专题5.3 动点问题的函数图象（压轴题专项讲练）（苏科版）（解析版）

专题5.3动点问题的函数图象【典例1】如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，正方形BDEF的边长为2，且边BD在线段AB上，点F，B，C在同一条直线上，将正方形BDEF沿射线FC方向平移，当点F与点C重合时停止运动，设点F平移的距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则下列函数图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意可知，需要分三种情况：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤4时，③当4＜x≤6时，画出对应的图形，求出每一段y的表达式，结合选项排除即可．【解题过程】解：根据题意可知，需要分三种情况：①当0≤x≤2时，如下图所示：根据图形的运动可知BG＝x，∴y＝S四边形BGDH＝BG•DG＝2x；②当2＜x≤4时，如下图所示：根据图形的运动可知BG＝x，∴FG＝x﹣2，CG＝4﹣x，∴DN＝2﹣NG＝2﹣CG＝x﹣2，∴y＝S五边形FGNME＝FG2﹣S△DMN＝4-12（x﹣2）2=-12x2这一段函数开口方向向下，可排除A，B选项，③当4＜x≤6时，如下图所示：根据图形的运动可知BG＝x，∴BF＝x﹣2，CF＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，∴y＝S△CFP=12CF2=12（6﹣x）2=12x这一段函数开口方向向上，可排除C选项．故选：D．1．（2021•长丰县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3、AD＝4，直线MN从点D出发，沿D→A方向以每秒1个单位长度的速度运动，且该直线平行于对角线AC，与边AD（或AB）、CD（或BC）所在直线分别交于点M、N，设直线MN的运动时间为t（秒），△DMN的面积为y，则y关于t的函数图象是（）A． B． C． D．【思路点拨】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况，根据矩形的性质和直角三角形的面积公式求解即可．【解题过程】解：当0＜x≤4时，y=1当4＜x≤8时，y＝12-1由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口方向向上，右边为抛物线的一部分，开口方向向下．故选：D．2．（2022春•城关区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝3cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度沿B→A→C方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以1cm/s的速度沿B→C方向匀速移动．设△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A． B． C． D．【思路点拨】当0≤t＜32时，S△BPQ=12•BQ•BP，当32≤t≤4时，如下图所示，S△BPQ【解题过程】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝3cm，∴AC=BC∴0≤t≤4．（1）0≤t＜32时，S△BPQ=12•BQ•BP=12t（2）当32≤tPH=3S△BPQ=12•BQ•HP=12t×（8﹣2故选：B．3．（2022•安徽模拟）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A． B． C． D．【思路点拨】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，过C作CD⊥AB于点D，由勾股定理即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当6＜x≤9时，即点P在线段CA上，此时，PC＝（x﹣6）cm，则y＝（x﹣6）2（6＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解题过程】解：如图，过C作CD⊥AB于点D，则AD＝1.5cm，CD=33①当点P在AB上时，0≤x≤3，AP＝xcm，PD＝|1.5﹣x|cm，∴y＝PC2＝（332）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=32；由此可排除A，B，②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm；则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线，且对称轴为x＝6；③当6＜x≤9时，即点P在线段CA上，此时，PC＝（x﹣6）cm，则y＝（x﹣6）2（6＜x≤9），∴该函数的图象是在6＜x≤9上的抛物线，且对称轴为直线x＝6；故选：D．4．（2022•东营二模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点M、N同时从A点出发，点M沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点N沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒，则△CMN的面积为S关于t函数的图象大致是（）A． B． C． D．