不定积分的概念和性质

例原函数：一、原函数与不定积分的概念原函数存在的充分条件：问题：(1)原函数是否唯一？例（C为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？说明：(1)初等函数在其定义域内具有原函数。(2)原函数不一定是初等函数。关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）任意常数积分号被积函数不定积分：被积表达式积分变量例1

求解解例2

求例3

设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基本积分表

是常数);说明：简写为例4

求积分解根据积分公式（2）证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质例5

求积分解例6

求积分解例7

求积分解例8

求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.解所求曲线方程为基本积分表(1)不定积分的性质

原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系小结:思考题：思考题解答一、填空题.习题：二、选择题,则下列各式中不成立的是（）2．下列等式中，正确的是（）.（A）

(B)(C)

；(D)

3.若在内，，则必有（）.

;（B）(C)

(D)(A)（A）原函数；(B)导函数；

(C)最大值；(D)极值.习题答案：二、选择题一、填空题（A）;

(D);

(C);（A）.第二节换元积分法第一类换元法第二类换元法问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解例4

求解例5

求解例6

求解例7

求解例8

求解例9

求原式例10

求解例11

求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12

求解例13

求解（一）（使用了三角函数恒等变形）解（二）类似地可推出解例14

设求.令例15

求解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法证设为的原函数,令则则有换元公式定理2例16

求解令例17

求解令例18

求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例19

求（三角代换很繁琐）令解例20

求解令说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例21

求令解例22

求解令（分母的阶较高）说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例23

求解令基本积分表

第三节分部积分法分部积分法应用实例不定积分的性质问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、分部积分法例1

求积分解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.解（二）令二、应用实例例2

求积分解（再次使用分部积分法）总结

若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3

求积分解令例4

求积分解总结

若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数