第08讲 二次函数的实际应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第08讲二次函数的实际应用（六大类型）1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．知识点1：运动类（1）落地模型最值模型知识点2：经济类销售问题常用等量关系：利润=收入-成本；利润=单件利润×销量；知识点13：面积类知识点4：拱桥类一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1运动类（1）落地模型】【典例1】（2023•原平市一模）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米 B．12米 C．11米 D．10米【答案】B【解答】解：当y＝0时，则﹣x2+x+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．故选：B．【变式1-1】（2022秋•罗山县期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣．问：此运动员能把铅球推出多远？（）A．12m B．10m C．3m D．4m【答案】B【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：﹣x2+x+＝0，解之得：x1＝10，x2＝﹣2．又x＞0，解得x＝10．故选：B．【变式1-2】（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米【答案】B【解答】解：在函数中，当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝9，即小强此次成绩为9米，故选：B．【题型2运动类（2）最值模型】【典例2】（2022秋•任城区校级期末）飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下来，滑行的距离为（）A．500米 B．700米 C．600米 D．800米【答案】C【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，s取得最大值，此时s＝600，即飞机着陆后滑行到停止下来的滑行距离为600米．故选：C．【变式2-1】（2023•郸城县一模）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OP的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离x（m）与水流喷出的高度y（m）之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（）A．5.5m B．5m C．4.5m D．4m【答案】D【解答】解：y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣3）2+4，∵﹣＜0，∴当x＝3时，y有最大值，最大值为4，故选：D．【变式2-2】（2023•泰兴市二模）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面37m处打开．【答案】37．【解答】解：h＝﹣t2+12t+1＝﹣（t﹣6）2+37，∵a＝﹣1＜0，∴点火升空的最高点距地面37m，故答案为：37．【变式2-3】（2023春•二道区校级月考）向空中发射一枚信号弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在11秒时信号弹所在高度最高的．【答案】11．【解答】解：∵此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是直线，∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．故答案为：11．【题型3经济类-二次函数与一次函数初步综合】【典例3】（2023•宝应县二模）某商家经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与销售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间的关系绘制成函数图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）若某周该商品的销售量不少于800件，求这周该商家销售这种商品获得的最大利润；（3）规定这种商品的销售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请求出m的取值范围．【答案】（1）y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+1500；（2）最大利润为32000元；（3）0＜m≤20．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）则有：，解得：．∴设y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+1500（2）∵商品该商品的销售量不少于800件，由（1）得：y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+1500，∴﹣10x+1500≥800，解得：0≤x≤70，设该商家销售这神蔏品获得的最大利润w元，∴w＝（x﹣30）⋅y＝（x﹣30）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+1800x﹣45000＝﹣10（x﹣90）2+36000，∵a＝﹣10＜0，对称轴为直线x＝90，∴当0≤x≤70时，由二次函数的性质可知，在对称轴的左侧w随x的增大而增大，当x＝70时，w取得最大值，最大值为32000元；（3）∵商品的销售价不超过进价的2倍，商品的进价每件提高m元（m＞0）时，∴x≤2（m+30），此时利润w＝（x﹣30﹣m）⋅y＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+（1800+10m）x﹣（45000+1500m），∴对称轴为，∵该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，∴，∴m≤20，∵m＞0，∴0＜m≤20．【变式3-1】（2023•长阳县一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．售价x（元/箱）…3538…销售量y（箱）…130124…（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为116箱；（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【答案】（1）116；（2）不能，理由见详解；（3）这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系为y＝kx+b，根据题意得：，解得：，∴y＝﹣2x+200，∴当x＝42时，y＝﹣2×42+200＝116，∴当天这种蔬菜的销售量为116箱；故答案为116；（2）根据题意得：（﹣2x+200）（x﹣24）＝1320，解得x1＝34，x2＝90，∵这种蔬菜售价不低于45×0.8＝36，且不高于45，∴36≤x≤45，∴34，90都不满足题意，所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利1320元；（3）设日获得利润为w元，则w＝（﹣2x+200）（x﹣24﹣6）＝﹣2（x﹣65）2+2450，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜65时，w的值随x值的增大而增大，∵这种蔬菜售价不低于45×0.8＝36，∴36≤x≤45，∴当x＝45时，（元），答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．【变式3-2】（2023•太康县一模）五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元．（1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？（2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）220380日销售量y（件）18020请写出当220≤x≤380时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件；（2）y＝﹣x+400（220≤x≤380）；（3）A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元．【解答】解：（1）设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：，解得：，∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（220，180），（380，20）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+400（220≤x≤380）；（3）由题意得：w＝（﹣x+400）（x﹣200）＝﹣x2+600x﹣80000＝﹣（x﹣300）2+10000（220≤x≤380），∴当x＝300时，w取得最大值10000，∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元．