解答题专项提分计划重庆市2023届新高考数学复习专题1解三角形含解析

Page27专题1解三角形解答题30题专项提分计划1．（2022秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数．(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)在中，角的对边分别为．若，，求的面积的最大值．【答案】(1)，，(2)【分析】(1)利用三角恒等变换求出函数的解析式，根据函数的性质求解；(2)利用边化角转化为三角函数求面积的最大值或者用余弦定理和基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）．∴的周期，由，，得，所以的单调递增区间是，．（2）∵，即，又，∴，由正弦定理有，∴∵，∴，∴,当即时取得最大值.另解：∵，即，又，∴，由余弦定理知：，即，当且仅当时，等号成立．∴，∴当时，．2．（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，函数的最大值为.(1)求的值；(2)此是否能同时满足，且___________？在①，②边的中线长为，③边的高线长为这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，若满足上述条件，求其周长；若不能满足，请说明理由.【答案】(1)(2)选①，的周长为；选②，不存在，理由见解析；选③，的周长为【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，根据函数的最值可得解；（2）若选①，结合三角恒等变换可得的值，根据正弦定理可求得，再根据余弦定理可得，进而可判断是否成立并求得周长；若选②，由已知可得，根据，结合余弦定理可得与，可得不成立；若选③，根据三角形面积可得，再根据余弦定理可得，进而可判断是否成立并求得周长.【详解】（1），其中，，又函数的最大值为，即，整理得，又，所以，所以，解得；（2）若选①，由，即，得，又由正弦定理得，且，所以，由余弦定理可知，解得，且满足，所以满足条件，，解得，故的周长为；若选②，设边的中线为，则，所以，所以，又由余弦定理得，即，解得，，不满足，所以不存在；若选③，由三角形面积公式得，且，可得，由余弦定理，解得，满足，所以满足上述条件，，即，所以的周长为.3．（2022·重庆江北·校考一模）已知向量，且，(1)求函数在上的值域；(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的数量积为求得解析式进而求得值域.（2）利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.【详解】（1）由已知，，所以所以，又因为所以，所以，即在上的值域为（2）由（1）知：所以，又所以，所以，又因为由余弦定理可得：，所以所以，当且仅当时取“=”故面积的最大值为4．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．【答案】(1)序号组合为①②③，①②④(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）判断出③，④不能同时存在，由此确定正确答案.（2）选①②③，则利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积；选①②④，则利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积.【详解】（1）对于③，；对于④，，即，且，则，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．（2）选①②③：时，由余弦定理：，整理得：且，则，的面积为．选①②④：时，由余弦定理：，整理得：，则，的面积．5．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知中，角的对边分别为，．(1)求；(2)若的面积为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理边化角，再结合和角公式，可求出．（2）利用余弦定理，结合面积公式，计算即可得出结果．【详解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，，即又，所以.（2）由及余弦定理知，,①由面积公式：整理得：,②结合①②可得,即得，所以．6．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，已知的三个内角的对边分别为，若，点在线段上，且(1)求角的大小；(2)求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理可得结论；（2）利用求出关系，结合（1）和基本不等式得的最大值，从而得面积最大值．【详解】（1）得，即，由，得．（2）由，得，又，，当且仅当时，等号成立，，，即面积最大值为．7．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）在中，内角的对边分别为，．(1)求；(2)如图，在所在平面上存在点，连接，若，，，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解；（2）由（1）的结论，运用正弦定理和条件计算出，再用面积公式计算.【详解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，，又是三角形内角，；（2）令，四边形内角和为，由（1）的结论知：…①，在中，由正弦定理得：，在中，，又，将①代入得：，，即，

，，；综上，，.8．（2023春·重庆·高三统考开学考试）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)法一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，再利用三角形内角的取值范围即可求解；法二:利用余弦定理得出，根据三角形内角的取值范围即可求解；(2)方法一：设，则，利用正弦定理得出，，然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.【详解】（1）法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，法一:设，则，由正弦定理得，∴，，∴，当且仅当时，的最大值为.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，当且仅当时，的最大值为.9．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若______，求角B的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】.【分析】观察每一个条件表达式的结构，搞清楚是边化角，还是角化边，再利用两角和或两角差公式即可.