【思路点拨】当0≤t≤2时，AM＝t，AN＝2t，利用S＝S正方形ABCD﹣S△AMN﹣S△BCM﹣S△CDN可得到S＝﹣t2+6t；当2＜t≤4时，CN＝8﹣2t，利用三角形面积公式可得S＝﹣4t+16，于是可判断当0≤t≤2时，S关于t函数的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜t≤4时，S关于t函数的图象为一次函数图象的一部分，然后利用此特征对四个选项进行判断．【解题过程】解：当0≤t≤2时，AM＝t，AN＝2t，所以S＝S正方形ABCD﹣S△AMN﹣S△BCM﹣S△CDN＝4×4-12•t•2t-12•4•（4﹣t）-12•4•（4﹣2t当2＜t≤4时，CN＝8﹣2t，S=12•（8﹣2t）•4＝﹣4t即当0≤t≤2时，S关于t函数的图象为开口向下的抛物线的一部分，当2＜t≤4时，S关于t函数的图象为一次函数图象的一部分．故选：D．5．（2022•鞍山一模）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2，AB＝4，∠A＝60°，点M从A出发沿路径A﹣B运动，点N从B出发沿路径B﹣C﹣D运动，M，N两点同时出发，且点N的运动速度是点M运动速度的3倍，当M运动到B时，M，N两点同时停止运动，若M的运动路程为x，△BMN的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【思路点拨】分点N在BC段、CD段分别求出函数表达式，即可求解．【解题过程】解：∵M，N两点同时出发，且点N的运动速度是点M运动速度的3倍，∴点N的运动路程是点M运动路程的3倍，根据题意可知，AM＝x，∠ABC＝120°，①当点N在BC上时，即0＜x＜4根据题意可知，BN＝3x，过点M作MP⊥BC交CB的延长线于点P，如图，∴∠PBM＝60°，∴BP=12（2﹣x），PM=32（∴y=12•BN=12•3x•32（2=-334x2函数为开口向下的抛物线；故排除A，B；②当点N在CD上运动时，如图，由平行四边形的性质可知，AB∥CD，∴△BMN的面积＝△BMC的面积，∴y=12BC•PM=12×32（2﹣x）×4故选：C．6．（2022•合肥模拟）在△EFG中，∠G＝90°，EG＝FG＝22，正方形ABCD的边长为1，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A． B． C． D．【思路点拨】分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分别求出函数表达式即可求解．【解题过程】解：EG＝FG＝22，则EF＝4，①当0≤t≤1时，如图1，设AB交EG于点H，则AE＝t＝AH，S=12×AE×AH=12t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝②当1＜t≤2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1-12×CH×CG＝1-12（2﹣t）2，函数为开口向下的抛物线，当t＝2③当2＜t≤3时，S＝S正方形ABCD＝1，④当3＜t≤4时，同理可得：S＝1-12（t﹣3）故选：C．7．（2022•铜仁市）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（）A． B． C． D．【思路点拨】当△DEF在△ABC内移动时，△ABC、△DEF重合部分的面积不变，当△DEF移出△ABC时，计算出S△DBN，得到y=3【解题过程】解：如图所示，当E和B重合时，AD＝AB﹣DB＝3﹣2＝1，∴当△DEF移动的距离为0≤x≤1时，△DEF在△ABC内，y＝S△DEF=3当E在B的右边时，如图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M，根据题意得AD＝x，AB＝3，∴DB＝AB﹣AD＝3﹣x，∵∠NDB＝60°，∠NBD＝60°，∴△NDB是等边三角形，∴DN＝DB＝NB＝3﹣x，∵NM⊥DB，∴DM=MB=1∵NM2+DM2＝DN2，∴NM=3∴S△DBN∴y=3∴当1≤x≤3时，y是一个关于x的二次函数，且开口向上，∵当0≤x≤1时，y=3故选：C．8．（2022•本溪一模）如图，Rt△ABD≌Rt△CBD，BD＝4，∠A＝∠DCB＝90°，∠DBA＝∠DBC＝60°，动点P从A点出发，沿A→B→C，到C点停止运动，点Q从点C出发，在BC延长线上向右运动，点P、Q同时出发，点P停止运动时，点Q也停止运动，点P、Q的运动速度都是1cm/s，则下列图象能大致反映△PDQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的是（）A． B． C． D．【思路点拨】分点P在AB段、BC段分别求出函数表达式，即可求解．【解题过程】解：如图，∵Rt△ABD≌Rt△CBD，BD＝4，∠A＝∠DCB＝90°，∠DBA＝∠DBC＝60°，∴AB＝BC＝2，AD＝CD＝23．①当点P在AB上运动时，t秒时，AP＝t＝CQ，∵AD＝CD，∠A＝∠DCQ＝90°，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴△ADP的面积等于△DCQ的面积；∴四边形ABCD的面积＝四边形PBQD的面积．