2022届福建省德化三中重点中学中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.共享单车为市民短距离出行带来了极大便利.据2017年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用

共享单车2590000人次，其中2590000用科学记数法表示为（）

A.259xl04B.25.9x10sC.2.59xl06D.0.259xl07

2

2.已知点P（a,m）,Q（b,n）都在反比例函数丫=--的图象上，且a<0<b,则下列结论一定正确的是（）

m+n<0m+n>0C.m<n

3.已知两组数据，2、3、4和3、4、5,那么下列说法正确的是（）

A.中位数不相等，方差不相等

B.平均数相等，方差不相等

C.中位数不相等，平均数相等

D.平均数不相等，方差相等

4.不等式2x-l<l的解集在数轴上表示正确的是（）

C,-1012D,-1012

5.衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改

良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是

多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（）

3036

x1.5%

x1.5x

6.某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环）.下列说法中正确的是（）

A.若这5次成绩的中位数为8,则x=8

B.若这5次成绩的众数是8,则x=8

C.若这5次成绩的方差为8,则x=8

D.若这5次成绩的平均成绩是8,则x=8

7.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是()

A.Na=60。，Net的补角Np=120。，Zp>Za

B.Za=90°,Na的补角N0=9O。，Zp=Za

C.Za=100°,Na的补角N0=8O。,Zp<Za

D.两个角互为邻补角

8.如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形(图中阴影部分)，如果剩下的矩形与原矩形相似，那

么剩下矩形的面积是()

■一

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

9.下列事件中是必然事件的是()

A.早晨的太阳一定从东方升起

B.中秋节的晚上一定能看到月亮

C.打开电视机，正在播少儿节目

D.小红今年14岁，她一定是初中学生

10.如图所示，将含有30。角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若Nl=35。，则N2的度数为

()

A.10°B.20°C.25°D.30°

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.当光=时，二次函数y=2%+6有最小值____________.

12.A、B两地相距20km,甲乙两人沿同一条路线从A地到B地.甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发,

乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离

y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发小时后和乙相遇.

13.已知x+y=8,xy=2,贝!Ix2y+xy2=.

14.将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC,设点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x+l,点

C表示的数为-4,若将△ABC向右滚动，则x的值等于,数字2012对应的点将与△ABC的顶点____重合.

15.二次函数y=x2-2x+l的对称轴方程是x=.

16.抛物线j=3x2-6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如图，80是AABC的角平分线，点E,尸分别在BC,43上，DE//AB,BE=AF.

(1)求证：四边形AOE尸是平行四边形；

(2)若NABC=60。，BD=6,求OE的长.

18.(8分)先化简，再求值：x(x+1)-(x+1)(x-1),其中x=L

19.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE_LDC,垂足为点E,连接BE,点F为BE上一点，连接

AF,ZAFE=ZD.

(1)求证：ZBAF=ZCBE；

20.(8分)如图，△ABC内接与。O,AB是直径，0O的切线PC交BA的延长线于点P,OF〃BC交AC于AC点

E,交PC于点F,连接AF

(1)判断AF与。O的位置关系并说明理由；

(2)若。O的半径为4,AF=3,求AC的长.

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点。।的坐标为(-4,0),以点。।为圆心，8为半径的圆与x轴交于A,5两

点，过A作直线/与x轴负方向相交成60的角，且交)’轴于。点，以点。2。3,5)为圆心的圆与x轴相切于点£>.

x

(1)求直线/的解析式;

(2)将。以每秒1个单位的速度沿X轴向左平移，当。。2第一次与。01外切时，求。。2平移的时间.

22.(10分)已知AC=DC,AC±DC,直线MN经过点A,作DBLMN,垂足为B,连接CB.

(1)直接写出ND与NMAC之间的数量关系;

(2)①如图1,猜想AB,BD与BC之间的数量关系，并说明理由;

②如图2,直接写出AB,BD与BC之间的数量关系;

(3)在MN绕点A旋转的过程中，当NBCD=30。，BD=正时，直接写出BC的值.

23.(12分)在等边三角形A3C中，点尸在AABC内，点。在外，且BP=CQ.求证:

△A3尸丝△CAQ；请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.

Q

24.如图，已知AC和BD相交于点O,且AB〃DC,OA=OB.

求证：OC=OD.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

绝对值大于1的正数可以科学计数法，axlO,即可得出答案.