【详解】若选①：，，，，；若选②：，，，，；若选③：，，，.10．（2023·重庆·统考一模）如图，在平面四边形ABCD中，，于点E，，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍．(1)求值；(2)当时，求线段DE的长．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用三角形面积公式和面积之间的关系得到；（2）由正弦定理得，则有，分情况讨论即可.【详解】（1），，，，.（2）由题,在中,,，.又.在中,由余弦定理,得.当时,.当时,.综上:或.11．（2022·重庆涪陵·重庆市涪陵高级中学校校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为，且．(1)求角C的大小；(2)若的外接圆半径为2，求的面积最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；（2）求出，利用余弦定理和基本不等式求出，即得解.（1）解：由题得，所以，所以..（2）解：由正弦定理得，则，由余弦定理得，即（当且仅当时取等号），故（当且仅当时取等号）．即面积的最大值为．12．（2022·重庆·统考三模）已知函数的最小正周期为.(1)求的单调递增区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，满足.现有三个条件：①；②；③.请选择其中1个条件，使得既能为锐角三角形也能为钝角三角形，并求的值.【答案】(1)(2)当时，；当时，；【分析】（1）先化简得到，直接求出的单调递增区间；（2）先求出，由正弦定理判断出，利用余弦定理求出.(1).因为的最小正周期为，所以，所以，即.要求的单调递增区间，只需.解得：，即的单调递增区间为.(2)因为，所以.因为A为锐角，所以.对于，，.要使既能为锐角三角形也能为钝角三角形，只需.所以不合题意；当时，符合，故；当时，有，不合题意.故中，，，.由余弦定理得：，解得：或.当时，.当时，.13．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若点D在边AB上，，，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理化简可得，再由正弦定理化边为角即可求出；（2）在中，由余弦定理结合基本不等式可求得，即可得出答案.(1)因为，所以，即，由正弦定理可得，即，即，因为，所以，因为，所以；(2)在中，由余弦定理可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以面积的最大值为.14．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．(1)求B；(2)在条件①和条件②中选择一个，求ABC的面积．条件①：，．条件②：，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简求解；（2）选①：，，利用余弦定理求得边a，再利用三角形面积公式求解；选②：，．利用余弦定理求得边ac，再利用三角形面积公式求解；(1)解：由，得．即，即．因为B是ABC的内角，所以，．或．又由，得，所以B为锐角，故．(2)若选①：，，由余弦定理，得，解得或．若，则ABC的面积为；若，则ABC的面积为．若选②：，．由余弦定理，得，，所以．ABC的面积为．15．（2022·重庆·校联考三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积.(1)求角B的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理可得，进而求解；（2）由（1）可知，根据锐角三角形，可得，结合差角公式和二倍角公式化简可得，利用正弦型函数的性质求解即可.(1)解：在中，面积为，又，，所以，所以，又锐角，，所以.(2)解：由（1）得，，又是锐角三角形，得，所以，由，所以，所以的取值范围是.（2022·重庆·统考模拟预测）16．在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在中，内角、、的对边长分别为、、，且_______．(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①，由正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；选②或③，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出，再利用余弦定理结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.（1）解：选①，由及正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，，则；选②，由及正弦定理可得，即，因为、，则，所以，，则；选③，由及正弦定理可得，因为，则，所以，，则.（2）解：由三角形的面积公式可得，，由余弦定理结合基本不等式可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.17．（2022·重庆·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列.(1)若，求的面积；(2)是否存在整数使得为钝角三角形?若存在，求此钝角的余弦值；否则，请说明理由.【答案】(1)(2)存在整数使得为钝角三角形，此钝角的余弦值为【分析】（1）利用余弦定理角化边求出，再结合等差数列求出，余弦定理求出，再结合面积公式即可求解；（2）结合等差数列用b，c表示a，得到a的不等式，解出a进而求出b，c，再计算即可.(1)，∴，故，，∴；(2)为钝角三角形，即，由a，b，c是公差为1的等差数列，得，显然，，，不能构成三角形，当，，可构成三角形，此时.18．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简可求得，即可得出答案；（2）利用正弦定理将用表示，再结合已知求得，再根据余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得出答案.【详解】（1）解：中，角A，，所对的边分别为，，，且，，即，，，所以，又，；（2）解：中，由正弦定理可得，，同理可得，，，，，即，，由余弦定理可得，当且仅当时，取等号，，即的最大值为，面积，所以面积的最大值为.19．（2022·重庆·校联考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求C；(2)若，，点D在边AB上，且，求CD的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知借助正弦定理进行边角转化，然后再使用余弦定理，即可求解出C;（2）借助第（1）问角C及已知条件，利用余弦定理先求解出b，然后通过找到与b之间的关系，即可完成求解.