amuacarlo上半格序广义逆半群

amuacarlo上半格序广义逆半群

1广义逆半群的拟合半群稀疏理论仍然是最活跃的代数学研究领域之一。自然序列在研究半群理论方面发挥着重要作用。著名的代数学家d.b.mcalister将反演集的自然序列推广到反演集（左、右）中，并给出了反演集的（左、右）amanable序列的定义。在这项工作中，我们研究了广义半部分的半格序和广义半部分的半部分。设S是正则半群,若S中的幂等元集E(S)满足E(S)≤S,则称(S,·)为纯正半群;若E(S)是正规带,即∀x,y,z,w∈E(S),xyzw=xzyw,则称(S,·)为广义逆半群;若E(S)是半格,则称(S,·)为逆半群;若E(S)是右正规带,即∀x,y,z∈E(S),xyz=yxz,则称(S,·)为右正规纯正半群;类似的,若E(S)是左正规带,即∀x,y,z∈E(S),xyz=xzy,则称(S,·)为左正规纯正半群.设(S,·)为逆半群.若∀a∈S都有aa-1=a-1a成立,则称S为Clifford半群.设S为半群.如果S上存在偏序关系≤使得∀a,b∈S和x,y∈S1,a≤b⇒xay≤xby,那么称(S,·,≤)为偏序半群.1.1最大界ab设(S,·,≤)是偏序半群,若它满足(1)∀a,b∈S,a和b在偏序≤下的最小上界(最大下界)存在,记a和b的最小上界为a∨b(最大下界为a∧b);(2)S满足分配律:∀a,b,c∈S,a(b∨c)=ab∨ac,(a∨b)c=ac∨bc(a(b∧c)=ab∧ac,(a∧b)c=ac∧bc),则称(S,·,∨)((S,·,∧))在给定偏序≤下为上(下)半格序半群.若S在给定偏序下既是上半格序半群也是下半格序半群,则称S在给定偏序下为格序半群,记为(S,∨,∧,·).1.2自然偏序若S是正则半群,其中E(S)是S的幂等元集,则S上的自然偏序⪯是指∀a,b∈S,a⪯b⇔(∃e,f∈E(S))a=eb=bf.然而,若S是逆半群,则S上的自然偏序⪯是指∀a,b∈S,a⪯b⇔(∃e∈E(S))a=eb.1.3s,,,amoabcffford半群著名的代数学者D.B.McAlister将逆半群上的自然偏序进行了推广,给出了逆半群上的(左.右)amenable序的定义.设(S,·,≤)是偏序逆半群,如果给定偏序≤是自然偏序⪯的扩张,即⪯⊆≤,并且∀a,b∈S,a≤b⇒a-1a⪯b-1b(aa-1⪯bb-1),那么称≤为S上的左(右)amenable序,于是(S,·,≤)为左(右)amenable.序逆半群.若≤既是左amenable序,又是右amenable序,则称≤是S上的amenable序.于是(S,·,≤)为amenable序逆半群.相应的也有amenable序Clifford半群的概念.设(S,·,≤)是amenable序逆半群,若在给定的偏序≤下,(S,·,∨)为上半格序半群,则称(S,·,∨)为amenable上半格序逆半群.设(S,·,≤)是amenable序逆半群.若在该偏序下(S,·,∨,∧)为格序半群,则称(S,·,∨,∧)为amenable格序逆半群.相应的也有amenable格序Clifford半群的概念.文献给出了正则半群S上的amenable序的概念.正则半群S上的偏序≤是amenable序,如果它满足(1)≤与S中的乘法相容;(2)≤与自然偏序⪯在幂等元集上的限制是一致的,即≤|E(S)=⪯|E(S);(3)∀a,b∈S,a⪯b⇒a∈bS∩Sb.本文则是给正则半群中的纯正半群,装上amenable上半格序,并对其进行了研究,得出了一些有趣的结果.2efb文献中的定理表明,若S是纯正半群,给它装上amenable序后,它就是广义逆半群.定义1设(S,·,≤)是偏序广义逆半群,其中≤为S上的amenable序.若在给定的偏序≤下,(S,·,∨)是上半格序半群,则称(S,·,∨)为amenable上半格序广义逆半群.定理1设S是右正规纯正半群,若(S,·,∨)在给定的amenable序≤下为上半格序半群,则(S,·)为逆半群.证明因为S是右正规纯正半群,于是它的幂等元集E(S)是右正规带,要证明(S,·)为逆半群,只需证明(E(S),·)为半格,即∀e,f∈E(S),ef=fe.(1)证明e∨f∈E(S).