专题16指数函数（3知识点6题型4考法）

指数函数常考题型指数函数的单调性指数函数的图像与性质指数函数的定义及特征题型一：指数函数判断及求解析式题型二：指数函数的定义域题型三：指数函数的值域题型四：指数型函数的单调性题型五：指数型函数图像及应用题型六：指数型函数的奇偶性单调性综合考法一：求指数型函数的单调性区间考法二：利用指数型单调性解不等式考法三：已知指数型函数单调性求参数范围指数函数常考题型指数函数的单调性指数函数的图像与性质指数函数的定义及特征题型一：指数函数判断及求解析式题型二：指数函数的定义域题型三：指数函数的值域题型四：指数型函数的单调性题型五：指数型函数图像及应用题型六：指数型函数的奇偶性单调性综合考法一：求指数型函数的单调性区间考法二：利用指数型单调性解不等式考法三：已知指数型函数单调性求参数范围考法四：指数型及幂函数型的比较大小知识点一：知识点一：指数函数的定义及特征（1）指数函数的概念定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.（2）指数函数三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.知识点二：指数函数的图像与性质（1）指数函数图像与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1当x＞0时，0＜y＜1当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称知识点三：指数函数的单调性指数函数单调性指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)（a＞1）在定义域上是单调增函数;y＝ax(a>0，且a≠1)（0＜a＜1）在定义域上是单调减函数.(2)与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.（3）求指数函数复合的函数单调性区间方法：①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数③分别将两个函数的单调区间求出来④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。（4）解指数型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.题型一：指数函数判断及求解析式解题思路：（1）指数函数的概念定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.（2）指数函数三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.例1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数；②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数；④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数，不是指数函数．综上，指数函数的个数为1，故选：B.例2．若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根据指数函数的定义求解即可.【详解】因为函数是指数函数，所以，解得.故选：C.例3．若指数函数的图象过点，则的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式.【详解】设（且），则，解得，故.故选：D例4．设指数函数，且，则下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据指数幂的运算法则分别计算等式两边，从而作出判断．【详解】对于A，，，所以，故A正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D错误；故选：ABC．变式训练5．若函数为指数函数，则（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.【详解】因为函数为指数函数，则，且，解得，故选：C6．若函数是指数函数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，由此可得结果.【详解】为指数函数，可设且，，解得：，.故选：B.7．（多选）下列函数是指数函数的是（

）A．B．C．D．（且）【答案】AD【分析】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，为指数函数；对于B选项，不是指数函数；对于C选项，不是指数函数；对于D选项，当且时，且，则（且）为指数函数.故选：AD.8．设指数函数，则下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据指数幂的运算法则计算等式两边，从而作出判断.【详解】，因为，所以，A正确；，且恒成立，故，故，B正确；，故，C正确；，，故，D错误.故选：ABC题型二：指数函数的定义域解题思路：指数函数求定义域跟其他函数方法一样（1）具体函数解析式求定义域①如果是分式，定义域为分母不为零的实数集合；②如果是偶次根式，定义域为被开方数不小于零的实数集合；③的定义域为；④如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分.（2）求复合函数（抽象函数）的定义域应明确以下三点①函数的定义域是指的取值范围所组成的集合②求函数的定义域，应是求的取值范围，而不是求的取值范围③三个函数中的在相同的对应关系下的范围相同.例1．函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解.【详解】由题意得所以，即，又指数函数为上的单调减函数，所以，解得.故选：C.例2．设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域.【详解】由即可得所以的定义域为，令，可得，所以函数的定义域为，故选：A．例3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（

）A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．(2，＋∞)【答案】B【分析】由不等式的解集是，结合指数函数单调性可得．【详解】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．故选：B．变式训练4．函数的定义域为【答案】【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.【详解】由题，即，即，因为为单调递增函数，所以，即故答案为：5．已知函数的定义域为，则．【答案】【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值.【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.6．已知函数定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数的定义域计算规则及分母不为零求出函数的定义域.【详解】解：因为函数定义域是，所以，则，即函数的定义域为，由，解得，所以函数的定义域为，又分母有意义，则，解得，综上可得函数的定义域为.故选：D.题型三：指数函数的值域解题思路：求指数函数的值域主要是以下几种方法：①单调性；判断指数型函数单调性再求值域；②二次函数型：通过换元的思维转化为二次函数求值域；③复合函数法：通过分解函数在利用函数的单调性求值域；④分离常数：先换元法求转化为简单分式函数在求值域；例1．若指数函数在上的最大值和最小值的和是6,则（

