2023-2024学年山西省晋中市高二上册8月开学考数学试题（含解析）

2023-2024学年山西省晋中市高二上册8月开学考数学试注意事项：1.学生必须用黑色中性笔在答题卡上答题.2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚.3.答题时字迹要清楚､工整，不宜过大，以防答题卡区域不够使用.一､选择题.单选题（共8小题，每题5分共40分）1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，若，则实数的取值的集合为（

）A． B． C． D．3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某市居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（

）A．7.5 B．8 C．8.5 D．94．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（

）A．1 B． C． D．5．过正方形的顶点A，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是（）A． B． C． D．6．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（

）A． B． C． D．47．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（

）A． B． C． D．8．《九章算术注》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（

）①由图1和图2面积相等可得；②由，可得；③由可得；④由可得A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③二､多选题（每题5分共20分，少选得2分有错选得0分）9．（多选题）已知，，为虚数单位，且，复数，则以下结论正确的是（

）A．的虚部为 B．的模为2 C．的共轭复数为 D．对应的点在第四象限10．如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面11．已知向量，，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若取得最大值时，则D．的最大值为12．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：您的编号是否为奇数？问题：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题，若摸出红球则回答问题，共有人回答“是”，则下述正确的是（

）A．估计被调查者中约有人吸烟 B．估计约有人对问题的回答为“是”C．估计该地区约有的中学生吸烟 D．估计该地区约有的中学生吸烟三､填空题（共4题；每题5分共20分）13．中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.14．已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为.15．将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为2.A∶2.A，B，C三层的样本的平均数分别为15，30，20，则样本的平均数为.16．如图所示，在直三棱柱中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值是______________．四､解答题（解答过程要完整）17．已知复数（）．（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．18．设两个向量满足,,的夹角为60°,若向量与的夹角为钝角,求实数t的取值范围.19．在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，E是的中点，．(1)证明：平面．(2)若四棱锥的体积为，求．20．为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级名新生进行了传染病防控知识测试，并从中随机抽取了份答卷，按得分区间、、、、、分别统计，绘制成频率分布直方图如下.（1）求图中的值；（2）若从高一年级名学生中随机抽取人，估计其得分不低于分的概率；（3）估计高一年级传染病防控知识测试得分的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）21．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．22．某市政府随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350度之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值，并估计居民月用电量的众数；(2)为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数（精确到个位数字）；(3)用分层抽样的方法在和两组中抽取5户居民作为节能代表，从节能代表中随机选取2户进行采访，求这2户来自不同组的概率．1．D【分析】先由复数的运算化简复数，再由几何意义求出所在象限即可.【详解】由题意得，，，则复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.2．D【分析】根据，列式分类讨论计算，然后将计算所得的结果代入集合验证.【详解】集合，，又∴或，解得或或，当时，，，，符合题意当时，，，，不符合题意当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.，则实数的取值的集合为.故选：D.3．C【分析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为，所以这10个人的分位数为.故选：C.4．D【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.【详解】，，因为与互相垂直，所以，所以，所以.故选：D.5．B【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，∵PE⊥平面BCE，∴∠CEB为平面和平面所成的锐二面角，大小为45°.故选：B.6．C【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.【详解】由题意可得，.故选：C7．C【分析】求出其对立事件“三名同学都没有被选上”的概率即可得解.【详解】由题：三名同学都没有被选上的概率为，所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为.