∴BP＝2﹣t，BQ＝2+t，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，如图，∴∠PBM＝60°，∴BM=12（2﹣t），PM=32（∴S＝2×12AB•AD-12＝2×12×2×23-12•（2+t）•=-34t2+3故0＜t≤2时，函数为开口向上的抛物线；故排除A，B，D；②当点P在BC上运动时，∵点P、点Q的运动速度相等，故PQ的距离保持不变，PQ＝4，S=12DC•PQ=12×2即点P在BC上运动时，S为常数43；故选：C．9．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A． B． C． D．【思路点拨】方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得出只有D选项符合要求；方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可．【解题过程】解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积越大，故D选项符合题意；方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，∵∠DPE＝90°，∴∠DPC+∠EPH＝90°，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∴∠EPH＝∠PDC，在△EPH和△PDC中，∠EPH=∠PDC∠PHE=∠DCP∴△EPH≌△PDC（AAS），∵BP＝x，AB＝BC＝2，∴PC＝EH＝2﹣x，∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，故选：D．10．（2021秋•亳州月考）在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD∥BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A． B． C． D．【思路点拨】分别求出0＜t≤2，2＜t≤3以及3＜t≤3.5时S与t的函数关系式即可．【解题过程】解：∵∠A＝45°，∠D＝90°，AD∥BC，BC＝1，CD＝3，∴AD＝CD+BC＝3+1＝4，AB=3如图1，当0＜t≤2时，过点P作PE⊥AD于点E，则：S=12PE⋅AQ=如图2，当2＜t≤3时，连接PD，则：S＝S△ADP+S△PQD﹣S△ADQ=1＝﹣t2+4t；如图3，当3＜t≤3.5时，点P已经到达点B，则：S＝S△ADP+S△PQD﹣S△ADQ=1＝﹣3t+12．综上所述，选项B符合题意．故选：B．11．（2021秋•阜阳月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°，直线l经过点B且直线l⊥BC，直线l从点B出发以23cm/s的速度沿BC向右匀速移动，直到直线l经过点C时停止移动．移动过程中，直线l交BC于点M，交AB或AC于点N，设△BMN的面积为S（cm2），直线l的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【思路点拨】先根据勾股定理求出BC的长度，再分点N在AB和AC上两种情况讨论，分别求出对应的函数解析式即可确定图象．【解题过程】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴AD=12AB＝4∴BD=82-42=∴BC＝83（cm），分两种情况：（1）当0＜t≤2时，如图：∵∠B＝30°，∴BN＝2MN，根据勾股定理得(2MN)∴MN＝2t，∴S=1∴该部分函数图象是抛物线位于y轴右侧的一部分，抛物线的开口向上；（2）当2＜t≤4时，如图：∵∠C＝30°，∴CN＝2MN，根据勾股定理得(2MN)∴MN＝8﹣2t，∴S=1该部分函数图象是抛物线位于对称轴x＝2的右侧的一部分，抛物线的开口向下；故选：C．12．（2021秋•金安区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点M从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→D运动，同时点N从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着C→D→A→B运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设S△DMN＝S，时间为t（s），则S与t之间的函数图象大致为（）A． B． C． D．【思路点拨】利用分类讨论的思想方法分四种情况讨论解答：①0≤t≤2，②2＜t＜4，③4≤t≤6，④6＜t≤8；依据t的取值范围画出对应的图形，求出对应的函数解析式，根据解析式的大致图象即可得出结论．【解题过程】解：①当0≤t≤2时，此时，点M在AB上，点N在CD上，由题意得：CN＝2t，∴DN＝CD﹣CN＝4﹣2t．∴S=12DN•AD=12×（4﹣2t）×8＝∵0≤t≤2，∴此时函数的图象是以（0，16）和（2，0）为端点的线段；②当2＜t＜4时，此时点M在AB上，点N在AD上，如图，由题意得：DN＝2t﹣4，MB＝t．