2023-2024学年江苏省无锡市积余实验学校九年级（上）期中数学试卷

2023-2024学年江苏省无锡市积余实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝0 B．2x3﹣x＝0 C．xy﹣1＝0 D．+x＝22．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定3．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么这个方程可以是（）A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝04．电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（）A．2（1+x）＝5 B．2（1+x）2＝5 C．2+2（1+x）2＝5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝55．已知点P与⊙O在同一平面内，⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离是5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙Q内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定6．下列说法中正确的命题是（）A．一个三角形只有一个外接圆 B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 C．过三点可以画一个圆 D．三角形的外心到三角形的三边距离相等7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝AM＝8cm，则直径AB的长为（）A．12cm B．9cm C．11cm D．10cm8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（）A．110° B．100° C．A20° D．125°9．如图，半圆O的直径AB＝8，弦CD＝4，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为（）A．π B．π C．4π D．2π10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），（6，8），以点C为圆心，3为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．7 B．10 C．3 D．﹣1二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分）11．关于x的方程x2＝2x的解为．12．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是．13．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）14．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为．15．如图所示，点A、B、C是⊙O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A＝65°，∠OCD＝42°，则∠ODC＝°．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）17．如图，正方形ABCD的边长是8cm，E是CD边的中点．将该正方形沿BE折叠，点C落在点C'处．⊙O分别与AB、AD、BC'相切，切点分别为F、G、H，则⊙O的半径为cm．18．如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是BC的中点．以点C为圆心，CE长为半径画圆，点P是⊙C上一动点，点F是边AD上一动点，连接AP，若点Q是AP的中点，连接BF，FQ，则BF+FQ的最小值为．三、解答题：（本大题共9小题，共96分）19．（16分）解方程：（1）（x+1）2＝1；（2）x2+6x﹣2＝0；（3）x（x﹣3）＝5（3﹣x）；（4）x2+7x＝24+2x．20．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+m＝0．（1）当m为何值时，方程有两个实数根；（2）设两个不相等的实数根分别为x1、x2，且x1＜2＜x2，求m的取值范围．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．（1）若∠CAB＝50°，求∠ADE的度数；（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的长．22．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣12＝0②x2﹣x+4＝0（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．23．仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O、D分别为AB、BC的中点，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的面积．25．2023年杭州亚运会吉祥物寓意不畏艰险、积极进取、热情好客，一开售，就深受大家的喜欢．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物，进价为每个78元，第一天以每个108元的价格售出40个，为了让更多的消费者拥有它们，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出2个．设销售单价为x元．（1）超市从第二天起日销售量增加个，每个可以盈利元（用含x的代数式表示）；（2）针对这种销售情况，该商店要保证每天盈利1232元，同时又要使顾客得到实惠，那么吉祥物的销售单价应定为多少元？26．（12分）（1）【学习心得】小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝26°，求∠BDC的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BDC的度数，请运用小底的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】①如图3，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC＝∠DFC．②如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝3，CD＝1，直接写出AD的长．27．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，给出如下定义：作直线l分别交AB、AC边于点M、N，点A关于直线l的对称点为A，则称A′为等腰直角△ABC关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合）（1）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4）、B（﹣4，0），直线ky＝kx+2，O'为等腰直角△AOB关于直线l的“直角对称点”．①当k＝1时，写出点O'的坐标；②连接BO，求BO长度的取值范围；（2）⊙O的半径为8，点M是⊙O上一点，以点M为直角顶点作等腰直角△MPQ，其中MP＝1，直线l与MP、MQ分别交于E、F两点，同时M'为等腰直角△MPQ关于直线的“直角对称点”，连接OM；当点M在⊙O上运动时，直接写出OM'长度的最大值与最小值．2023-2024学年江苏省无锡市积余实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝0 B．2x3﹣x＝0 C．xy﹣1＝0 D．+x＝2【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．