故选：C此题考查求独立事件同时发生的概率，涉及利用对立事件的概率关系求解概率，当正面求解概率分类较多的时候可以考虑利用对立事件求概率.8．A【分析】根据图形，逐项判断，即可得出结果．【详解】①由面积相等得，，正确；②在图3中，由三角形面积得，又，由得，所以，正确；③，由得，所以，正确；④由由得，所以，正确．四个推理都正确．故选：A．本题主要考查构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性，属于常考题型.9．BC【分析】由复数相等可构造方程求得，利用复数乘法运算求得；根据复数虚部定义、模长求解、共轭复数定义和对应点的坐标依次判断各个选项得到结果.【详解】，，解得：，.对于，的虚部为，错误；对于，，正确；对于，的共轭复数为，正确；对于，对应，不在第四象限，错误.故选.本题考查复数相关定义的辨析，涉及到复数虚部定义、模长求解、共轭复数定义和对应点的坐标；关键是能够利用复数相等和复数乘法运算求得复数.10．ABC【分析】根据平面，得到，再结合，利用线面垂直的判定定理判断A；由，为的中点，得到，再结合平面判断C；根据平面即可判断B；由，得到与不平行，与不垂直，即可判断D.【详解】平面，平面，又，平面且平面，故A正确由平面，平面得又，是的中点，又平面，平面，平面，故B,C正确由平面，平面得因为与不平行因此与不垂直从而不与平面垂直，故D错误故选：ABC.11．ACD【分析】根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断A正确，B不正确.对于C，根据，，即可得到，所以C正确，对于D，根据的最大值为，即可判断D正确.【详解】A选项，若，则，即，故A正确．B选项，若，则，则，故B不正确．C选项，，其中.当取得最大值时，，即，，故C正确.D选项，，当时，取得最大值为，所以的最大值为，故D正确.故ACD本题主要考查平面向量的坐标运算，同时考查了三角函数的最值问题，属于中档题.12．BC【分析】根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为，其编号是奇数的概率也是，计算可得随机抽出的名学生中回答第一个问题且为“是”的学生数，由此求出回答第二个问题且为是的人数，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进而估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项可得结论．【详解】随机抽出的名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题且回答是的人数为；所以回答第二个问题，且为是的人数；由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为；估计被调查者中约有人吸烟；故表述正确的是BC．故选：BC．本题考查了简单随机抽样方法的应用问题，是中档题．13．【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则，.∵A，B是互斥事件，∴.14．##【分析】根据题意可转化为正方体内切球的内接正方体，利用直径与体对角线的关系求解即可.【详解】设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则，解得.设所求的小正方体的棱长为a，则，所以，所以小正方体体积的最大值为.故答案为:15．20.5【分析】结合分层抽样的概念即可.【详解】解析：由题意可知样本的平均数为＝×15＋×30＋×20＝20.5，故20.516．【详解】试题分析：由题意得，在同一个平面内，沿展开是等腰直角三角形，作,所以．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到棱柱的结构特征及两点间的距离公式，棱柱的侧面展开图等知识点的综合考查，本题的解答中将在同一个平面内，沿展开是等腰直角三角形，将一个空间问题转化为平面内的两点之间的距离问题是解答的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与云散能力，属于中档试题．17．（1）（2）（2，3）【分析】（1）由纯虚数的概念列方程组求解即可；（2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解.【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，解之得，．（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解之得，得．所以实数的取值范围为（2，3）．本题主要考查了复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.18．根据()（)可求得，又与反向共线时，可求得，即可求的范围.【详解】因为,,的夹角为60°,所以60°，因为向量与的夹角为钝角，所以()（)，所以，即，解得，又与反向共线时，必存在使（)，即，因为不共线，所以，所以，且，所以，所以所求的范围是本题考查了平面向量的数量积，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的夹角，当两个向量的夹角为时，也满足数量积小于0，故要排除，这是容易错的地方，应该特别注意，属于中档题.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点F，连接，可得，由线面平行的判定定理可得答案；（2）取的中点O，连接，则，由面面垂直的性质可得平面，设，则求出，连接，由底面是菱形，求出，再由余弦定理可得答案．【详解】（1）连接交于点F，连接，因为底面是菱形，所以F是的中点，又E是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）取的中点O，连接，则，因为平面平面，且平面平面，所以平面，设，则，得，连接，因为底面是菱形，，所以，且，因为，所以，又，所以由余弦定理可得．20．（1）；（2）；（3）.（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；（2）根据直方图可计算出事件“从高一年级名学生中随机抽取人，其得分不低于分”的概率；（3）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出高一年级传染病防控知识测试得分的平均数.【详解】（1）由图可得，解得；

（2）估计得分不低于分的概率为；（3）估计得分的平均数.21．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.22．(1)0.0044，175(2)234(3)【分析】（1）利用频率分布直方图的面积之和为1，求x，再由众数的定义求解；（2）先求得内的居民数，