人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第01讲 1.1集合的概念（含解析）

第01讲1.1集合的概念课程标准学习目标1.元素与集合①理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法.②了解“属于”关系的意义.③了解有限集、无限集、空集的意义.2.集合的表示方法掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化).3.元素的性质理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性.1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力.2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.知识点01：集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示集合.

知识拓展集合的三个特性：①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.【即学即练1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.知识点02：元素与集合1元素与集合的关系(1)属于(belongto)：如果SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的元素，就说SKIPIF1<0属于SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0.(2)不属于(notbelongto)：如果SKIPIF1<0不是集合SKIPIF1<0的元素，就说SKIPIF1<0不属于SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0.特别说明：SKIPIF1<0表示一个元素，SKIPIF1<0表示一个集合.它们间的关系为：SKIPIF1<0.2集合元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.【即学即练2】（2023·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2020，都是数集．选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．故选：C知识点03：集合的表示方法与分类1常用数集及其符号常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“SKIPIF1<0”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开．②集合中的元素必须是明确的．③集合中的元素不能重复．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定义：一般地，设SKIPIF1<0表示一个集合，把集合SKIPIF1<0中所有具有共同特征SKIPIF1<0的元素SKIPIF1<0所组成的集合表示为SKIPIF1<0，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）SKIPIF1<0（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为SKIPIF1<0图。3集合的分类根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程SKIPIF1<0的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在SKIPIF1<0图中来表示.（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式SKIPIF1<0的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。【即学即练3】（2023高一课时练习）已知①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③0={0}；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，其中正确的个数为______.【答案】3【详解】SKIPIF1<0是无理数，属于实数，①正确；SKIPIF1<0是分数，属于有理数，②正确；0表示一个元素，SKIPIF1<0表示一个集合，③错误；N表示从0开始的所有自然数集合，SKIPIF1<0，④错误；SKIPIF1<0是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；Z表示所有整数的集合，-3是整数，SKIPIF1<0，⑥正确；故答案为：3.知识点04：集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：SKIPIF1<0,例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数m=________.【答案】1或SKIPIF1<0/SKIPIF1<0或1【详解】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案为：1或SKIPIF1<0题型01判断元素能否构成集合【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与SKIPIF1<0非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校SKIPIF1<0学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.【典例2】（2023·高一课时练习）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．SKIPIF1<0年高考数学难题C．所有有理数 D．小于SKIPIF1<0的正整数【答案】B【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；SKIPIF1<0年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于SKIPIF1<0的正整数分别为SKIPIF1<0，所以能够组成集合.故选：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）下列四组对象中能构成集合的是（）A．宜春市第一中学高一学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数【答案】D【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．故选：D．题型02判断是否为同一集合【典例1】（2023·高一课时练习）判断下列命题是否正确．（1）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（2）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（3）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0不表示同一集合；()（4）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示同一集合．()【答案】正确错误错误错误【详解】（1）集合元素具有无序性，集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0元素相同，故表示同一集合，正确；（2）两集合为点集，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示的点不同，所以集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示两个不同的集合，错误；（3）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0均表示大于3的所有实数的集合，所以集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示同一集合，错误；（4）集合SKIPIF1<0为数集，集合SKIPIF1<0为点集，不是同一集合，错误；故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.【典例2】（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是同一个集合C．集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0是同一个集合D．集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0是同一个集合【答案】A【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；SKIPIF1<0是不含任何元素的集合，SKIPIF1<0是含有一个元素0的集合，故B错误；集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，故C错误；集合SKIPIF1<0中有两个元素SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0中只有一个元素，为方程SKIPIF1<0，故D错误.故选：A.【变式1】（2023·高三课时练习）设SKIPIF1<0是有理数，集合SKIPIF1<0，在下列集合中；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；与SKIPIF1<0相同的集合有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】对于（1），由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，一一对应，则SKIPIF1<0对于（2），由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，一一对应，则SKIPIF1<0对于（3），由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，一一对应，则SKIPIF1<0对于（4），SKIPIF1<0，但方程SKIPIF1<0无解，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相同故选：B题型03判断元素与集合的关系【典例1】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合SKIPIF1<0下列关系正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以A、C错误，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B错误，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正确，故选:D．【典例2】（多选）（2023·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，则下列关系式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：ABC【变式1】（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是

