专题5.46 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中考常考考点专题（一）（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题5.46二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中考常考考点专题（一）（基础篇）（专项练习）一、单选题【考点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)顶点坐标+最值1．（2021·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象的对称轴是（

）A． B． C． D．2．（2015·四川乐山·中考真题）二次函数的最大值为（

）A．3 B．4C．5 D．6【考点二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移3．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【考点三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)性质综合5．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·浙江湖州·中考真题）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（

）A． B． C． D．【考点四】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+b(a≠0)的图象组合7．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8．（2021·江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

） B．C． D．【考点五】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与各项系数的符号9．（2019·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．图象的对称轴是直线10．（2019·浙江温州·中考真题）已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（

）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2【考点六】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的对称性+点的坐标11．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（

）A． B．C． D．12．（2021·四川凉山·中考真题）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A． B．函数的最大值为C．当时， D．【考点七】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最值13．（2021·广西河池·中考真题）二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（

）A．对称轴是直线 B．当时，C． D．14．（2020·广东·一模）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（）x…-10123…y……A．二次函数图像与x轴交点有两个B．x≥2时y随x的增大而增大C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间D．对称轴为直线x=1.5【考点八】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象中的最短路径问题15．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．416．（2019·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（）A．的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【考点九】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质综合17．（2022·湖南邵阳·一模）如下图所示，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为3．则时，与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法判断18．（2022·山西运城·一模）如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（