）A．2或3 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】根据为指数函数即可解得及的范围,由于指数函数为单调函数,其最值在端点处取得,列出等式即可得出结果.【详解】解:由题知为指数函数,故,且,即在上的最大值和最小值的和是6,由于指数函数为单调函数,故最值在端点处取得,即,解得:或(舍),综上:.故选:C例2．函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】函数，是由和，复合而成，因为对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，所以时，，时，，所以，因为在上单调递增，所以，所以函数，的值域是.故选：C.例3．已知函数，，则其值域为．【答案】【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.【详解】令，∵，∴，∴，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.例4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出的值域，结合已知定义即可求解．【详解】因为又，所以，所以所以，则的值域．故选：C．变式训练5．已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=【答案】或【分析】分与两种情况，求出最值，列出方程，得到答案.【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去）；当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去），综上或.故答案为：或6．函数的值域是．【答案】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，【详解】令则，由于在单调递减,单调递增，所以，故的值域为.故答案为:.7．函数值域是.【答案】【分析】先求出函数的定义域，把函数分解后，先求出内层函数值域，再求外层函数值域得解.【详解】令，得,即函数定义域为，函数是由和复合而成，因为，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以，即函数的值域为.故答案为：.8．设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】AB【分析】先得到函数的值域，从而得到的范围，结合条件即可求解.【详解】因为，则，所以函数的值域是，则的范围是，于是的函数值可能是或，故选：.9．函数的值域为．【答案】【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域.【详解】，故，即，解得：或，故值域为故答案为：题型四：指数型函数的单调性考法一：求指数型函数的单调性区间解题思路：(2)与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.（3）求指数函数复合的函数单调性区间方法：①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数③分别将两个函数的单调区间求出来④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。例1．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解.【详解】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.例2．已知，则（

）A．为奇函数B．在上单调递减C．值域为D．的定义域为【答案】ACD【分析】对于,利用奇函数的定义即可判断；对于可以利用减函数的定义进行判断；对于可利用分离常数法进行求解；对于可利用定义域的性质进行求解.【详解】对于,由，得所以函数的定义域为，又所以为奇函数，故正确；对于设，则，因为，所以当时，所以则，不符合单调递减函数的定义，故错误；对于因为，又且，所以，则，故正确；对于由以上项分析函数的定义域为且，故的定义域为,故正确；故选：例3．已知函数，则的单调递增区间为，值域为．【答案】【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.【详解】令，解得或，∴的定义域为，令，则其在上递减，在上递增，又为减函数，故的增区间为．∵，∴，故的值域为．故答案为：，.变式训练4．已知函数(且)，若，则的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由求得，然后根据同增异减法则求出函数的单调区间．【详解】∵，∴，∴函数在R上单调递减，又∵函数的图象开口向上，对称轴为，从而函数在上是增函数，∴的单调递减区间是．故选：D．5．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复合函数的单调性进行求解即可．【详解】函数是实数集上的减函数，因为二次函数的开口向下，对称轴为，所以二次函数在时单调递增，在时单调递减，由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，故选：C6．已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.【详解】令，则，对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B：因为，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.考法二：利用指数型单调性解不等式解题思路：解指数型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.例1．不等式的解集为.【答案】【分析】转化为同底的指数不等式，利用函数的单调性可求答案.【详解】原不等式可化为：根据指数函数是增函数得：解得：，故答案为：例2．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得恒成立，再分和两种情况讨论，分别计算可得.【详解】因为不等式恒成立，即恒成立所以恒成立，即恒成立，当时恒成立，符合题意；当时，则，解得；综上可得，即实数的取值范围是.故选：B变式训练3．不等式的解集为.【答案】【分析】由题意可得，解此一元二次不等式即可.【详解】解：由题意可得：，即，，解得，所以原不等式的解集为：.故答案为：4．不等式的解集为．【答案】【分析】利用指数函数的单调性解不等式.【详解】由，所以，即，解得或，故答案为：.考法三：已知指数型函数单调性求参数范围解题思路：利用单调性求参数范围①将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数②分别将两个函数的单调区间求出来③在利用“同增异减”求出对应函数的取值范围例1．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由复合函数单调性法则得，即，解不等式即可得出答案.【详解】由且，得为单调递减函数，由复合函数单调性法则得，又，解得．故选：C．例2．已知函数，是上的增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数单调性的判断方法列不等式，求解.【详解】由函数，是上的增函数，得，解得，即，故选：D.例3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.变式训练4．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解.【详解】解：设，对称轴为，∵是上的增函数，∴要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，故实数a的取值范围是．故选：A．5．已知函数在R上是减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质列式求解.【详解】因为在R上是减函数，则，解得，所以a的取值范围是．故选：C.考法四：指数型及幂函数型的比较大小解题思路：比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较例1．设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】指数式比较大小，化为同底，转化为函数单调性的问题.【详解】因为，由于函数在R上是增函数，且，所以，即.故选：D.例2．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数单调性得到，根据幂函数单调性得到，得到答案.【详解】因为，，故．故选：A．例3．若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为在定义域上单调递增，且，所以，即，又因为在定义域上单调递减，且，所以，即，所以.故选：D.变式训练4．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】得到，得到，得到答案.【详解】，故，即；，即；故.故选：B5．已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.【详解】因为，且是R上的增函数，故，又，故．故选：D题型五：指数型函数图像及应用解题思路：熟悉指数函数的两种图像及函数的图像平移和变换原则画图例1．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用指数函数的性质求解.【详解】∵，∴恒过定点，∴，，∴，其图象不经过第四象限，故选：D.例2．已知表示a，b中的最小值，则函数的大致图象是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】化简，由指数函数的图像可得解【详解】由题意，结合指数函数的图像可知，选项C的图像正确故选：C例3．在同一直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性、二次函数的零点确定正确选项.【详解】指数函数图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数，有零点．A，B选项中，指数函数在R上单调递增，故，故A错误、B正确．C，D选项中，指数函数在R上单调递减，故，故C，D错误．故选：B例4．若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，当时，的图象如图（1）所示，由已知得，；当时，的图象如图（2）所示，由已知可得，，结合可得无解．综上可知的取值范围为．故选：．变式训练5．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是幂函数且在上单调递增，求出的值，代入中，结合指数函数图象所过的定点，求图象过的定点.【详解】因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故，此时，当时，，即的图象过定点．故选：A6．函数的图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】，然后可选出答案.【详解】故选：B7．已知函数，且的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由指数函数图象可确定大小关系，进而得到，由此可得结果.【详解】由指数函数图象可知：，A错误，B错误，D正确；由得：，C正确.故选：CD.8．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数与（，且）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】为指数函数，分与两种情况讨论，从而判断出图象的可能结果.【详解】若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为且，故A符合，B不符合；若，则函数是R上减函数，且当时，，所以函数的图象与y轴的负半轴相交，故C符合，D不符合.故选：AC.9．若函数有两个零点，则实数b的取值范围是【答案】【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出图象，数形结合即可求解.【详解】函数有两个零点，即与的图象有两个交点.作出与的大致图象如图所示：由图可知.故实数b的取值范围是.故答案为:.题型六：指数型函数的奇偶性单调性综合解题思路：利用奇偶性性及单调性（1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质：