()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M【答案】B【详解】当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.选B题型04根据元素与集合的关系求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【详解】解：因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0不满足集合元素的互异性，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时集合SKIPIF1<0不满足集合元素的互异性，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0满足条件；故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】由题意，集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，此时集合SKIPIF1<0，符合题意；若SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，不满足集合元素的互异性，舍去；若SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），当SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0，符合题意，综上可得，实数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知SKIPIF1<0，则a的值为______．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）集合SKIPIF1<0中所有元素之和为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，若方程SKIPIF1<0的一根为1，则SKIPIF1<0，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程SKIPIF1<0的根，则方程两根SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0不满足SKIPIF1<0，舍去.故答案为：SKIPIF1<0．题型05根据集合元素互异性求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，符合题设；SKIPIF1<0时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，符合题设；∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0均可以.故选：C【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0中的元素1，4，SKIPIF1<0，且实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0，2，0.【详解】因为实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0中含有1，4，1，不合题意；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，满足题意.所以实数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0，2，0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0构成的集合SKIPIF1<0的元素个数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不可以，②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可以，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不可以，③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不可以，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不可以，∴SKIPIF1<0，故选：B．【变式2】（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型06自然语言法【典例1】（2023·高一课时练习）用自然语言描述下列集合：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；(2)大于SKIPIF1<0的实数构成的集合；(3)大于2且小于20的所有质数构成的集合.(1)解：因为集合SKIPIF1<0表示：小于10的正奇数构成的集合；(2)解：集合SKIPIF1<0表示：大于SKIPIF1<0的实数构成的集合；(3)解：集合SKIPIF1<0表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合.题型07列举法【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合SKIPIF1<0用列举法表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A【典例2】（2023·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）方程组SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由方程组SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，集合应是点集，正确的形式是SKIPIF1<0.故选：D【典例3】（2023·四川·高一校考阶段练习）设集合SKIPIF1<0，则用列举法表示集合SKIPIF1<0为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】要使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·山西运城·高一校考阶段练习）集合SKIPIF1<0，用列举法表示为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0故选：C【变式2】（2023·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用列举法表示集合SKIPIF1<0_____________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意得SKIPIF1<0，2，3，4，6，12解得SKIPIF1<0，5，4，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0所以集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，1，3，4，5，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0题型08描述法【典例1】（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【详解】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：SKIPIF1<0；（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：SKIPIF1<0；（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0可用集合表示为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】直角坐标平面中除去两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其余的点全部在集合中，SKIPIF1<0选项中除去的是四条线SKIPIF1<0；SKIPIF1<0选项中除去的是SKIPIF1<0或除去SKIPIF1<0或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；SKIPIF1<0选项SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即除去两点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，符合题意；SKIPIF1<0选项SKIPIF1<0，则任意点SKIPIF1<0都不能SKIPIF1<0，即不能同时排除SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．故选：C【变式1】（2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）表示下列集合：(1)请用列举法表示方程SKIPIF1<0的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数SKIPIF1<0的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【详解】（1）方程SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为SKIPIF1<0.（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（4）用描述法表示二次函数SKIPIF1<0的图象上所有点的纵坐标组成的集合为SKIPIF1<0．题型09两个集合相等问题【典例1】（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】由题意SKIPIF1<0可知，两集合元素全部相等，得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又根据集合互异性，可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(舍)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：A【典例2】（2023·高一单元测试）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】0或SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；故答案为：0或SKIPIF1<0【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<01．故选：B．题型10根据集合中元素的个数求参数【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合SKIPIF1<0的元素只有一个，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0或0 D．无解【答案】C【详解】集合SKIPIF1<0有一个元素，即方程SKIPIF1<0有一解，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有一解，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，综上可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中有两个元素，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0中至多有一个元素，求实数的SKIPIF1<0取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）由于SKIPIF1<0中有两个元素，∴关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不等的实数根，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0只有一个元素；当SKIPIF1<0时，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个相等的实数根，则SKIPIF1<0中只有一个元素，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0没有实数根，则SKIPIF1<0中没有元素，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.综上可知，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式1】（2023·高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中只有一个元素，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一个元素，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中只有一个元素，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0综上可知SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0.（2）当集合SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0由（1）可知集合SKIPIF1<0有1个元素时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上可知：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.题型11常见数集或数集关系的应用【典例1】（2023·海南·高一海南中学校考期中）下列表示正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0表示正整数集，而-3是负整数，A不正确；SKIPIF1<0表示自然数集，0是自然数，B正确；SKIPIF1<0表示整数集，SKIPIF1<0是分数，C不正确；SKIPIF1<0表示有理数集，SKIPIF1<0是无理数，D不正确.故选：B【典例2】（多选）（2022秋·广东佛山·高一校考期中）下列关系式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】对于A，SKIPIF1<0是实数，即SKIPIF1<0，A正确；对于B，SKIPIF1<0，B错误；对于C，SKIPIF1<0是无理数，C错误；对于D，SKIPIF1<0，D正确.故选：AD.【变式1】（2023·陕西榆林·高一校考阶段练习）下列关系中，正确的个数为（