【详解】

n由左边第一个不为0的数字前面的0的个数决定，所以此处n=6.

【点睛】

本题考查了科学计数法的运用，熟悉掌握是解决本题的关键.

2、D

【解析】

根据反比例函数的性质，可得答案.

【详解】

2

Vy=---的k=-2Vl,图象位于二四象限，a<l,

x

：.P(a,m)在第二象限，

Vb>l,

，Q(b,n)在第四象限，

An<l.

/.n<l<m,

即m>n,

故D正确；

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k<l时，图象位于二四象限是解题关键.

3、D

【解析】

分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案.

【详解】

11?

2、3、4的平均数为：一(2+3+4)=3,中位数是3,方差为：一[(2-3)2+(3-3)2+(3-4)2]=-；

333

11?

3、4、5的平均数为：—(3+4+5)=4,中位数是4,方差为：—[(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-；

333

故中位数不相等，方差相等.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法.

4、D

【解析】

先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.

【详解】

移项得,2x<l+L

合并同类项得，2x<2,

x的系数化为1得，x<l.

在数轴，上表示为：

-1012

故选D.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

5、A

【解析】

根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可.

【详解】

设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，

根据题意列方程为：--^-=10.

x1.5x

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

6^D

【解析】

根据中位数的定义判断A；根据众数的定义判断B；根据方差的定义判断C；根据平均数的定义判断D.

【详解】

A、若这5次成绩的中位数为8,则x为任意实数，故本选项错误；

B、若这5次成绩的众数是8,则x为不是7与9的任意实数，故本选项错误；

C、如果x=8,则平均数为1(8+9+7+8+8)=8,方差为(Rx(8-8)2+(9-8)2+(7-S

!)2]=0.4,故本选项错误；

D、若这5次成绩的平均成绩是8,则((8+9+7+8+x)=8,解得x=8,故本选项正确；

故选D.

【点睛】

本题考查中位数、众数、平均数和方差：一般地设n个数据，X”X2,…Xn的平均数为L则方差

+(々―%)+伍7)+…+(x"7),它反映了一组数据的波动大小，

方差越大，波动性越大，反之

n

也成立.

7、C

【解析】

熟记反证法的步骤，然后进行判断即可.

解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；

A、Na的补角Np>Na,符合假命题的结论，故A错误；

B、Na的补角N0=Na,符合假命题的结论，故B错误；

C、Na的补角NfJVNa,与假命题结论相反，故C正确；

D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误.

故选C.

8,B

【解析】

根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

【详解】

AEC

BFn

解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE,

贝!I矩形ABDCs矩形FDCE,

ABBD

则

~DF~~DC

8

设DF=xcm,得到：—6-

x

解得：x=4.5,

则剩下的矩形面积是：4.5x6=17cm'.

【点睛】

本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

9,A

【解析】

必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可求解.

【详解】

解：B、C、D选项为不确定事件，即随机事件.故错误；

一定发生的事件只有第一个答案，早晨的太阳一定从东方升起.

故选A.

【点睛】

该题考查的是对必然事件的概念的理解；必然事件就是一定发生的事件.

10、C

【解析】

分析：如图，延长AB交CF于E,

VZACB=90°,NA=30°,.,.ZABC=60°.

VZl=35°,:.NAEC=NABC-Zl=25°.

VGH/7EF,.,.Z2=ZAEC=25°.

故选C.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、15

【解析】

二次函数配方，得：y=(x—1尸+5,所以，当x=l时，y有最小值5,

故答案为1,5.

12、3

5

【解析】

由图象得出解析式后联立方程组解答即可.

【详解】

由图象可得：y甲=4t(05£5)；yz=

9?-16(2</<4)

y=4t

由方程组＜解得t=y.

y=9f—16

故答案为g.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答.

13、1

【解析】

将所求式子提取xy分解因式后，把x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值.

【详解】

*.'x+y=8,xy=2,

Ax2y+xy2=xy(x+y)=2x8=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式.

14、-1C.

【解析】

••,将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形A8C,设点A表示的数为x-1,点8表示的数为2x+L点C

表示的数为-4,

-4-(2x+l)=2x+l-(x-1)；

-lx=9,

x=-1.

故A表示的数为：x-1=-1-1=-6,

点B表示的数为：2x+l=2x(-1)+1=-5,

即等边三角形ABC边长为1,

数字2012对应的点与-4的距离为：2012+4=2016,

2016+1=672,C从出发到2012点滚动672周，

二数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合.