因为(S,·,∨)在给定的amenable序≤下为上半格序半群,于是,∀e,f∈E(S),(e∨f)(e∨f)=(e∨f)e∨(e∨f)f=e∨fe∨ef∨f,又由于fe⪯e,ef⪯f.这是因为ef,fe∈E(S),且E(S)是右正规带,则fe=fee=efe,同理可证得ef=eff=fef.又因为在幂等元集上≤=⪯,于是有fe≤e,ef≤f,则(e∨f)(e∨f)=e∨f,于是e∨f∈E(S).(2)证明(E(S),·)为半格.因为e≤e∨f,则有e⪯e∨f,于是e=e(e∨f)=e∨ef,则ef⪯e,从而ef=efe,(1)又由e=(e∨f)e=e∨fe,可以得到fe⪯e,即有fe=efe,(2)由式(1)与(2)得ef=fe,于是(E(S),·)为半格.所以(S,·)为逆半群.定理1证毕.定理2设S是左正规纯正半群,若(S,·,∨)在给定的amenable序≤下为上半格序半群,则(S,·)为逆半群.定理3设S是纯正半群,若(S,·,∨)在给定的amenable序≤下为上半格序半群,则(S,·)为逆半群.证明因为S是纯正半群,于是它的幂等元集E(S)为正规带.要证明(S,·)为逆半群,只需证明(E(S),·)为半格,即∀e,f∈E(S),ef=fe.(1)证明e∨f∈E(S).因为(S,·,∨)在给定的amenable序≤下为上半格序半群,于是∀e,f∈E(S),(e∨f)(e∨f)=(e∨f)e∨(e∨f)f=e∨fe∨ef∨f即(e∨f)(e∨f)≥e∨f.(3)又因为e≤e∨f,于是e∈(e∨f)S∩S(e∨f),则∃u,v∈S,e=(e∨f)u=v(e∨f),于是V(e)=V(v(e∨f)).因为S是纯正半群,由文献定理6.2.1,就有V(e∨f)V(v)⊆V(e),即∃e-1∈V(e),(e∨f)-1∈V(e∨f),v-1∈V(v)),使得e-1=(e∨f)-1v-1,所以e-1e=(e∨f)-1v-1v(e∨f),则(e∨f)-1(e∨f)e-1e=(e∨f)-1(e∨f)(e∨f)-1v-1v(e∨f)=(e∨f)-1v-1v(e∨f)=e-1e即(e∨f)-1(e∨f)e-1e=e-1e,(4)由e=v(e∨f),得到e(e∨f)-1(e∨f)=v(e∨f)(e∨f)-1(e∨f)=v(e∨f)=e,则e-1e=e-1e(e∨f)-1(e∨f).(5)由式(4)与(5)可得e-1e≤(e∨f)-1(e∨f).进一步有(e∨f)e-1e≤(e∨f).又因为(e∨f)e-1e=e∨fe-1e=e∨fe-1ee=e∨fee-1e,因为e-1∈E(S),所以(e∨f)e-1e=e∨fe=(e∨f)e,从而(e∨f)e≤e∨f,(6)同理可得(e∨f)f≤e∨f.(7)由式(6)与(7)得到(e∨f)e∨(e∨f)f≤e∨f.于是(e∨f)(e∨f)≤e∨f.(8)由式(3)与(8)得(e∨f)(e∨f)=e∨f.(2)证明(E(S),·)是半格.因为∀e,f∈E(S)),e≤e∨f即e⪯e∨f,于是有e=e(e∨f)=(e∨f)e,由e=e(e∨f)=e∨ef,则ef⪯e,于是ef=efe.(9)又由e=(e∨f)e=e∨fe,得到fe⪯e,于是fe=efe.(10)由式(9)与(10)可得到ef=fe.于是(E(S),·)是半格,所以(S,·)是逆半群.定理3证毕.amenable上半格序广义逆半群就是amenable上半格序逆半群.结合文献与文献中的结论得到了一些有趣的结果.引理1设S是左amenable序逆半群,其中≤扩充了自然偏序.若在≤下S是上半格半群,则S是格序半群,并且∀a,b∈S都有(a∨b)-1(a∨b)=a-1a∨b-1b和(a∧b)-1(a∧b)=a-1a∧b-1b成立.更进一步,S的幂等元集是分配格.定理4若S是amenbale上半格序广义逆半群,则S是格序半群.更进一步S的幂等元集E(S)是分配格.引理2若S是amenable格序逆半群,其中偏序≤扩充了自然偏序,则S在偏序≤下是分配格.文献中的定理5.20和定理5.25表明了左amenbale上半格序逆半群一定是amenable格序clifford半群.又因为amenable格序clifford半群是amenable格序逆半群,结合引理2可以得到定