高考数学一轮复习讲义正态分布学生

课题：正态分布知识点1．正态分布概念：若连续型随机变量ζ的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。的图象称为正态曲线。2．正态分布的期望与方差：若～，则标准正态分布曲线3．正态曲线的性质：标准正态分布曲线（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；（4）曲线与x轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率即时，则的值可在标准正态分布表中查到时，可利用其图象的对称性获得来求出，5．两个重要公式：（1）（2）xyOxyO6．与的关系：（1）若～，则～，有（2）若～，则【注1】正态总体三个基本概率值（1）P（μ－σ<X≤μ＋σ）＝0．6826；（2）P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝0．9544；（3）P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝0．9974．【注2】正态分布问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化．解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用．（1）熟记P（μ－σ<X≤μ＋σ），P（μ－2σ<X≤μ＋2σ），P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）的值；（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1．①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．②P（X≤a）＝1－P（X≥a），P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）．典型例题例1已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，。）A．4．56%B．13．59%C．27．18%D．31．74%【答案】B【解析】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：,故选B．例2若正态分布密度函数，下列判断正确的是（）A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但没最小值C．有最大值，但没最大值D．无最大值和最小值答案：B。例3在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是（）A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．9974答案：C。解析：由已知X—N（100，36），故。例4据统计“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若，A．B．C．D．【答案】D【解析】游客人数服从正态分布，则由则，可得，所以．故本题答案选．例5随机变量服从正态分布，已知，则=（）A．0．1B．0．2C．0．4D．0．6【答案】D【解析】随机变量服从正态分布，图象关于对称，，所以．例6已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116，64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比为（）．A．0．3%B．0．23%C．1．5% D．0．15%易错分析：（1）不能正确得出该正态分布的两个参数μ，σ导致计算无从下手．（2）对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错．正确解析：依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率约为0．997，所以成绩在区间（92,140）内的考生所占百分比约为99．7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为eq\f(1－99.7%,2)＝0．15%．故选D．答案D例7在我校2023年高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．【答案】【解析】试题分析：我校成绩高于分的有人．例8已知随机变量服从正态分布，且方程有实数解得概率为，若，则．【答案】【解析】试题分析：∵方程有实数解的概率为，∴，即，故正态曲线的对称轴是，如图，，．例9已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68．3%，95．4%和99．7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有（）[来源:Z．xx．k．Com]A．997人B．972人C．954人D．683人【答案】C【解析】∵，∴．例10在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布，其中可以近似为100名学生的预赛平均成绩，，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第题时扣掉分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0．75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？（参考数据，若，则，，）．【答案】（1），（2），（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．【分析】（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩不低于80分的人数为15人，由此能求出至少有1人成绩不低于80分的概率．（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，求出，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，求出，为了获取答题的资格，甲需要扣掉的分数为：，设甲答完题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量的值．【详解】解：（1）样本成绩不低于60分的学生有人其中成绩不低于80分的有人则至少有1人成绩不低于80分的概率（2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为，所以，，所以所以，则故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为人（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，，依题意为了获取答题的资格，甲需要扣掉的分数为：，设甲答完题的分数为，则，由于，当时，取最大值，即复赛成绩的最大值为．若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．例11习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动．界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”．某日，学校工会随机抽取了该校名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：（1）求名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为，求该校被抽取的名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人元；“一般生活方式者”奖励金额每人元；“超健康生活方式者”奖励金额每人元．求工会慰问奖励金额的分布列和数学期望．附：若随机变量服从正态分布，则，．【答案】（1）见解析．（2）54人．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）利用中点近似每组的数值可得名教职工日行步数的样本平均数为千步．（2）由题意可得，结合正态分布的准则可得：，，则．据此可估计走路步数的总人数为人．（3）由题意知的可能取值为，，，，，相应的概率值为：，，，，．据此得到X的分布列，计算其数学期望为．试题解析：（1）．（2）∵，∴，，∴．走路步数的总人数为人．（3）由题意知的可能取值为，，，，，，，，，．则的分布列为：．例12某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，其中平均车速，标准差．通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）．（1）从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率．（2）某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出上面的条形图．①估计这100辆车的速度的中位数（同一区间中数据视为均匀分布）；②若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为速度X，求X的分布列和期望．附：若，则；；．【答案】（1）0．1814；（2）①85，②分布列见解析，期望为2．4【分析】（1）利用正态分布的对称性求、，而车速在之外的车辆需矫正速度，即可求车辆需矫正速度的概率；（2）①根据中位数的概念即可得到车速的中位数，②由题意车速在之间的不需要矫正速度且不需要矫正速度的车辆数的取值为，进而利用二项分布的概率公式求不同的概率，并得到分布列，即可计算期望值【详解】（1）由，∴由题意，知：快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率为（2）①由图知：100辆车的速度在有26辆，在有34辆∵同一区间中数据均匀分布，知：40辆速度在之间的车中，速度为83、84、85、86各有10辆∴100辆车的速度的中位数为85②由题意知：不需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之间的不需要矫正速度∴不需要矫正速度的概率：，需要矫正速度的概率：∴由上：，分布列如下：0123∴举一反三1．已知随机变量服从正态分布，且，，若，则（）A．0．1358B．0．1359C．0．2716D．0．2718【答案】B2．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0．84，则P（ξ＜0）＝（）A．0．16B．0．32C．0．68D．0．84【解析】∵P（ξ≤4）＝0．84，μ＝2，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞4）＝1－0．84＝0．16．【答案】A3．已知随机变量,其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量,则,A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，落入阴影部分点的的概率为，则落入阴影部分点的个数的估计值为，故选B．4．若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．【答案】16205．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35％以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70％．武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：垃圾量频数56912864（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0．1）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，近似为样本方差，经计算得．请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数．（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设为抽到的这一天的垃圾量至少为30．5吨的社区个数，求的分布列与数学期望．（参考数据：；；）【答案】（1）22．8吨；（2）51；（3）分布列见解析，．【分析】（1）直接利用平均数公式求解；（2）由（1）知，由题意可知，利用原则求解；（3）的可能取值为1，2，3，4，利用超几何分布求概率，列出分布列，并求数学期望．【详解】（1）由频数分布表得：，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22．8吨．（2）由（1）知，，，，，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51．（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30．5吨的社区有4个，所以的可能取值为1，2，3，4，且，，，，所以的分布列为：1234．课后练习1．已知随机变量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正态分布的对称性知，，故选B．2．设随即变量服从正态分布，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】正态曲线关于直线对称，，因此．3．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），P（ξ>2）＝0．023，则P（－2≤ξ≤2）＝（）A．0．954B．0．977C．0．488D．0．477[答案]A[解析]P（ξ>2）＝0．023，由正态分布曲线的性质可知，P（－2≤ξ≤2）＝1－2×0．023＝0．954．4．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．【答案】0．2【解析】,所以5．若随机变量服从正态分布，，，设，且则__________．【答案】【解析】,，即，故答案为．6．为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：），其频率分布直方图如图所示．（1）求该植物样本高度的平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）假设该植物的高度服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，利用该正态分布求．附：．若，则，，）【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据求平均数以及方差即可；（2）由（1）得出的值，再由正态分布的性质求概率即可．【详解】（1）由题意可得平均数，（2）由（1）知，，从而所以．7．某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原