人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第02讲 1.2集合间的基本关系（原卷版）

第02讲1.2集合间的基本关系课程标准学习目标①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。2．在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。3.能利用Venn图表达集合间的关系。4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。知识点01：SKIPIF1<0图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为SKIPIF1<0图。SKIPIF1<0图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用SKIPIF1<0图，可以使问题简单明了地得到解决。对SKIPIF1<0图的理解(1)表示集合的SKIPIF1<0图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用SKIPIF1<0图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点02：子集1子集：一般地，对于两个集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果集合SKIPIF1<0中任意一个元素都是集合SKIPIF1<0中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合SKIPIF1<0为集合SKIPIF1<0的子集（1）记法与读法：记作SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，读作“SKIPIF1<0含于SKIPIF1<0”(或“SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即SKIPIF1<0.②对于集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“SKIPIF1<0”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“SKIPIF1<0”表示元素与集合之间的从属关系.【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）写出集合SKIPIF1<0的所有子集．【答案】SKIPIF1<0【详解】集合SKIPIF1<0的所有子集有：SKIPIF1<0知识点03：集合相等一般地,如果集合SKIPIF1<0的任何一个元素都是集合SKIPIF1<0的元素,同时集合SKIPIF1<0的任何一个元素都是集合SKIPIF1<0的元素,那么集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0相等,记作SKIPIF1<0.也就是说,若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.

（1）SKIPIF1<0的SKIPIF1<0图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关【即学即练2】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】对于A，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A正确；对于B，因集合SKIPIF1<0的元素为有序数对，而SKIPIF1<0的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；对于C，因集合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都表示大于2的数形成的集合，即SKIPIF1<0，C正确；对于D，由列举法表示集合知SKIPIF1<0正确，D正确.故选：B知识点04：真子集的含义如果集合SKIPIF1<0，但存在元素SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，我们称集合SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的真子集;（1）记法与读法：记作SKIPIF1<0，读作“SKIPIF1<0真包含于SKIPIF1<0”(或“SKIPIF1<0真包含SKIPIF1<0”)（2）性质：①任何一个集合都不是是它本身的真子集.②对于集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0图表示：【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）满足条件：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的集合M的个数为______.【答案】7【详解】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知，M中的元素个数多于SKIPIF1<0中的元素个数，不多于SKIPIF1<0中的元素个数因此M中的元素来自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的集合M的个数有7个，故答案为：7.知识点05：空集的含义我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：SKIPIF1<0规定：空集是任何集合的子集，即SKIPIF1<0;性质：①空集只有一个子集，即它的本身，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相同点都表示无都是集合都是集合不同点SKIPIF1<0表示集合；SKIPIF1<0是实数SKIPIF1<0不含任何元素SKIPIF1<0含有一个元素SKIPIF1<0SKIPIF1<0不含任何元素SKIPIF1<0含有一个元素，该元素为：SKIPIF1<0关系SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0【即学即练4】（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）有下列四个命题：①＝{0}；②SKIPIF1<0{0}；③{1}SKIPIF1<0{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①错误，②正确；SKIPIF1<0，故③正确，④错误，正确的个数为2.故选：B题型01判断两个集合的包含关系【典例1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·高三课时练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的关系满足（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例4】（2023·高一单元测试）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系是______．【变式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则这三个集合间的关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型02判断子集（真子集）的个数【典例1】（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0的真子集个数是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【典例2】（2023·高一单元测试）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足条件SKIPIF1<0的集合SKIPIF1<0的个数为_____个.【变式1】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，满足这样的集合SKIPIF1<0的个数（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式2】（2023·全国·高一专题练习）集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16题型03求集合中子集（真子集）【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0成立的实数SKIPIF1<0的取值集合为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的一个真子集可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一课时练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若用列举法表示，则集合SKIPIF1<0是________.【变式1】（多选）（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，则集合N可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型04空集的概念集判断【典例1】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】（2023·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．其中正确的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【变式1】（多选）（2023·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型05空集的性质及应用【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是____.【典例2】（2023·高一课时练习）不等式组SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_____________.【变式1】（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合SKIPIF1<0为空集，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______.题型06判断两个集合是否相等【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列与集合SKIPIF1<0表示同一个集合的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型07根据两个集合相等求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．1或2 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．2 D．1【典例2】（2023秋·广东广州·高一秀全中学校考期末）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；【变式1】（2023秋·广东江门·高一统考期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若P=Q，则SKIPIF1<0_________..题型08根据集合的包含关系求参数【典例1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或1 B．0或1 C．1 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值是_________．【典例3】（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，求实数SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【变式1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0成立的实数a的取值范围是_____．【变式2】（2023·高一课时练习）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．题型09新定义题【典例1】（2023·全国·高一专题练习）给定集合SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“好元素”，由SKIPIF1<0的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【典例2】（2023·高一课时练习）设SKIPIF1<0是整数集的一个非空子集，对于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“孤立元”，给定SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．本节重点方法（数轴辅助法）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围_________．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是________．本节数学思想方法（分类讨论法）【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.本节易错题（忽略空集）【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值构成的集合为___________.1.2集合间的基本关系A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）已知集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则集合A的子集的个数为（

）A．15 B．16 C．31 D．322．（2023·全国·高一专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，正确的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤4．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值集合为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0二、多选题7．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．集合SKIPIF1<0是无限集D．集合SKIPIF1<0的子集共有4个8．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0三、填空题9．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0则集合M的个数为______．10．（2023·高一单元测试）已知集合SKIPIF1<0有且仅有两个子集，则SKIPIF1<0的取值集合为___________.四、解答题11．（2023·高一课时练习）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值．12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－SKIPIF1<0<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．B能力提升1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的关系表示最准确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互不包含2．（2023·全国·高三专题练习）设a，b是实数，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．14．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是________．5．（2023·全国·高三专题练习）设集合A={SKIPIF1<0}，B={xSKIPIF1<0}，且ASKIPIF1<0B，则实数k的取值范围是_