专题08双曲线及其方程（重难点突破）原卷版

专题08双曲线及其方程考点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，点P不存在．考点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长考点三、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)，也叫通径．2、与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.重难点题型突破1双曲线的定义及其应用例1、(1)、（2022·全国·高二课时练习）若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（

）A．双曲线的一支 B．圆C．抛物线 D．双曲线(2)、（2023秋·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（

）A．若曲线为双曲线，则或B．若曲线为椭圆，则C．曲线可能是圆D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则(3)、设双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．【变式训练11】、（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______.【变式训练12】、（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练13】、（2021·全国·高二课时练习）已知动圆M与圆C1：(x＋5)2＋y2＝16外切，与圆C2：(x－5)2＋y2＝16内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．重难点题型突破2双曲线的标准方程例2、（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，焦点在轴上，且过点；(2)经过两点，.【变式训练21】、（2023秋·内蒙古包头·高二校考阶段练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)经过、两点．(2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.重难点题型突破3双曲线的几何性质及其应用例3、（1）、（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（

）A．9或1 B．1 C．9 D．9或2（2）．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线，则焦点到渐近线的距离为___________（3）．（2022·全国·高二专题练习）与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为______．（4）．（2023秋·河北保定·高二校联考阶段练习）（多选题）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（

）A．渐近线方程为B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数C．若双曲线上一点满足，则的周长为28D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6【变式训练31】、（2022·全国·高二课时练习）等轴双曲线过点，则它的焦点的坐标为______．【变式训练32】、（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，则．【变式训练33】、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，且该双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为.【变式训练34】、（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）（多选题）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（

）A．双曲线C的渐近线方程为B．双曲线C的实轴长为6C．双曲线C的离心率D．过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长重难点题型突破4直线与双曲线的位置关系例4、（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）在一张纸上有一个圆：，圆心为点，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求出点的轨迹的方程；(2)若过点且斜率为（或）的直线交曲线于，两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由【变式训练41】、（2023秋·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.(1)求双曲线的方程；(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求的取值范围.重难点题型突破5最值与范围问题例5、（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点．(1)求双曲线的方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值．【变式训练51】、（2023秋·浙江金华·高三阶段练习）在直角坐标系中，是双曲线的两条渐近线上的动点，满足点A在第一象限，点在第四象限，且直线与的右支有交点.(1)求的最小值；(2)设是直线与的一个交点且.记上的点到的焦点的距离的取值集合为S，若，求面积的取值范围.重难点题型突破6定点与定值问题例6、（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知双曲线过点和点．(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．【变式训练61】、（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.1．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·高三专题练习）双曲线的两条渐近线的夹角为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考开学考试）（多选题）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则C．若是双曲线C的一个焦点，则D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为24．（2023秋·江苏无锡·高二辅仁高中校考阶段练习）（多选题）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则5．（2021秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围是．6．（2023春·新疆和田·高二校考期中）与双曲线的焦点相同，且离心率为的椭圆的标准方程为.7．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率.8．（2023春·