①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;②对于定义域内任意x都有f（x）=f（x）=f（|x|）；③图像关于y轴对称；④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性（2）奇函数的性质若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质：

①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;

②对于定义域内任意x都有f（x）=f（x）；

③图像关于原点（0,0）对称；

④若在处有意义，则f（0）=0;

⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。例1．若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】由奇函数性质求参数，再由奇偶性定义验证即可.【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，所以，故，由，为奇函数，满足题设.所以.故选：D例2．已知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数【答案】C【分析】变换，根据奇函数的定义判断函数为奇函数，根据和的单调性得到函数单调性，得到答案.【详解】，函数定义域为.，函数为奇函数，设，，函数单调递增，而函数在上单调递减，由复合函数的单调性可知，故函数在上单调递减，而函数为定义域为的奇函数，故函数在上是减函数.故选：C.例3．已知函数，则（

）A．函数的定义域为 B．若函数是奇函数，则C．函数在定义域上是减函数 D．若，则【答案】AB【分析】根据指数函数的性质、奇函数的性质逐一判断即可.【详解】A：由，所以本选项正确；B：因为是奇函数，所以，所以本选项正确；C：，显然，所以本选项不正确；D：，因此本选项不正确，故选：AB例4．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值【答案】D【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增，且注意到是定义在上的奇函数，所以不等式等价于，即等价于，亦即，该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值．因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增，所以当时，的最小值为所以，等号成立当且仅当．故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解.例5．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断的单调性；(3)若存在，使成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)函数在上是减函数(3)【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出.（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断.（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以，将代入，整理得，当时，有，即，又因为当时，有，所以，所以.经检验符合题意，所以.（2）由（1）知：函数，因为为上单调增函数，且，则函数在上是减函数.（3）因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令，由题意可知：问题等价转化为,又因为，所以.变式训练6．已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】为奇函数，则，解出，验证奇偶性和单调性即可.【详解】解：因为在R上为奇函数，则，即，解得或.时，，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，，在R上为减函数，不合题意.所以.故选：A.7．下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据关于原点对称的性质进行求解即可.【详解】函数的图象关于原点对称的是，故选：D8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意将不等式转化为，再由在区间单调递增，得，然后求出的最小值，从而可求出的取值范围【详解】由，得，因为函数是定义在上的偶函数，所以可化为因为在区间单调递增，所以，所以，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即的取值范围是，故选：A9．已知函数，则下面几个结论正确的有（