(1)由已知借助正弦定理可得：，即，即，，故；(2)由余弦定理知，∴，由知，，即.20．（2022·重庆沙坪坝·重庆市天星桥中学校考一模）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.(1)求氢能源环保电动步道的长；(2)若，求花卉种植区域总面积（电动步道的面积忽略不计）.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，从而由余弦定理即可求出AC的长；（2）利用余弦定理求出，利用面积公式求出和，进而可得花卉种植区域总面积.(1)解：因为，，所以，因为，，所以由余弦定理得，因为，所以；(2)解：因为，所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），因为，所以，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为.21．（2022·重庆·统考一模）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角，，的对边分别为，，.已知______.(1)求角；(2)若，，求边上的中线的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.【答案】(1)任选一个，答案均为(2)．【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式，商数关系求得；选②，由正弦定理化边为角，由诱导公式、二倍角公式变形可求得；选③，由余弦定理化角为边，再由余弦定理求得；（2）在和中分别应用余弦定理后相加可得．【详解】（1）选①，由正弦定理得，，，，三角形中，所以，又，所以；选②由正弦定理得，三角形中，所以，又三角形中，所以，，所以，即；选③，由余弦定理得，整理得，所以，而，；（2）由（1），，由余弦定理得：，又，，所以，所以，．22．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】(1)由正弦定理可得，再利用余弦定理求解即可；(2)由题意可得，，，则有，，结合二次函数的性质求解即可.【详解】（1）解：由正弦定理及，得，整理得，由余弦定理得，又，∴；（2）解：因为，令，则函数为，由（1）知，，∴，∴，∴，所以在上单调递增，函数，即的取值范围为．23．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）在锐角中，，_________．(1)求角；(2)求的周长的取值范围．在①；②，；③，．且在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解．【答案】(1)条件选择见解析，．(2)．【分析】（1）选择条件①则结合正弦定理边角关系化简可得角；选择条件②则根据三角恒等变换化简得，再根据可得角；选择条件③则根据平面向量数量积的坐标运算与二倍角公式可得角；（2）利用正弦定理将的周长转化为关于角的正弦型函数，根据函数求解取值范围即可.【详解】（1）解：选择条件①，因为，由正弦定理得：，所以所以因为，所以，所以，又，则．选择条件②，因为，，所以，所以，由，得，所以或，因为是锐角三角形，所以．选择条件③，因为，，所以，所以，又，则．（2）解：由正弦定理，，即，因为，又，则，得所以，则，因为是锐角三角形，，所以，得，所以，则所以的周长为．24．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数，其中.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，角所对的边分别为，且，求的面积.【答案】(1)单调递减区间为(2)【分析】（1）由题知，再整体代换求解即可；（2）结合（1），根据题意得，再根据正弦定理边角互化得，进而结合余弦定理得，最后求面积即可.【详解】（1）因为函数，其中，所以，，由题意有，解得，所以，函数的单调递减区间为；（2）结合（1）得，因为，所以，所以，，解得，因为，所以，又在中，，所以，由余弦定理得，解得，所以.25．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在①；②；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角所对的边分别是，若.(1)求角；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）选①：先利用三角公式求出，即可求出角；选②：由正弦定理及三角变换求出，即可求出角；选③：由正、余弦定理求出，即可求出角；（2）利用△ABC的面积公式和余弦定理求出，即可得到△ABC的周长.【详解】（1）选①：由，得，即.所以或.因为，所以.选②：对于，由正弦定理得，即.因为，所以，所以.因为，所以.选③：由三角形内角和定理及诱导公式得到，所以.由正弦定理得：，即.由余弦定理得：.因为，所以.（2）因为△ABC的面积为，得：.由余弦定理得：,即，所以，所以，所以△ABC的周长为6.26．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求的值；(2)若的面积为1，求边a的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一边角的形式，化简后再利用正弦定理可求得结果；（2）由三角形的面积结合（1）可得，再利用余弦定理得，利用辅助角公式化简可求得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以由正弦定理得故．（2）因为的面积，且，所以，所以，所以根据余弦定理得：，即，可得，所以，其中，因为，则，解得：，即边a的最小值为．27．（2022秋·重庆云阳·高三校考阶段练习）如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．(1)证明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理即可求证，（2）根据余弦定理得，进而可得,，根据比例即可由面积公式求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,又，故，由于，所以，因此，（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,由于为三角形内角,所以，由(1)知,故因此,进而得28．（2023·重庆·统考一模）在中，角的对边分别为且.(1)求角C；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系化简已知等式即可得，结合，可求得的值.（2）通过边角互化将转换为，再由（1）知角，利用辅助角公式化简，即可求得最大值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，，，.，