故答案为-1,C.

点睛：此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形

与几何”中，渗透“数形结合思想”、“方程思想”等，也是一道较优秀的操作活动型问题.

15、1

【解析】

利用公式法可求二次函数y=x42x+l的对称轴.也可用配方法.

【详解】

..b__2

•"—--1，

2a2

/•x=l.

故答案为：1

【点睛】

本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决.

16、3

【解析】

根据抛物线与x轴只有一个公共交点，则判别式等于0,据此即可求解.

【详解】

,抛物线y=3x2-6x+a与x轴只有一■个公共点，

，判别式A=36-12a=0,

解得：a=3,

故答案为3

【点睛】

本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△>0,则抛物线与x轴有两个不同的交点;如果△=0,

与x轴有一个交点；如果△<0,与x轴无交点.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)证明见解析；(2)273.

【解析】

(1)由BD是AABC的角平分线，DE〃AB,可证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF,可得DE=AF,

即可证得四边形ADEF是平行四边形；

(2)过点E作EHLBD于点H,由NABC=60。，BD是NABC的平分线，可求得BH的长，从而求得BE、DE的长,

即可求得答案.

【详解】

(D证明：TBD是AABC的角平分线，

；.NABD=NDBE,

VDE/7AB,

:.ZABD=ZBDE,

...NDBE=NBDE,

.\BE=DE；

VBE=AF,

：.AF=DE；

•••四边形ADEF是平行四边形；

(2)解：过点E作EH_LBD于点H.

■:ZABC=60°,BD是NABC的平分线，

；.NABD=NEBD=30。，

11

，DH=-BD=-x6=3,

22

VBE=DE,

ABH=DH=3,

，BE=―^—=2^3,

cos30

；.DE=BE=2G

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法.

18^x+1,2.

【解析】

先根据单项式乘以多项式的运算法则、平方差公式计算后，再去掉括号，合并同类项化为最简后代入求值即可.

【详解】

原式=x?+x-(X2-1)

=x2+x-x2+l

=x+l,

当x=l时,原式=2.

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，根据整式的运算法则先把知识化为最简是解决问题的关键.

19、(1)见解析；(2)275.

【解析】

(1)根据相似三角形的判定，易证AABFs/^BEC,从而可以证明/BAF=NCBE成立；

(2)根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF的长

【详解】

(D证明：,••四边形ABCD是平行四边形，

.•.AB/7CD,AD〃BC,AD=BC,

.,.ZD+ZC=180°,NABF=NBEC,

,/ZAFB+ZAFE=180o,ZAFE=ZD,

.♦.NC=NAFB,

/.△ABF^ABEC,

，NBAF=NCBE；

4

(2)VAE±DC,AD=5,AB=8,sinND=一，

5

.♦.AE=4,DE=3

/.EC=5

VAE±DC,AB〃DC,

:.ZAED=ZBAE=90°,

在RtAABE中，根据勾股定理得：BE=7AE2+AB2=475

VBC=AD=5,

由(1)得：AABF^ABEC,

.AFABBF

"~BC~~AE~~EC

AF8BF

即an——=—/==—

54V55

解得：AF=BF=2行

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题

需要的条件，利用数形结合的思想解答

20、解：（1）AF与圆O的相切.理由为：

如图，连接OC,

：PC为圆O切线，.\CPJ_OC.

.,.ZOCP=90°.

VOF/7BC,

.,.ZAOF=ZB,ZCOF=ZOCB.

VOC=OB,r.ZOCB=ZB.r.ZAOF=ZCOF.

•.,在△AOF和△COF中，OA=OC,ZAOF=ZCOF,OF=OF,

.,.△AOF^ACOF(SAS)./.ZOAF=ZOCF=90°.

，AF为圆O的切线，即AF与0O的位置关系是相切.

(2)•/△AOF^ACOF,\NAOF=NCOF.

VOA=OC,，E为AC中点，BPAE=CE=-AC,OE±AC.

2

VOA±AF,.,.在RSAOF中，OA=4,AF=3,根据勾股定理得：OF=1.

1124

VSAAOF=-«OA«AF=-»OF«AE,:.AE=一.

225

24

/.AC=2AE=—.