）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数在其定义域内单调递减D．函数的值域为【答案】BCD【分析】由函数奇偶性的定义，即可判断AB，由在上递减，即可判断C，由即可判断D.【详解】函数，定义域为，所以函数为奇函数，故错误，正确；，显然在上递减，则在上递减，故C正确；函数，因为，所以，则，所以，即的值域为，故D正确.故选:BCD.10．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.(1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；(2)求函数，的最小值.【答案】(1)在单调递增，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题干中的条件，解出函数的解析式，得出函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；（2）求出函数的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值.【详解】（1）定义在R上的奇函数和偶函数，则，∵①，∴，即②，联立①②解得:，在上单调递增，证明如下:设，且，，，，，即，在单调递增.（2），令，可知时单调递增，则，，令，当，即时，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，则；综上，当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.11．已知指数函数满足，定义域为R的函数是奇函数．(1)求m，n的值；(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据指数函数的概念及奇偶性的定义计算即可；（2）由（1）求得函数解析式，判定其单调性解不等式即可.【详解】（1）由题意可设，由，解得，所以，则．又因为在R上是奇函数，所以，，所以，即，验证成立，综上所述：；（2）由（1）知，易知在R上为减函数，又是奇函数，从而不等式等价于，∴对任意的恒成立，由二次函数的性质可知，所以.12．已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）根据求参数，注意验证奇偶性；（2）根据解析式及指数函数的性质判断函数单调性，再应用函数单调性的定义求证函数的单调性；（3）利用函数奇函数、单调性有恒成立，根据判别式符号求参数范围.【详解】（1）因为函数的定义域为R，所以，则．经检验当时，有，所以；（2）函数在定义域内单调递增，证明如下：，且，则．而，即，又，∴，即，函数在定义域内单调递增；（3）由是奇函数，由已知得，所以，即恒成立，所以，可得．∴实数m的取值范围为．一、单选题1．已知：指数函数是增函数，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由指数函数是增函数得，根据与推出关系判断.【详解】由指数函数是增函数得，故，由可以推出，但由不可以推出，故是的充分不必要条件.故选：A.2．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.【详解】①当时，单调递增，故，解得；②当时，单调递减，，无解，综上可知.故选：B3．已知，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为在上单调递减，且，可得，即，又因为在上单调递增，且，可得，所以.故选：A.4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函数的定义域为求出的定义域，再结合可得答案【详解】要使函数有意义，则故或，所以的定义域为．故选：C.5．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当时，单调递减，，且最小值为，当时，当时，单调递增，不符题意，又注意到是上的减函数，故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，则由题意有，解得．故选：A.6．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复合函数的单调性结合二次函数的单调性即可求得.【详解】因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B7．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出参数的值，再判断函数的单调性，最后根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为函数的图象关于原点对称且定义域为，所以，解得，经检验符合题意，所以，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，由，即，所以，解得．故选：B二、多选题8．下列命题中，说法正确的是（）A．函数的定义域为，则函数的定义域是B．函数在上单调递减C．命题“”的否定为“”D．函数在上单调递增，则a的取值范围是【答案】AD【分析】求的定义域求函数的定义域验证选项A；求函数的单调区间验证选项B；求全称量词命题的否定验证选项C；由复合函数的单调性求参数的范围验证选项D.【详解】对于A，因为函数的定义域为，则对于，由，解得且，即的定义域为，故A正确；对于B，分别在，上单调递减，故B错误；对于C，命题“”的否定为“”，故C错误；对于D，函数在定义域内单调递增，因为抛物线的对称轴为直线，图象开口向下，要使在上单调递增，则，解得，故D正确.故选：AD9．已知函数，则（

）A．的图象关于原点对称B．是偶函数C．的值域为D．，，且，恒成立【答案】ACD【分析】对于A：利用奇函数的定义判断；对于B：利用偶函数的定义判断；对于C：由，得到判断；对于D：由判断.【详解】因为对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为，所以，，所以，所以，故C正确；对于D：若，则；若，则；而，，都有，，，所以恒成立，故D正确．故选：ACD．10．设函数的定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（

）A．为偶函数 B．C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减【答案】AC【分析】根据函数图象关于直线对称，且即可判断A；利用函数的周期性即可判断B；根据函数的奇偶性及轴对称性即可判断C；根据函数在上的单调性及函数的对称性即可判断D.【详解】因为函数的定义域为，且，所以，所以函数是以为周期的周期函数，又因函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以，所以为偶函数，故A正确；当时，，，故B错误；因为为偶函数且的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故C正确；因为当时，，而函数在都是减函数，所以函数在是减函数，又因为偶函数，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：AC.11．已知函数，则（

）A．B．C．为偶函数D．的图象关于点中心对称【答案】BD【分析】对A，由的范围得到的范围，