）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【详解】SKIPIF1<0是实数集，SKIPIF1<0是整数，有SKIPIF1<0，故①正确，SKIPIF1<0是有理数集，SKIPIF1<0是分数，而SKIPIF1<0是无理数，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②正确，④不正确，SKIPIF1<0表示自然数集，有SKIPIF1<0，故③不正确；SKIPIF1<0表示整数集，-3是整数，有SKIPIF1<0，故⑤正确；所以正确的个数是3，故选：C题型12新定义题【典例1】（多选）（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为“影子关系”集合，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故不是“影子关系”集合．故选：ABD【典例2】（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义SKIPIF1<0若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0中元素个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可能为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的取值为：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可能为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的取值为：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可能为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的取值为：SKIPIF1<0；综上可知：SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0中元素个数为5，故选：D.【变式1】（2023·高一课时练习）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且SKIPIF1<0∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．【答案】数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．举反例见解析【详解】（1）数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N,2∈N，而SKIPIF1<0＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而SKIPIF1<0＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．（2）数集Q，R是“闭集”．由于两个有理数a与b的和，差，积，商，即a±b，ab，SKIPIF1<0(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集．同理R也是闭集．本节重点方法分类讨论法【典例1】（多选）（2023秋·山东东营·高一统考期末）关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解集中只含有一个元素，则SKIPIF1<0的值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】由已知方程得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程SKIPIF1<0有且仅有一个不为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的解，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，满足题意；②方程SKIPIF1<0有两个不等实根，其中一个根为SKIPIF1<0，另一根不为SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时方程另一根为SKIPIF1<0，满足题意；③方程SKIPIF1<0有两个不等实根，其中一个根为SKIPIF1<0，另一根不为SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时方程另一根为SKIPIF1<0，满足题意；综上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：ABD.【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）1是SKIPIF1<0中的一个元素，用列举法表示SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一个元素，试求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0中只有一个元素时，SKIPIF1<0只有一个解，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0中没有元素时，SKIPIF1<0无解，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是空集，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0中至多有一个元素，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）由题意得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，解集不为空集，舍去；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.1.1集合的概念A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·高一课时练习）设有下列关系：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正确的个数为．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【详解】SKIPIF1<0表示实数集

SKIPIF1<0，则①正确SKIPIF1<0表示有理数集

SKIPIF1<0，则②正确SKIPIF1<0表示自然数集

SKIPIF1<0，则③正确SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的一个元素

SKIPIF1<0，则④正确本题正确选项：SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）集合SKIPIF1<0中的元素个数是（

）A．0 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0中的元素个数有4个，故选：B.3．（2023秋·山东济南·高一济南市历城第二中学校考期末）方程x2＝x的所有实数根组成的集合为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，方程x2＝x的所有实数根组成的集合为SKIPIF1<0．故选：C．4．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，则a=（

）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【答案】D【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足互异性，舍去，当SKIPIF1<0时，集合为SKIPIF1<0，满足；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足互异性，舍去.综上SKIPIF1<0．故选：D．5．（2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习）已知集合M=SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则M等于（

）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{SKIPIF1<0，2，3，4}【答案】D【详解】因为集合M=SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，，所以5-a可能为1，2，3，6，即a可能为4，3，2，SKIPIF1<0.所以M={SKIPIF1<0，2，3，4}，故选：D.6．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）由实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所组成的集合，最多含元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，集合元素最多有1个；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以集合元素最多有2个；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以集合元素最多有2个；故选：A7．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若集合SKIPIF1<0中只有一个元素，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：集合SKIPIF1<0中只有一个元素，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0只有一个元素为：SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时：方程SKIPIF1<0只有一个解：即SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}【答案】D【详解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x即SKIPIF1<0有且只有一个实数解SKIPIF1<0,∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出p＝－3，q＝4.则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；则x－1＝0或x－1＝4，计算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故选：SKIPIF1<0.二、多选题9．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）下列说法中不正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0表示同一个集合B．集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0与SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示同一个集合C．方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示为SKIPIF1<0D．集合SKIPIF1<0不能用列举法表示【答案】ABC【详解】对于A中，SKIPIF1<0是一个元素（数），而SKIPIF1<0是一个集合，可得SKIPIF1<0，所以A不正确；对于B中，集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示数SKIPIF1<0构成的集合，集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示点集，所以B不正确；对于C中，方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示为SKIPIF1<0，根据集合元素的互异性，可得方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示为SKIPIF1<0，所以C不正确；对于D中，集合SKIPIF1<0含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.10．（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期中）已知集合SKIPIF1<0，则有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】解：SK