）A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的二、填空题【考点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)顶点坐标+最值19．（2021·辽宁沈阳·一模）抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为_______．20．（2022·宁夏吴忠·二模）已知二次函数，用配方法化为的形式是______．【考点二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移21．（2020·四川广安·中考真题）已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为________（用“＜”连接）．22．（2022·广东·珠海市紫荆中学桃园校区三模）二次函数（，a，c均为常数）的图象经过、、三点，则，，的大小关系是______．【考点三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)性质综合23．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为____．24．（2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．【考点四】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+b(a≠0)的图象组合25．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y＝a（x﹣m）2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第___象限．26．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数的图象开口向下，则直线不经过的象限是第______象限．【考点五】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与各项系数的符号27．（2022·全国·二模）将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．28．（2022·广西贵港·一模）已知二次函数，在时，有最大值6，则______．【考点六】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的对称性+点的坐标29．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）30．（2022·云南保山·模拟预测）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④对于任意实数m，总有a﹣b≥am2﹣bm．其中正确的是_____（填写序号）．【考点七】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最值31．（2021·上海黄浦·一模）已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．32．（2020·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．【考点八】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象中的最短路径问题33．（2020·四川·中考真题）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．34．（2022·广东·二模）已知点P(2，3)、Q(6，1)，点A(m，n)为线段PQ上的一个动点．在点A从点Q运动至点P的过程中，当mn取最大值时，则点A的坐标为_______．【考点九】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质综合35．（2022·广东珠海·二模）已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．①当时，点在抛物线上；②对于任意的实数m，都是方程的一个根；③若，当时，y随x的增大而增大；④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．36．（2021·湖北荆门·模拟预测）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．则①当x＞4时，M＜0；②当x＜2时，随着增大而增大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则，其中正确的有______（填写序号）三、解答题37．（2021·黑龙江黑龙江·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积．38．（2022·河南郑州·二模）已知抛物线的顶点坐标为（1，3）．(1)求b，c的值；(2)直线l交抛物线于点A（－2，m），B（n，2）．若点P在抛物线上且位于直线l的上方（不与点A，B重合），求点P的纵坐标的取值范围．39．（2022·陕西师大附中三模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线平移得到抛物线，点B、C对应的点分别记为、，若此时以B、C、、为顶点的四边形是面积为12的矩形，请求出抛物线的表达式，并写出平移过程．40．（2022·广西贺州·一模）如图，抛物线与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．(1)试求A、B、C三点的坐标及直线BC的解析式；(2)求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形，请说明理由．41．（2022·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．(1)抛物线的对称轴是：直线______；(2)若，为抛物线上两点，满足，，当时，判定与的大小关系，请直接写出结果；(3)已知点D的横坐标为1，且点D在直线上．点C的坐标为，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．42．（2022·湖南省汉寿县教育研究室一模）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在直线上方的抛物线上时，过点作PE∥x轴交直线于点，作PF∥y轴交直线于点，求的最大值；(3)设为直线上的动点，以为一边且顶点为的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点坐标．参考答案A【分析】将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴．解：．二次函数的图象的对称轴是．故选A．【点拨】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．C【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．解：y=﹣（x﹣1）2+5，∵a=﹣1＜0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．故选C．【点拨】本题考查二次函数的最值，掌握配方法正确计算，利用数形结合思想解题是关键．B【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．解：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．C【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．解：抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【点拨】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．D【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．A【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是故选：A【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．D【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限，∴-m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选：D．【点拨】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．D【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．解：∵二次函数的图象开口向上，∴，∵次函数的图象经过一、三、四象限，∴，，对于二次函数的图象，∵，开口向上，排除A、B选项；∵，，∴对称轴，∴D选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．D【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.解：由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0.A选项错误；函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，x＝3即为函数对称轴，D选项正确；故选D【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.D【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2，∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值−2，当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7．故选D．【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．C【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．解：对于二次函数，令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴，∵，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【点拨】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴，即b=2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＞0，故A正确；当x=-1时，y取最大值为，故B正确；由于开口向下，对称轴为直线x=-1，则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），∴当时，，故C正确；由图像可知：当x=-2时，y＞0，即，故D错误；故选D．【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．D【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答．解：A、对称轴为：直线，故选项A正确，不符合题意；B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方，∴当-1<x<2时，y<0，故选项B正确，不符合题意；C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，∴a+c=b，故选项C正确，不符合题意；D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；故选：D．【点拨】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．14．D【分析】根据x=1时的函数值最小判断出抛物线的开口方向;根据函数的对称性可知当x=2时的函数值与x=0时的函数值相同,并求出对称轴直线方程可得答案.解：A、由图表数据可知x=1时,y的值最小,所以抛物线开口向上.所以该抛物线与x轴有两个交点.故本选项正确;B、根据图表知,当x≥2时y随x的增大而增大.故本选项正确;C、抛物线的开口方向向上,抛物线与y轴的交点坐标是(0,),对称轴是x=1,所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在-1~0之间,另一个在2~3之间.故本选项正确;D、因为x=0和x=2时的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线x=1.故本选项错误;故选:D.【点拨】本题主要考查二次函数性质与二次函数的最值.D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．C【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．解：二次函数，，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；故选项D的说法正确，故选C．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．A【分析】由图象可知当时，，即可判定当x=1时，与的大小关系．解：由图象可知：当时，，当x=1时，，故选：A．【点拨】本题考查了利用一次函数与反比例函数的交点比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．C【分析】设P(x，)()．根据周长公式求出周长，即可判定小明的正误；根据面积公式求出面积，结合二次函数的性质，即可判断小红的正误．解：设P(x，)()，∵，∴周长不变，且始终为6，即小明正确；∵，∴当时，最大，最大为，即小红是错误的．故选C【点拨】本题考查一次函数与二次函数的综合．掌握二次函数的性质是解题关键．(1，2)【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，然后即可写出抛物线的顶点坐标．解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．【点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解：y=-x2+2x-5=-（x2-2x+1）+1-5=-（x-1）2-4，故答案为：．【点拨】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．＜＜【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，），然后比较横坐标的大小即可得出结论．解：∵二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3∴当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，）∵0＜2＜＜3∴＜＜故答案为：＜＜．【点拨】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1.5，图象开口向下；根据二次函数的性质知道距离对称轴越远y值越小得出结果．解：∵抛物线的对称轴为，1.5-（-2）＞1.5-0＞2-1.5，故y1<y3<y2，故答案为y1<y3<y2．【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题关键．y＝x2+2x＋3【分析】把y＝x2﹣2x＋3配方得，把顶点向左平移2个单位长度即可得所求抛物线的解析式．解：把y＝x2﹣2x＋3配方得，其顶点坐标为(1,2)，抛物线的顶点向左平移2个单位长度后为(-1,2)，所以所得抛物线的解析式为，即y＝x2+2x＋3故答案为：y＝x2+2x＋3．【点拨】本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平移．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即：故答案为：．【点拨】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．二##2【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，即m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．【点拨】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．四【分析】根据二次函数的图像求出a的取值，再根据一次函数的图像与性质即可求解．解：∵二次函数的图象开口向下，∴．又∵直线，直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．故答案为：四．【点拨】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟知其图像与性质．