∴AM＝AB﹣BM＝4﹣t，∴S=12DN•AM=12（2t﹣4）（4﹣t）＝﹣t2+6t﹣8＝﹣（t﹣3∵2＜t＜4，∴此时函数的图象为开口向下，对称轴为直线t＝3的抛物线的一段；③当4≤t≤6时，此时点M，N均在线段AD上，此时s＝0，函数图象为x轴上以（4，0）和（6，0）为端点的线段；④当6＜t≤8时，此时点M在线段AD上，点N在线段AB上，如图，由题意得：AN＝2t﹣12，M＝t﹣4．∴DM＝AD﹣AM＝12﹣t．∴S=12DM•AN=12（12﹣t）（2t﹣12）＝﹣t2+18∵6＜t≤8，∴当t＝8时，S＝8．∴此时的函数的图象是抛物线S＝﹣t2+18t﹣72上以（6，0）和（8，8）为端点的一段．综上，符合上述特征的函数图象为B，故选：B．13．（2021•铁岭三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，23），点C（﹣3，3），点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B路线以每秒3个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y＝PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t的关系图象是（）A． B． C． D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA＝2，OB＝23，AB＝4，∠BAO＝60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC＝BC＝OB＝23，点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，23），∴OA＝2，OB＝23，∴AB＝4，∠BAO＝60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM＝BM=3，CM＝3∴OC＝BC＝23，∴△OBC是等边三角形，∠BOC＝60°，∴点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，即点P和点Q共运动4s后停止；由此可排除D选项．当点P在线段OA上运动时，点Q在线段OC上运动，过点Q作QN⊥x轴于点N，由点P，点Q的运动可知，OP＝t，OQ=3t∴QN=12OQ=32t∴PN=52∴y＝PQ2＝（52t）2+（32t）2＝7t2．即当0＜t结合选项可排除A，C．故选：B．14．（2021秋•包河区期中）如图，直线l为抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作PA⊥x轴于点A，作PB∥x轴交抛物线于点B，设PA＝h，PB＝m，则h与m的函数图象大致为（）A． B． C． D．【思路点拨】分两种情况：①0≤m≤4，②m＞4分别求出h与m的函数关系式，利用函数关系式得出函数的大致图象．【解题过程】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1．令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3．∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）．设直线l与PB交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，如图，则OD＝CE＝1．∵PB∥x轴，抛物线y＝﹣x2+2x+3关于直线x＝1对称，∴PC＝PB．∵PB＝m，∴PC=m∴PE＝OA＝PC+CE=m2∴点P的横坐标为m2+∵点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），∴m2+∴m≥0．①当点P在x轴及x轴上方时，1≤m2即当0≤m≤4时，∵点P为抛物线上一动点，∴P点的纵坐标为：-(m2+1)∴PA＝h=-14②当点P在x轴的下方时，m2+1＞即m＞4时，∵P点的纵坐标为：-(m2+1)∴PA＝h＝﹣（-14m2+∴h与m的函数关系式为：h=-∵函数h=-14m2+4∴正确的选项是：A．故选：A．15．（2022•沈阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，现有两个动点M，N同时从点B出发，在矩形ABCD的边上沿B﹣C﹣D﹣A移动，点M的速度为每秒3个单位长度，点N的速度为每秒1个单位长度，点M到达点A时点M，N同时停止，连接AM，AN，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，下列图象能大致反映出s与t的函数关系的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据点M，N的位置，由三角形的面积公式进行计算即可．【解题过程】解：①当M，N都在线段BC上时，如图所示：S△AMN=12MN•AB=12（3t﹣t）×9∴S与t的函数解析式为正比列函数，图象是过原点呈上升趋势的直线一部分；②当点M在CD边、点N在BC边时，如图所示：S△AMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△NCM﹣S△ADM＝3×9-12AB•BN-12MC•MN＝27-12×9t-12（3﹣t）（3t﹣3）-12=92t2-27∴S与t的图象是开口向