解：Δ＝12﹣4×1＝﹣3＜0，所以方程无实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么这个方程可以是（）A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝0【分析】根据一元二次方程的解的定义解答即可．解：∵一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，∴这个方程是（x+3）2＝0，即x2+6x+9＝0，故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的解、直接开平方法解一元二次方程，掌握方程的解的定义是解题的关键．4．电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（）A．2（1+x）＝5 B．2（1+x）2＝5 C．2+2（1+x）2＝5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝5【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为2（1+x）亿元，第三天为2（1+x）2，根据第三天为5亿元，即可得出关于x的一元二次方程．解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2（1+x）2＝5．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．已知点P与⊙O在同一平面内，⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离是5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙Q内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．解：∵OP＝5，⊙O的半径为4，即d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外，故选：C．【点评】此题考查点与圆的关系，注意：熟记点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．6．下列说法中正确的命题是（）A．一个三角形只有一个外接圆 B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 C．过三点可以画一个圆 D．三角形的外心到三角形的三边距离相等【分析】根据三角形的外接圆、垂径定理的推论、确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可．解：A、一个三角形只有一个外接圆，命题正确，符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故本选项命题错误，不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故本选项命题错误，不符合题意；D、三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝AM＝8cm，则直径AB的长为（）A．12cm B．9cm C．11cm D．10cm【分析】如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．在Rt△OCM中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．∵AB⊥CD，∴CM＝MD＝CD＝4cm，在Rt△OCM中，∵OC2＝CM2+OM2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AB＝2OA＝10，故选：D．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（）A．110° B．100° C．A20° D．125°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D，再利用圆周角定理解答．解：∵∠ABC＝125°，∴∠D＝180°﹣∠B＝55°，∴∠AOC＝2∠D＝110°．故选：A．【点评】本题利用了圆周角定理，圆内接四边形的性质求解．9．如图，半圆O的直径AB＝8，弦CD＝4，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为（）A．π B．π C．4π D．2π【分析】根据垂径定理得出CM＝DM＝2，再由勾股定理的逆定理可得△COM是直角三角形，进而得出OM长，再根据旋转可得OM旋转的圆心角为90°，半径OM＝2，根据扇形面积的计算方法进行计算即可．解：当点C与点A重合时，如图，连接OM，∵点M是CD的中点，∴OM⊥CD，∴∠AMO＝90°，∴OM＝＝＝2＝CM，∴∠AOM＝45°，当CD在半圆弧上旋转到点D与点B重合时，此时可得∠BOM′＝45°，∴∠MOM′＝90°，即弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，OM就绕着点O逆时针旋转90°，∴OMM′＝∠OM′M＝45°，∴MM′∥AB，∴S△AMM′＝S△BMM′，∴BM扫过的面积，即不规则扇形BMM′与扇形OMM′面积相等，∴在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为S扇形S扇形OMM′＝＝2π，故选：D．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提．10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），（6，8），以点C为圆心，3为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．7 B．10 C．3 D．﹣1【分析】连接CM，OM，由垂径定理得出CM⊥QP，由直角三角形的性质得出OM＝AC＝2，进而得出点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，得出当O、M、N三点共线时，MN有最小值，由N（4，3），求出ON＝5，进而求出MN＝3，即线段MN的最小值为3．解：如图1，连接CM，OM，∵A（﹣3，0），C（3，0），∴AC＝6，O是AC的中点，∵M是QP的中点，∴CM⊥QP，∴∠AMC＝90°，∴OM＝AC＝3，∴点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，如图2，当O、M、N三点共线时，MN有最小值，∵N（6，8），∴ON＝10，∵OM＝5，∴MN＝ON﹣OM＝10﹣3＝7，∴线段MN的最小值为7，故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分）11．关于x的方程x2＝2x的解为x1＝0，x2＝2．【分析】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．解：∵x2＝2x∴x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意正确的因式分解方程是解决问题的关键．12．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣．【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝9+4k＜0，解之即可得出k的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k＜0，解得：k＜﹣．故答案为：k＜﹣．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．13．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面面积的计算公式：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．14．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为3或4．