重难点04不等式恒成立能成立问题（六大题型）

重难点04不等式恒成立、能成立问题【题型归纳目录】题型一：“Δ”法解决恒成立问题题型二：数形结合法解决恒成立问题题型三：分离参数法解决恒成立问题题型四：主参换位法解决恒成立问题题型五：利用图象解决能成立问题题型六：转化为函数的最值解决能成立问题【方法技巧与总结】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．【典型例题】题型一：“Δ”法解决恒成立问题例1．已知关于x的不等式对任意恒成立，则k的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，不等式可化为，恒成立，当时，要满足关于x的不等式对任意恒成立，只需，解得，综上所述，k的取值范围是．故选：A例2．已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】①若，则恒成立，满足题意；②，则，，∴．综上所述．故选：D例3．已知不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】因为不等式对一切实数恒成立，所以，解得或．故选：C．变式1．已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】由题意得：一元二次方程的两根分别为1，2，由根与系数的关系，可得，，则不等式，即对于任意的恒成立，等价于，或，解得：或．则实数的取值范围为或．故选：A变式2．已知函数的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为的图象都在轴上方，①当时，或，当时，函数为一次函数，不满足条件；当时，函数满足条件；故；②当时，函数为二次函数，则，解得；综上，，即实数k的取值范围为．故选：B．变式3．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，满足题意；当时，则，解得，综上，的取值范围为．故选：C．题型二：数形结合法解决恒成立问题例4．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若关于x的不等式在上没有实数解，则对任意的，恒成立，记，则，解得，因此关于x的不等式在上有实数解，则，故选：A例5．当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是．【答案】【解析】当时，，显然恒成立．当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，当时，恒成立，则，解得．当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，当时，恒成立，则，显然成立，所以，故的取值集合是．故答案为：．例6．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．【解析】令y＝x2＋mx＋4．∵当1≤x≤2时，y<0恒成立．∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2．如图，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,2m＋8<0.))∴m的取值范围是{m|m<－5}．题型三：分离参数法解决恒成立问题例7．若“，”是假命题，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为“，”是假命题，所以“，”为真命题，即在上恒成立，因为对勾函数在上单调递增，则，所以，即实数的取值范围是．故答案为：例8．若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由，得，因为，所以，则恒成立，令，则，因为，所以，当且仅当即时取等号，所以．故答案为：例9．当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是．【答案】【解析】关于x的不等式恒成立即，时恒成立，，又，当且仅当，即时等号成立，．故答案为：．变式4．已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意当时，不等式恒成立，则恒成立，只需即可；易知当时，由基本不等式可得，当且仅当时取等号；所以，即，所以实数m的取值范围是．故选：A变式5．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】不等式恒成立，所以，则，令，，则，当时，取得最大值，最大值为1，所以，解得或．故选：C．变式6．不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：，令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即，又，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值，故可得．故选：A．变式7．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，由，可得，则，因为，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，当时，的最大值为，故．故选：A．题型四：主参换位法解决恒成立问题例10．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．【解析】y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔（x2－x＋1）m－6<0．∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<eq\f(6,m)恒成立，∴x2－x＋1<eq\f(6,3)⇔x2－x－1<0⇔eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2)．∴x的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)<x<\f(1＋\r(5),2)))))．例11．当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可将不等式整理成关于的一次函数，由一次函数性质可知，即；解得，综合可得；故选：B例12．若，为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，，恒成立，即，恒成立．，解得，或．故选：C．题型五：利用图象解决能成立问题例13．当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________．【答案】{m|m>－5}【解析】记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知，不等式x2＋mx＋4>0（1<x<2）一定有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5．例14．若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式在时有解，等价于当时，．由二次函数的图象知，当时，，所以．故选：A．题型六：转化为函数的最值解决能成立问题例15．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为命题“，”为真命题，所以，命题“，”为真命题，所以，时，，因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号．所以，时，，即实数的取值范围是故选：C例16．若命题“”为假命题，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知命题“”是真命题．因为，所以．当时，函数的最大值为6，则的最小值为，所以，即的最大值为．故选：A．例17．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，则，∴，又∵，且，可得，令，则原题意等价于对一切，恒成立，∵的开口向下，对称轴，则当时，取到最大值，故实数的取值范围是．故选：C．变式8．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】因为存在，使得不等式成立，所以存在，使得不等式成立，令，因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以．故答案为：．变式9．若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】由题意，不等式在内有解，当时，取最小值，故．故答案为：变式10．若使得不等式成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】若使得不等式成立，即使得不等式成立，即要小于等于的最大值，故．故答案为：．变式11．已知不等式的解集为．（1）若，且，求实数a的取值范围．（2）若对于有解，求实数a的取值范围．【解析】（1）由题知在上恒成立，又，所以，解得，所以，实数a的取值范围为．