3或1##1或3

2【分析】（1）先求出平移后的解析式，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，∴，∵平移后的二次函数图象经过点，∴，解得，故答案为3或1；（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，∴，∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．故答案为2．【点拨】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．【分析】先求出对称轴，然后根据二次函数的性质求解即可．解：二次函数的对称轴为时，时取得最大值6．解得：【点拨】此题考查了二次函数的性质，熟练的掌握二次函数性质是解题的关键．除此外还要熟练掌握二次函数的图像与性质．①②##②①【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③错误；④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．故答案为：①②．【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．①④##④①【分析】根据抛物线的对称轴，开口方向，与轴的交点位置，即可判断①，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），即可求得对称轴，以及当时，，进而可以判断②③，根据顶点求得函数的最大值，即可判断④．解：抛物线开口向下，，对称轴，，抛物线与轴交于正半轴，，，故①正确，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），对称轴为，则，当，，，故②不正确，由函数图象以及对称轴为，可知，当时，随的增大而增大，故③不正确，对称轴为，则当时，取得最大值，对于任意实数m，总有，即，故④正确．故答案为：①④．【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．x=5【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．解：∵二次函数图像经过点和，∴该二次函数图像的对称轴是直线x==5故答案为：x=5．【点拨】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．32．4【分析】通过A、B两点得出对称轴，再根据对称轴公式算出b，由此可得出二次函数表达式，从而算出最小值即可推出n的最小值．解：∵A、B的纵坐标一样，∴A、B是对称的两点，∴对称轴，即，∴b=-4．∴抛物线解析式为：．∴抛物线顶点(2，-3)．∴满足题意n的最小值为4，故答案为：4．【点拨】本题考查二次函数对称轴的性质，顶点式的变形及抛物线的平移，关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．【分析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性质进行求解即可．(4，2)【分析】先求得直线PQ的解析式，得到n=-m+4，推出，再利用二次函数的性质即可求解．解：设直线PQ的解析式为y=kx+b，代入P(2，3)、O(6，1)，得，解得：，∴直线PQ的解析式为y=-x+4，∵点A(m，n)为线段PQ上的一个动点．∴n=-m+4，∴，∵-<0，∴当m=4时，mn有最大值，最大值为8，∴n=-×4+4=2，∴点A的坐标为(4，2)，故答案为：(4，2)．【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，利用二次函数的性质是解题的关键．②【分析】①将点代入解析式中即可判断；②解方程即可判断；③根据函数解析判断开口方向，根据对称轴及开口方向即可判断；④解方程，根据题意，利用的取值范围及即可判断．解：抛物线（为常数）中，当时，抛物线，若，则，点不在抛物线上，即①说法错误，不符合题意，方程即，或，解得，，对于任意实数，都是方程的一个根，即②说法正确，符合题意，抛物线（为常熟）中，，开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，即若，，当时，y随x的增大而增大，不一定正确，即③说法错误，不符合题意，抛物线（为常数）中，当时，，解得，，抛物线与轴的交点坐标为、，当时，，“④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意，综上所述，说法正确的是②，故答案为：②．【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的图象及性质，对称的性质，灵活运用二次函数的图象及性质是解题的关键．①②③【分析】抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x有两个交点，题中定义M是取y1、y2中的较小值，因此要求出两函数交点进行分段讨论，确定的M函数图象，再依次去判断①②③④的正误．解：当时，即时，解得：或，当时，利用函数图象可以得出，；当时，，；当时，利用函数图象可以得出，；综上得出的函数图象如下，由图像知时，，故①正确；由图像知，当x＜2时，随着增大而增大，故②正确；从的函数图象看出，的最大值为4，故大于4的值不存在，③正确；如图：满足有两点，令，解得x=1，当x>2时，令，，（舍去），使得的值是1或，④错误；故答案为：①②③．【点拨】本题主要考察了二次函数和一次函数的综合问题，能通过数形结合的方法去解决函数取值问题是做出本题的关键．（1）抛物线的解析式为；（2）【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；（2）由（1）可得，进而可得，然后问题可求解．解：（1）把点和点代入抛物线可得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可得抛物线的解析式为，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．38．(1)，(2)【分析】（1）根据题意可将抛物线的解析式化为顶点式，整理可得抛物线的解析式，即可得；（2）把点A（-2，m），B（n，2）分别代入即可得m，n的值，即，或，设，由题知，点P在抛物线上且位于直线l的上方（不与点A，B重合），分类讨论：①当时，则，根据二次函数的性质即可得；②当时，则，根据二次函数的性质即可得．(1)解：∵抛物线为的顶点坐标为（1，3），∴该抛物线的解析式可写为，整理得，，即，．(2)解：∵直线l交抛物线于点A（-2，m），B（n，2），∴，解得，或，即，或，设，由题知，点P在抛物线上且位于直线l的上方（不与点A，B重合），①当时，则，∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，y随着x的增大而增大，∴，②当时，则，∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向下，∴对称轴在的范围内，且与对称轴的距离大于与对称轴的距离，∴，综上，点P的纵坐标的取值范围为：．【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论．39．(1)(2)抛物线的表达式为，平移方式为向下平移2个单位再向左平移2个单位；，平移方式为先向上平移2个单位再向右平移2个单位【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得点的坐标，可得，延长，过点作的平行线，取，则四边形是矩形，根据矩形的面积求得点的坐标，进而求得平移方式，根据二次函数图象的平移规律求解即可求解，注意分类讨论．解：(1)与x轴交于两点，解得抛物线的表达式(2)设抛物线顶点为，过作轴，顶点，则如图，延长，过点作的平行线，取，则四边形是矩形，四边形的面积为过点，作轴，则是等腰直角三角形到先向下平移2个单位再向左平移2个单位，顶点的平移方式和的平移方式一致，抛物线的表达式，即，同理可得当平移方式为先向上平移2个单位再向右平移2个单位，也符合题意，抛物线的表达式，即综上所述，抛物线的表达式为，平移方式为向下平移2个单位再向左平移2个单位；，平移方式为先向上平移2个单位再向右平移2个单位【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．40．(1)A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）；(2)△PCD面积的取最大值3时，以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形，理由见分析【分析】（1）令x=0，可得C（0，-4），令y=0，可得B（-2，0），A（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式，即可求解；（2）过点P作