人教A版高中数学必修第二册同步讲义第17讲 复数的概念（原卷版）

第17课复数的概念目标导航目标导航课程标准课标解读1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．知识精讲知识精讲知识点01复平面【即学即练1】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．反思感悟利用复数与点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．知识点02复数的几何意义1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).【即学即练2】)向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是()A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i知识点03复数的模1．定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.3．公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).【即学即练3】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.知识点04共轭复数1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．表示：复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq\x\to(z)＝a－bi.【即学即练4】若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________.能力拓展能力拓展考法01复平面【典例1】求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面内的x轴上方；(2)在实轴负半轴上．【变式训练】考法02复数与复平面内的向量的关系【典例2】在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．反思感悟复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．【变式训练】已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i考法03复数的模及其应用【典例3】已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|等于()A．3B.eq\r(10)C.eq\r(5)D.eq\r(2)反思感悟复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求【变式训练】已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是()A．z1>z2 B．z1<z2C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|(2)已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A．(1，eq\r(10)) B．(1，eq\r(3))C．(1,3) D．(1,10)2．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知复数SKIPIF1<0为虚数单位）满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以复数SKIPIF1<0对应的点的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，所以SKIPIF1<0.故选：A4．复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．55．设SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，其在复平面对应的点为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0构成的集合所表示的图形面积（）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在复平面内，点SKIPIF1<0对应的复数为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），且向量SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0对应复数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．设SKIPIF1<0，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0为虚数单位，则（）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0C．若复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<09．已知复数z满足SKIPIF1<0，则（）A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为1D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限三、填空题10．设复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在复平面的对应的向量分别为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0对应的复数所对应的点的坐标为___________.11．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0四、解答题12．已知SKIPIF1<0为虚数单位.(1)若复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点在第三象限，求SKIPIF1<0的范围；(2)若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求复数SKIPIF1<0.题组B能力提升练一、单选题1．设SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，其在复平面对应的点为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0构成的集合所表示的图形面积（）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D2．若复数z满足SKIPIF1<0为纯虚数，且SKIPIF1<0，则z的虚部为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题3．设SKIPIF1<0，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．欧拉公式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为纯虚数 C．SKIPIF1<0 D．复数SKIPIF1<0对应的点位于第三象限三、填空题5．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虚数单位），则SKIPIF1<0的最大值为__________.6．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则在复平面内复数SKIPIF1<0对应的点SKIPIF1<0所在区域的面积为_____．7．设全集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点形成图形的面积为______．四、解答题8．已知非零复数SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值：(2)若SKIPIF1<0所对应点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0所对应的点的轨迹.9．已知虚数z满足SKIPIF1<0.(1)求z；(2)若z的虚部为正数，比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小.10．已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求角SKIPIF1<0；(2)复数SKIPIF1<0对应的向量分别是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0的取值范围；(3)复数SKIPIF1<0对应的向量分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0使等式SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．题组C培优拔尖练一、单选题1．已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．12．已知设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．复数SKIPIF1<0的模为1，其中SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0，则这样的SKIPIF1<0一共有（）个.A．9 B．10 C．11 D．无数二、填空题4．在复平面中，已知点SKIPIF1<0，复数SKIPIF1<0对应的点分别为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.5．若SKIPIF1<0为虚数单位，复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为_______.6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且z是复数，当SKIPIF1<0的最大值为3，则SKIPIF1<0_______.三、解答题7．对于一组复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，如果存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，那么称SKIPIF1<0是该复数组的“SKIPIF1<0复数”.（1）设SKIPIF