关于与方剂可交换矩阵可交换矩阵空间的讨论

关于与方剂可交换矩阵可交换矩阵空间的讨论

在线性代数和矩阵理论中，矩阵法通常不符合交换律，即ab=ba。若AB=BA,则称A与B可交换;求与矩阵A可交换的B的矩阵相当于求解矩阵方程AX=XA。文献从方阵可同时对角化方面给出了方阵乘积可交换的若干充分必要条件,文献讨论了可交换爱尔米特矩阵乘积的特征值。本文证明了与某一方阵A乘积可交换的矩阵全体构成线性空间,给出方阵A的可交换矩阵空间概念,讨论了该矩阵空间的维数、基等概念,以及与方阵A的关系;进而给出求与方阵A乘积可交换的全体矩阵的方法。由文献可得AX=XA是一般Lyapunov矩阵方程AX+XB=C当B=-A,C=0时的特殊情况。1sa与nain-in-at定义1若AB=BA,则称A、B为可交换矩阵,或称A与B可交换。定义2n×n阶复矩阵的全体{(aij)|aij∈C}按照矩阵的加法与数乘,构成一个复线性空间,称为n×n阶矩阵空间。记为Cn×n。定义3由所有与矩阵A可交换的矩阵构成的集合,称为矩阵A的可交换矩阵集合。记为SA≜{B|AB=BA,A∈Cn×n}。定理1矩阵A的可交换矩阵集合SA是矩阵空间Cn×n的子空间。证明:SA为Cn×n的非空子集,且对矩阵的加法及数量乘法是封闭的,所以SA是Cn×n的子空间。定义4矩阵空间SA={B|AB=BA,A∈Cn×n},称为A的可交换矩阵空间。推论1设A为n阶方阵,则SA⊆Cn×n。当A为零阵、单位阵、纯量阵时,有SA=Cn×n。定义5Ν(A)={⇀X∈Rn|A⇀X=⇀0}5N(A)={X⇀∈Rn|AX⇀=0⇀}称为A的零空间(或核)。亦即齐次线性方程组A⇀X=⇀0的解(向量)空间。定理2设SA为A的可交换矩阵空间,则SA与N(A⨂In-In⨂AT)同构。证明:∀B∈SA,有AB=BA,即AB-BA=0,将等号两端(按行)拉直,有(A⊗Ιn-Ιn⊗AΤ)⇀B=⇀0‚因此求所有与A可交换的矩阵B相当于求解齐次线性方程组(A⊗Ιn-Ιn⊗AΤ)⇀x=⇀0‚所以SA与N(A⨂In-In⨂AT)同构。定义6设SA为A在复数域C上的可交换矩阵空间。如果SA中的矩阵B1,B2,…,Bd满足:(1)B1,B2,…,Bd线性无关;(2)∀B∈SA,B可由B1,B2,…,Bd线性表示。则称B1,B2,…,Bd为SA的一个基,数d称为SA的维数,记为dimSA=d。定理3设n阶方阵A的约当标准形为J=diag(J1,J2,…,Js),其中约当块互不相同,则dimSA=s∑i=1mi=n。证明:已知A的约当标准形为J,即存在可逆阵P,使A=PJP-1;由AX=XA,有PJP-1X=XPJP-1,即JP-1XP=P-1XPJ。记Y≜P-1XP,得JY=YJ。已知J=diag(J1‚J2‚⋯‚Js)‚Ji=[λi10⋯000λi1⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯λi1000⋯0λi]mi‚i=1‚2‚⋯‚S。易得(J⊗Ιn-Ιn⊗JΤ)⇀Y=⇀0⋯⋯(1)的解⇀Y使得Y=[Y1Y2⋯Ys]⋯⋯(2)是一个与J分法相同的分块对角阵。其中Yi=[y(i)1y(i)2y(i)3⋯y(i)mi-1y(i)mi0y(i)1y(i)2⋯y(i)mi-2y(i)mi-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯y(i)1y(i)2000⋯0y(i)1]mi‚i=1‚2‚⋯‚S;y(i)1,y(i)2,…,y(i)mi∈R。由(2)可得(1)的解空间的维数为d=s∑i=1mi=n,即dimSA=d=s∑i=1mi=n,证毕。推论2若定理中λk=λl(k≠l),则dimSA=∑i≠k‚lmi+m2k+m2l。推论3设A的相似对角形为∧=diag(λ1Im1,λ2Im2,…,λsIms),其中λi为A的mi重特征值,i=1,2,…,S;λ1,λ2,…,λs互不相同,s∑i=1mi=n,则dimSA=s∑i=1m2i。定理4若B1,B2,…,Bd为SA的一个基,则矩阵方程AX=XA的通解为X=k1B1+k2B2+…+kdBd,(k1,k2,…,kd∈R)。即SA={X|X=k1B1+k2B2+…+kdBd,k1,k2,…,kd∈R}推论4设SA为A在复数域C上的可交换矩阵空间,则rank(A⨂In-In⨂AT)=n2-d,其中d=dimSA。2计算约当相关性公式方法一由定理4可知,只要求得SA的一个基,既可求得所有与A可交换的矩阵。求与矩阵A可交换的矩阵X,即解矩阵方程AX-XA=0,相当于求解齐次线性方程组(A⊗Ιn-Ιn⊗A)⇀X=⇀0‚其中⇀X为X的按行拉直,将n×n维向量⇀X还原为n阶矩阵X,即得与A可交换的矩阵。例1设A=(1234),求矩阵B使AB=BA。解:A⊗Ιn-Ιn⊗AΤ=[0-320-2-302303-303-20]→[101-101-2/3000000000],得⇀X=k1[-3230]Τ+k2Τ‚(k1‚k2∈R)所以B=k1(-3230)+k2(1001)‚(k1‚k2∈R)方法二先化简后求解。(1)若n阶方阵A不与对角阵相似,设J为A的约当标准形,相似变换矩阵为P,解齐次线性方程组(J⊗Ιn-Ιn⊗JΤ)⇀Y=⇀0‚则X=PYP-1。其中⇀Y为Y的按行拉直。(2)若n阶方阵与对角阵∧相似,相似变换矩阵为P,解齐次线性方程组(∧⊗Ιn-Ιn⊗∧)⇀Y=⇀0‚则X=PYP-1,其中⇀Y为Y的按行拉直。例2设A=[22-1-1-11-1-22],且AB=BA,求矩阵B。解:可得A的约当标准形及相似变换矩阵分别为J=‚Ρ=[111-100-101]‚Ρ-1=[0-1012-10-11]由推论2可得dimSA=22+1=5,解齐次线性方程组(J⊗Ιn-Ιn⊗JΤ)⇀Y=⇀0(ki∈R,i=1,2,3,4,5)B=ΡYΡ-1=k1[12-1-1-21-1-21]+k2[0-1101-101-1]+k3[11-1010010]+k4[12-100012-1]+k5[0-110000-11](ki∈R,i=1,2,3,4,5)3碳高上分配空间本文论述了矩阵乘法虽然