专题1.32 全等三角形（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.32全等三角形（全章分层练习）（提升练）一、单选题1．下列各组图形中不是全等形的是()A．B． C． D．2．如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（

）A． B． C． D．3．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°4．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（

）A．55° B．60° C．65° D．70°5．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（

）A． B． C． D．6．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（

）A．4 B． C．5 D．7．在中，，线段，，分别是的高，中线，角平分线，则点，，的位置关系为（

）A．点总在点，之间 B．点总在点，之间C．点总在点，之间 D．三者的位置关系不确定8．如图，中，，于点．过点作//且，点是上一点且，连接，，连接交于点．下列结论中正确的有（

）个．①；②；③平分；④；⑤A．2 B．3 C．4 D．59．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．求证：．以下是排乱的证明过程：①∴∠BED＝∠CFD＝90°，②∴．③∵DE⊥AB，DF⊥AC，④∵在和中，，证明步骤正确的顺序是（

）A．③→②→①→④ B．③→①→④→②C．①→②→④→③ D．①→④→③→②10．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADCC．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°二、填空题11．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝．12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．13．如图，，，要使，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）14．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD=DE，AB=BE，∠A=70°，则∠CED=度．15．如图，为边的中点，，过点作直线交与点，交于点，若，，则．16．如图，已知AC与BF相交于点E，ABCF，点E为BF中点，若CF＝8，AD＝5，则BD＝．17．和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为．18．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

三、解答题19．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．20．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．(1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥AC；(3)求EF与AE的长．21．动手操作：如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.问题解决：(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度数；(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证：△CAN≌△CMN.实验探究：(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.22．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∠APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．23．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．24．综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．

实践操作（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；探究发现（2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由；探究应用缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长．参考答案1．B【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．解：观察发现，A.C.D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，B选项中圆与椭圆不可能完全重合，∴不是全等形．故答案选B.【点拨】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形.2．A【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出．解：如图，连接，，根据题意得，，，在和中，，∴，∴，故选：A．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．B【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．解：∵在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B．【点拨】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．4．D【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求．解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处，，，，，，，，故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．5．B【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．解：∵正方形∴在和中，，∴∴∵平分∴∴故选B．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．6．B【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．解：，，，，，，故选：B．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7．C【分析】延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD>∠CAF>∠CAH，即可完成解答．解：假设，如图所示，延长至点，使，连接，在和中，，，，，，，，，∵∠CAH+∠BAE=∠BAC∴∠BAC>2∠CAH∵AF平分∠BAC∴

∴∵AB<AC∴∠B>∠ACB∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°>2∠ACB+∠BAC∴∴∠CAF<90°−∠ACB∵AD⊥BC∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF即∠CAD>∠CAF>∠CAH∴点总在点，之间，故选：C．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．D【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质判断可求解．解：∵AD⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥AD，∴∠FAD=∠BAC=90°，∴∠FAE=∠BAD，故①正确；在△ABD和△AEF中，，∴△ABD≌△AEF（SAS），∴BD=EF，∠ADB=∠AFE=90°，故②正确；∵AF=AD，∠DAF=90°，∴∠AFD=45°=∠EFD，∴FD平分∠AFE，故③正确；∵△ABD≌△AEF，∴S△ABD=S△AEF，∴S四边形ABDE=S四边形ADEF，故④正确；如图，过点E作EN⊥EF，交DF于N，∴∠FEN=90°，∴∠EFN=∠ENF=45°，∴EF=EN=BD，∠END=∠BDF=135°，在△BGD和△EGN中，，∴△BDG≌△ENG（AAS），∴BG=GE，故⑤正确，故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．B【分析】根据垂直定义得出∠BED=∠CFD=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；故选：B．【点拨】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．10．C【分析】由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC与△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，∵CB＝CD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠B＝∠CDE，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故选：C．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．11．2【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．解：AB⊥AD，CE⊥BD，，在与中，，，AD＝5，CD＝7，，BD=CD＝7，故答案为：2【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．12．55°【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．13．或或（只需写出一个条件即可，正确即得分）【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．解：如图所所示，∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．∴∠BAC=∠EAD．（1）当∠B=∠E时，（2）当∠C=∠D时，（3）当AB=AE时，故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE【点拨】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．14．110【分析】根据SSS证△ABD≌△EBD，得∠BED=∠A=70°，进而得出∠CED.解：∵AD=DE，AB=BE又BD=BD∴△ABD≌△EBD（SSS）∴∠BED=∠A=70°∴∠CED=180°-∠BED=180°-70°=110°故本题答案为110.【点拨】本题通过考查全等三角形的判定和性质，进而得出结论.15．10【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得．解：，，为的中点，，在和中，，，，，，故答案为：10．【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．16．3【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结果．解：∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠B=∠F，∵点E为BF中点，∴BE=FE，在△ABE与△CFE中，，∴△ABE≌△CFE（AAS），∴AB=CF=8，∵AD=5，∴BD=3，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．17．50°或130°【分析】分别画出两个三角形，①AM、DN都在三角形内部，根据直角三角形全等的判定定理（HL）可得出Rt△ACM≌Rt△DFN，从而可得出∠ABC＝∠DEF；②AM、DN有一个在三角形的外部，可证明Rt△ACM≌Rt△DFN，可求得∠DFN＝∠ACM＝60°，然后可求得∠DFE的度数．解：如图1所示：∵AM、DN分别为BC、EF边上的高，∴△ACM和△DFN均为直角三角形．∵在Rt△ACM和Rt△DFN中，∴Rt△ACM≌Rt△DFN．∴∠DFE＝∠ACB＝50°．如图2所示：∵AM、DN分别为BC、EF边上的高，∴△ACM和△DFN均为直角三角形．∵在Rt△ACM和Rt△DFN中，∴Rt△ACM≌Rt△DFN．∴∠DFN＝∠ACB＝50°．∴∠DFE＝130°．故答案为：50°或130°．【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质，需要掌握三角形的判定定理包括：SAS，AAS，ASA，SSS，HL（直角三角形的判定），注意AAA，SSA不能判定全等，分类画出图形是解题的关键．18．6【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．解：如图，在上取一点E，使，连接，

是的平分线，，在和中，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，，，解得，即的最小值为6，故答案为：6．【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．19．见分析【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．解：证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．20．(1)证明见分析；(2)证明见分析；(3)EF＝，AE＝1．【分析】（1）利用直角三角形的判定定理证明即可；（2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；（3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用，证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝，即可求出EF＝BF－BE＝－5＝．解：（1）证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，，∴．（2）证明：∵，∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．（3）解：∵S△ABC＝AD•BC＝14，AD＝4，∴BC＝7，∵BD＝4，∴CD＝3，∵，∴ED＝CD＝3，∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，∵S△ABC＝BF•AC＝14，BE＝AC＝5，∴BF＝，∴EF＝BF－BE＝－5＝．【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．21．(1)∠MAB=51°；(2)详见分析；(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.【分析】（1）利用平行线的性质求出∠CAB，再根据角平分线的定义即可解决问题；（2）根据AAS即可判断；（3）根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定；解：(1)∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=78°，∴∠CAB=102°.由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=51°；(2)证明：由作法知，AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB.∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA,∴∠CAM=∠CMA，∵CN⊥AM，∴∠CNA=∠CNM=90°.又∵CN=CN，∴△CAN≌△CMN.(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图.22．(1)①AE＝BD；②60°；(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见分析【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∵∠DOP=∠COA，∴∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；（2）上述结论成立，∵△ACD，△BCE均为等边三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．23．(1)48；(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见分析【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FA