【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝3符合题意；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式Δ＝0，解之可得出k值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝4符合题意．解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3，当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k＝3符合题意；当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝4，当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k＝4符合题意．∴k的值为3或4．故答案为：3或4．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．15．如图所示，点A、B、C是⊙O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A＝65°，∠OCD＝42°，则∠ODC＝88°．【分析】根据圆周角定理求出∠BOC的读书，再根据三角形外角定理即可得出结论．解：在⊙O中，∠BOC＝2∠A＝2×65°＝130°，∴∠ODC＝∠BOC﹣∠OCD＝130°﹣42°＝88°．故答案为：88．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是+.（结果保留π）【分析】根据S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF计算即可．解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴AB＝AF＝2AC＝2，BC＝CE＝AC＝，∴S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF＝+﹣＝+，故答案为：+．【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．17．如图，正方形ABCD的边长是8cm，E是CD边的中点．将该正方形沿BE折叠，点C落在点C'处．⊙O分别与AB、AD、BC'相切，切点分别为F、G、H，则⊙O的半径为2cm．【分析】连接OG，OF，OH，延长BC′交AD于点M，连接EM，利用折叠的性质和全等三角形的判定与性质得到∠BEM＝90°，了由相似三角形的判定与性质求得C′M，DM，则AM，BM可求；利用圆的切线的性质可得OH＝OF＝OG＝⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，再利用S△ABM＝S△OAB+S△OBM+S△OAM，列出关于r的方程，解方程即可得出结论．解：连接OG，OF，OH，延长BC′交AD于点M，连接EM，如图，由题意得：△BC′E≌△BCE，∴BC′＝BC＝8cm，EC′＝EC＝CD＝4cm，∠BEC′＝∠BEC．在Rt△MC′E和Rt△MDE中，，∴Rt△MC′E≌Rt△MDE（HL），∴MC′＝MD，∠C′EM＝∠DEM，∵∠BEC+∠BEC′+∠MEC′+∠DEM＝180°，∴∠BEC′+∠MEC′＝90°，即∠BEM＝90°．∵EC′⊥BM，∴△BC′E∽△EC′M，∴，∴C′M＝2，∴BM＝BC′+C′M＝10cm，MD＝C′M＝2cm，∴AM＝AD﹣MD＝8﹣2＝6（cm）．∵⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，∴OH＝OF＝OG＝⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，连接OA，OB，OM，∵S△ABM＝S△OAB+S△OBM+S△OAM，∴AB•AM＝AB•OF+BM•OH+AM•OG，∴8×6＝8r+10r+6r，∴r＝2cm．即⊙O的半径为2cm．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，圆的有关性质，圆的切线的性质定理，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．18．如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是BC的中点．以点C为圆心，CE长为半径画圆，点P是⊙C上一动点，点F是边AD上一动点，连接AP，若点Q是AP的中点，连接BF，FQ，则BF+FQ的最小值为2﹣1．【分析】取点D关于直线AB的对称点D′，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，则PD+PG＝PD′+PG＝D′G，从而可求出其最小值．解：取点B关于直线AD的对称点M，连接BD、AC两线交于点O，连接OQ，CP，MO，过O作ON⊥AB于点N，∵点Q是AP的中点，∴OQ＝CP＝×3＝，∴点Q在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB，∴ON＝AN＝BN＝AB＝3，∵AM＝AB＝3，∴MN＝6+3＝9，∴OM＝＝＝3，∵BF+FQ+OQ＝MF+FQ+OQ≥OM，∴当M、F、Q、O四点共线时，BF+FQ+OQ＝MF+FQ+OQ＝OM＝3的值最小，∴BF+FQ的最小值为BF+FQ＝OM﹣OQ＝3﹣．故答案为：3﹣．【点评】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点Q的运动轨迹．三、解答题：（本大题共9小题，共96分）19．（16分）解方程：（1）（x+1）2＝1；（2）x2+6x﹣2＝0；（3）x（x﹣3）＝5（3﹣x）；（4）x2+7x＝24+2x．【分析】（1）把方程两边开方得到x+1＝±1，然后解两个一次方程即可；（2）利用配方法得到（x+3）2＝11，然后利用直接开平方法解方程；（3）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+5＝0，然后解两个一次方程即可；（4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x+8＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．解：（1）（x+1）2＝1，x+1＝±1，所以x1＝0，x2＝﹣2；（2）x2+6x﹣2＝0，x2+6x+9＝11，（x+3）2＝11，x+3＝±，所以x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（3）x（x﹣3）＝5（3﹣x），x（x﹣3）+5（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x+5）＝0，x﹣3＝0或x+5＝0，所以x1＝3，x2＝﹣5；（4）x2+7x＝24+2x，方程化为一般式为x2+5x﹣24＝0，（x+8）（x﹣3）＝0，x+8＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣8，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．20．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+m＝0．（1）当m为何值时，方程有两个实数根；（2）设两个不相等的实数根分别为x1、x2，且x1＜2＜x2，求m的取值范围．【分析】（1）根据一元二次方程的二次项系数不等于0，方程有两个实数根，则Δ≥0列不等式组解出即可；（2）根据一元二次方程的根与相应二次函数图象与x轴的交点横坐标的关系解答即可．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+m＝0有两个实数根，∴，解得m≥﹣1，且m≠0；（2）由题意，得，当﹣1＜m＜0时，二次函数y＝mx2+（m+2）x+m的图象开口向下，∵x1＜2＜x2，∴当x＝2时，y＞0，即4m+（m+2）×2+m＞0，解得m＞，∴当＜m＜0时，两根满足x1＜2＜x2要求；当m＞0时，二次函数y＝mx2+（m+2）x+m的图象开口向上，∵x1＜2＜x2，∴当x＝2时，y＜0，即4m+（m+2）×2+m＜0，解得m＜，与m＞0矛盾，舍去，综上可得，m的取值范围为＜m＜0．