5

【解析】

试题分析：(1)连接OC,先证出N3=N2,由SAS证明△OAFgZXOCF,得对应角相等NOAF=NOCF,再根据切线

的性质得出NOCF=90。，证出NOAF=90。，即可得出结论；

(2)先由勾股定理求出OF,再由三角形的面积求出AE,根据垂径定理得出AC=2AE.

试题解析：(1)连接OC,如图所示：

；AB是。O直径，

ZBCA=90°,

VOF/7BC,

.•.ZAEO=90°,Z1=Z2,NB=N3,

.*.OF±AC,

VOC=OA,

/.ZB=Z1,

,N3=N2,

在△OAF和△OCF中，

OA=OC

{N3=N2,

OFOF

/.△OAF^AOCF(SAS),

二ZOAF=ZOCF,

：PC是。o的切线，

/.ZOCF=90°,

:.ZOAF=90°,

AFAXOA,

.,.AF是。O的切线；

(2)的半径为4,AF=3,ZOAF=90°,

,OF=yjoF2+O^=732+42=1

VFA±OA,OF±AC,

/.AC=2AE,AOAF的面积='AF・OA=lOF・AE,

22

A3X4=1XAE,

解得：AE=—，

24

AAC=2AE=­・

5

考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质.

21、(1)直线/的解析式为：丁=一氐一128.(2)。劣平移的时间为5秒.

【解析】

(1)求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式.

(2)设002平移t秒后到。03处与。Oi第一次外切于点P,003与x轴相切于Di点，连接。(h,O3D,.

在直角AOiChDi中，根据勾股定理，就可以求出OiDi,进而求出DiD的长，得到平移的时间.

【详解】

(1)由题意得OA=Y+|8|=12,

•••人点坐标为(一12,0).

•在RtAAOC中，/OAC=6()。，

OC=OAtan/OAC=12xtan60°=12。

.••c点的坐标为(0,-126).

设直线］的解析式为y=kx+b,

由1过A、C两点,

.-12y/3=b

得1,

0=-12k+b

力=-126

解得

k——\/3

，直线1的解析式为：丫=-0-12瓜

(2)如图,

\0)BDxDx

设。。2平移t秒后到。。3处与第一次外切于点P，

。。3与X轴相切于D1点，连接孰。3，0.D,.

则OQ3=O1P+PO3=8+5=13,

•・・C)3D]J_x轴，・・・。3口]=5,

在RtAOQ'Di中，OR=JOQ32-O3DJ=V132-55=12.

•.•OQ=O1O+OD=4+13=17,

:.D,D=O1D-OIDI=17-12=5,

/.t=1=5(秒)，

二OO2平移的时间为5秒.

【点睛】

本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的.

22、(1)相等或互补；(2)①BD+AB=V^BC；®AB-BD=72BC；(3)BC=V3+1或右一1.

【解析】

(1)分为点C,D在直线MN同侧和点C,D在直线MN两侧，两种情况讨论即可解题，

(2)①作辅助线，证明△BCD^AFCA,得BC=FC,NBCD=NFCA,NFCB=90。,即ABFC是等腰直角三角形，即可

解题，②在射线AM上截取AF=BD,连接CF,证明△BCD^^FCA,得ABFC是等腰直角三角形，即可解题，

(3)分为当点C,D在直线MN同侧，当点C,D在直线MN两侧，两种情况解题即可，见详解.

【详解】

解：(1)相等或互补；

理由：当点C,D在直线MN同侧时，如图1,

VAC±CD,BD±MN,

,ZACD=ZBDC=90°,

在四边形ABDC中，NBAD+ND=360。-ZACD-ZBDC=180°,

VZBAC+ZCAM=180°,

.•,ZCAM=ZD；

当点C,D在直线MN两侧时，如图2,

VZACD=ZABD=90°,ZAEC=ZBED,

.,.ZCAB=ZD,

,:ZCAB+ZCAM=180°,

/.ZCAM+ZD=180o,

即：ND与/MAC之间的数量是相等或互补；

(2)①猜想：BD+AB=72BC

如图3,在射线AM上截取AF=BD,连接CF.

又：ND=NFAC,CD=AC

.'.△BCD^AFCA,

.*.BC=FC,ZBCD=ZFCA

VAC±CD

.•.ZACD=90°

即NACB+NBCD=90°

，NACB+NFCA=90°

即NFCB=90°

-,.BF=V2BC

VAF+AB=