，41上单调递增，

1O

所以其值域A=/(七]，〃4)=[-2,1],

又由(g)>2x(aeR),可得2T3-。)>2，，

所以一3x-a>x,,

4

所以2=1-00,-怖)，

又Au8=8,所以A=8,

所以-=>1,所以a<-4,

即实数。的取值范围为(yoT);

(2)由三20,可得小40,

x+lX+1

所以—l<x45,即C=(-l,5],

对于集合。={X|〃Z+14X<2〃?T}UC有:

当利+1之2%一1时，即mK2时，0=0,满足。qC；

当加+1<2〃2-1时，即机>2时，£>。0,

m>2

所以vm+l>-l,

2m-l<5

所以2W3；

综上，实数m的取值范围为(—,3].

19.解决下列问题：

⑴若不等式加+(。一2卜-222/—3对于xeR恒成立，求实数。的范围；

⑵函数以力=幺一(〃+1卜+4,若存在xe0,1使得/z(x)4—l成立，求实数。的范围.

【答案】(1)24。<6

(2)a<-l

【分析】对于(1),+(a-2)%—2N2x?-3(a-2)d+(a-2)x+120,

分。=2,a*2两种情况讨论可得答案；

对于(2),存在xe0,1使得〃(x)4—l等价于<-1,其中xe0,1

【详解】(1)+(a-2)x-2之2x~-3<=>(a-2)%2+(a-2)x+120.

①当。=2时，有120,则a=2符合题意；

6?—2>0

②当a*2时，有〈/、2/、=2<aW6.

A=(a-2)-4(a-2)<0

综上，实数。的范围是24a46.

(2)存在xw0,1使得〃(x)4—l等价于Mx%,4—1,其中xe0,g.

又〃(x)=x2-(a+l)x+a=(x-^|^J-SJ,

①当V」<0=>«<-1,网力在0,上单调递增，

则〃卜)…=/?(())=a4-1,得此时a4-1；

②当0<<gn-1<a<0时，〃(x)在0,V」)在单调递减，在

上单调递增，则〃⑺==一反二)<-1

122」IAlin(2J4

=。23或。4—1,结合—l<a<0,可知此时。不存在；

③当暇2gna20时，〃(x)在0,；上单调递减，

则〃(%=呜)=<-1a<-|,结合”20,得此时〃不存在.

综上：实数〃的范围是“4-1

20.已知l<a<b<c,且log/+log/=；+log“c.

⑴若c=/,求log/的值；

(2)求log/+log/•的最小值.

【答案】(l)log/=13或2

⑵2+四

37

【分析】(1)由对数的运算得=解方程可得答案；

log/2

(2)由;+log“c=log/+log...2Jlog/Jog/得(log/)。-31og"C+；..0,解不等式得log«c...|+a,

根据bg/+logF=g+bg〃c可得答案.

I373

【详解】(1)由题意，log/+log/3=5+log“/,即log/+e=5,解得log/=：或2.

(2)因为l<a<6<c,所以地/〉］,"/〉［,"/〉］,

所以;+log„c=log/+log/..2jlog//og%c,

因此g+log“c..2jlog.c,即(log“c『-310gtic+；..0,

解得log“c..|+血或log„c„|-V2,

因为10glic>1，所以log“c…g+0，

故log/+log卢=；+log„c..2+>/2,

当log/=log/=1+与时取等号，

所以log/+Qg/的最小值为2+应.

21.己知函数/(x)=Asin®x+e)(A>O,<y>O,O<e<兀)在一个周期内的图象如图所示:

(1)求函数的解析式，并写出它是由V=2sin2x的图象经过怎样的变换而得到的函数图象所对应

的函数；

⑵若存在词0,。吏得关于x的不等式涣X-?卜2cos设…成立，求实数小的最小值.

【答案】⑴/(x)=2sin(2x+尊，向左平移三个单位长度；

。J

⑵1

【分析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出。，由五点法作图求出。的值，可得函数

的解析式，再由函数图象的平移求解即可；

(2)假设存在与€(05],使得不等式成立，分离参数可转化为存在X。e使加2.2-sin,2x成

立，求出2-si)2x的最小值即可得解.

1+sin2x

【详解】⑴由所给函数图象可知，A=2,1=^-(-^)=1，即7=兀，

所以。=与=2,又图象过点(*,2),所以2x(q)+g=]+2E,keZ,

2冗

解得^=—+2kjt,keZ,

2兀

因为0</<兀，所以当左=0时，^=—,

故f(x)=2sin(2x+g).

7Tjr27r

由y=2sin2x的图象向左平移]个单位长度可得函数y=sin2(x+-)=sin(2x+y),即

27r

/(x)=2sin(2x+—)的图象.

(2)存在x°€(0,少,使得关于X的不等式5/1一5)-128$22》7"成立，

即存在与£（°，］｝使得关于x的不等式心in2x22-sin?2x-m成立，

即存在x°ejo,g］,使得,”42-上in12x成立.

12，14-sin2x

当与w（0,，卜寸，sin2xe（0,ll,令，=sin2xc（0,1］时，

*=匕5=1一/+_1_+J_+2为减函数，

1+r1+rr+1f+1

所以当f=l