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，用函数观点看一元二次方程，掌握根的判别式的作用，理解一元二次方程的根与相应二次函数图象与x轴交点的横坐标关系是解题的关键．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．（1）若∠CAB＝50°，求∠ADE的度数；（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的长．【分析】（1）结合角平分线和切线的性质，连接OD计算即可得解；（2）作OF⊥AC于F，如图，利用垂径定理得到AF＝CF＝AC＝3，在Rt△OAF中利用勾股定理计算出OF＝4，然后证明四边形OFED为矩形，从而得到DE＝OF＝4．解：（1）连OD，如图1，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∵∠CAB＝50°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA＝25°，∴∠ADE＝∠ODE﹣∠ODA＝65°；（2）连接OD，作OF⊥AC于F，如图2，则AF＝CF＝AC＝3，在Rt△OAF中，OF＝＝4，∵∠OFE＝∠FED＝∠EDO＝90°，∴四边形OFED为矩形，∴DE＝OF＝4．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．22．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣12＝0②x2﹣x+4＝0（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．【分析】（1）①利用因式分解法解方程得x1＝4，x2＝﹣3，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；②利用公式法解方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解方程得x1＝k，x2＝﹣3，再根据“邻根方程”的定义得到k+1＝﹣3或k﹣1＝﹣3，然后分别解一次方程得到k的值．解：（1）①x2﹣x﹣12＝0，（x﹣4）（x+3）＝0，x﹣4＝0或x+3＝0，解得x1＝4，x2＝﹣3，∵x1﹣x2＝7≠1，∴方程x2﹣x﹣12＝0不是“邻根方程”：②x2﹣x+4＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×4＝1＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝，∵x1﹣x2＝1，∴方程x2﹣x+4＝0是“邻根方程”：（2）x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0，（x﹣k）（x+3）＝0，、x﹣k＝0或x+3＝0，解得x1＝k，x2＝﹣3，∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，∴k+1＝﹣3或k﹣1＝﹣3，解得k＝﹣4或﹣2，即k的值为﹣4或﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了阅读理解能力．23．仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．【点评】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O、D分别为AB、BC的中点，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的面积．【分析】（1）结论：DF是⊙O的切线．作OG⊥DF于G．连接OE．想办法证明OG＝OE即可解决问题；（2）由FA，FD是⊙O的切线，推出FG＝FE，设FG＝FE＝x，由△OGD≌△DCF（AAS），推出DG＝CF＝，推出OD＝DF＝+x，由AC＝2OD，CE＝OD，推出AE＝EC＝OD＝+x，由∠A＝30°，推出CD＝OE＝，在Rt△DCF中，根据DF2＝CD2+CF2，构建方程即可解决问题．解：（1）DF是⊙O的切线．理由如下：作OG⊥DF于G．连接OE．如图，∵BD＝DC，BO＝OA，∴OD∥AC，∴∠ODG＝∠DFC，∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，∴△OGD≌△DCF（AAS），∴OG＝CD，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∵OD∥CE，∴四边形CDOE是平行四边形，∴CD＝OE，∴OG＝OE，∴DF是⊙O的切线；（2）∵FA，FD是⊙O的切线，∴FG＝FE，设FG＝FE＝x，∵△OGD≌△DCF（AAS），∴DG＝CF＝，∴OD＝DF＝+x，∵AC＝2OD，CE＝OD，∴AE＝EC＝OD＝+x，∵∠A＝30°，∴CD＝OE＝，在Rt△DCF中，DF2＝CD2+CF2，∴（+x）2＝（）2+（）2，解得x＝3﹣或﹣3﹣（舍弃），∴OE＝＝．∴⊙O的面积为：π•（）2＝3π．【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，切线长定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．25．2023年杭州亚运会吉祥物寓意不畏艰险、积极进取、热情好客，一开售，就深受大家的喜欢．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物，进价为每个78元，第一天以每个108元的价格售出40个，为了让更多的消费者拥有它们，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出2个．设销售单价为x元．（1）超市从第二天起日销售量增加2（108﹣x）个，每个可以盈利（x﹣78）元（用含x的代数式表示）；（2）针对这种销售情况，该商店要保证每天盈利1232元，同时又要使顾客得到实惠，那么吉祥物的销售单价应定为多少元？【分析】（1）利用每个吉祥物的盈利金额＝销售单价﹣进货单价，即可用含x的代数式表示出每个吉祥物的盈利金额；利用第二天起日销售量增加的数量＝2×（原价﹣降价后的销售单价），即可用含x的代数式表示出从第二天起日销售量增加的数量；（2）利用销售总利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．解：（1）当销售单价定为x元时，每个吉祥物盈利（x﹣78）元，从第二天起日销售量增加2（108﹣x）个．故答案为：2（108﹣x）；（x﹣78）．（2）根据题意得（x﹣78）[40+2（108﹣x）]＝1232，整理得：x2﹣206x+10600＝0，解得：x1＝100，x2＝106．答：吉祥物的销售单价应定为100元或106元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．26．（12分）（1）【学习心得】小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝26°，求∠BDC的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BDC的度数，请运用小底的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】①如图3，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC＝∠DFC．②如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝3，CD＝1，直接写出AD的长．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC；（3）先判断出点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，得出∠EFC＝∠DAC，同理得出∠DFC＝∠CBE，即可得出结论；（4）如图4，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合