【变式3-3】（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．【答案】（1）W＝﹣10x2+500x﹣4000，0＜x≤40；（2）销售单价应定为15元；（3）W的最大值为2160元．【解答】解：（1）根据题意，有：W＝y×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣10），化简，得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，根据，解得：x＞10，即函数关系为：W＝﹣10x2+500x﹣4000，x＞10；（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，解得：x＝15，或者x＝35，当x＝15时，销量：y＝﹣10x+400＝250（件）；当x＝35时，销量：y＝﹣10x+400＝50（件）；销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为15元；（3）根据题意有：，解得：28≤x≤35，将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，∵28≤x≤35，∴当x＝28时，函数值最大，最大为：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160．答：此时W的最大值为2160元．【题型4经济类-二次函数中的“每每问题”】【典例4】（2023•黄石一模）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．（1）则y与x的函数关系式为：y＝210﹣10x，自变量x的取值范围是：0＜x≤15；（2）每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若在销售过程中每一件商品都有a（a＞0）元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围：3＜a≤5．【答案】（1）y＝210﹣10x，0＜x≤15；（2）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；（3）3＜a≤5．【解答】解：（1）由题意知，y与x的函数关系式为y＝210﹣10x，∵每件售价不能高于65元，∴50+x≤65，解得x≤15，∴0＜x≤15，故答案为：y＝210﹣10x，0＜x≤15；（2）设月利润为w，w＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，（0＜x≤15且x为正整数），∵a＝﹣10＜0，∴当x＝5.5时，w有最大值2402.5，∵0＜x≤15且x为正整数，当x＝5时，50+x＝55，w＝﹣10×（5﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），当x＝6时，50+x＝56，w＝﹣10×（6﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；（3）由题意得：w＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10（x﹣21）（x+10﹣a），∴函数图象的对称轴为：，售价每件不低于58元时，即x≥58﹣50＝8，又0＜x≤15且x为整数，∴8≤x≤15，且x为整数，w随x的增大而减小，∴，解得3＜a≤5，∴a的取值范围为3＜a≤5．故答案为：3＜a≤5．【变式4-1】（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？【答案】（1）y＝﹣30x+1050；（2）x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．【解答】解：（1）由题意得：y＝300+30（25﹣x）＝﹣30x+1050；即y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1050；（2）设最大利润额为W，由题意得：W＝（x﹣5）（﹣30x+1050）＝﹣30x2+1200x﹣5250＝﹣30（x﹣20）2+6750，∴x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．答：x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．【变式4-2】（2023•阳信县二模）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套32元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？（3）如果每天的利润要达到6080元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+296（2）当x＝90时，W最大值＝6728；（3）每套的售价应该定为72元．【解答】解：（1）根据题意，得＝﹣2x+296，∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；（2）根据题意，得：W＝（x﹣32）（﹣2x+296）＝﹣2（x﹣90）2+6728，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，W有最大值，当x＝90时，W最大值＝6728；（3）﹣2（x﹣90）2+6728＝6080，x1＝108或x2＝72，因为要尽可能让利于顾客，所以每套的售价应该定为72元．【变式4-3】（2023•建昌县二模）某纪念品的进价为每件40元，售价为每件50元，每星期可卖出200个．经市场调查发现：以不低于现售价的价格销售该商品，售价每上涨1元，则每星期少卖4个（每件售价不高于68元），设每件商品销售单价为x（元），每星期销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）将该纪念品的销售单价定为多少元时，每星期销售这种产品获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y＝﹣4x+400，50≤x≤68．（2）单价定为68元时，每星期销售这种产品获得的利润最大，最大利润是3584元．【解答】解：（1）由题意得：y＝200﹣4（x﹣50）＝﹣4x+400．自变量x的取值范围为50≤x≤68．（2）设每星期销售这种产品获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣40）（﹣4x+400）＝﹣4x2+560x﹣16000＝﹣4（x﹣70）2+3600，∵a＝﹣4＜0，50≤x≤68，∴当x＝68时，w取得最大值，最大值为：﹣4（68﹣70）2+3600＝3584，答：单价定为68元时，每星期销售这种产品获得的利润最大，最大利润是3584元．【变式4-4】（2023•东莞市校级三模）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？【答案】（1）每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；（2）房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．【解答】解：（1）依题意得：元，即每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；（2）设每个房间定价增加x元，依题意得：所获利润＝，∴当x＝170元时，利润最大，∴180+170＝350（元），即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．【题型5面积类】【典例5】（2023•越秀区校级一模）如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？【答案】（1）S＝﹣3x2+12x，；（2）3米；（3）m．【解答】解：（1）由题意，得：BC＝12﹣3x，∴S＝AB⋅BC＝x（12﹣3x）＝﹣3x2+12x；∵0＜BC≤5，即0＜12﹣3x≤5，解得：，∴x值的取值范围为：；（2）当S＝9时，即﹣3x2+12x＝9，解得：x1＝1，x2＝3，∵，∴x＝3，即AB的长是3米；（3）S＝﹣3x2+12x＝﹣3（x﹣2）2+12，∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵，∴当时，S取的最大值，∴当AB的长是m时，围成的花圃面积最大．【变式5-1】（2023•锦江区校级模拟）用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）求S的最大值．【答案】（1）S＝﹣x2+6x（0＜x≤）；（2）S的最大值为6m2．【解答】解：（1）设窗框的宽为xm，则长为（12﹣3x）m，根据题意可得：S＝x××（12﹣3x）＝﹣x2+6x；∵0＜x≤（12﹣3x），∴0＜x≤．（2）∵S＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣2）2+6，∴当x＝2时，S的最大值为6；故S的最大值为6m2．【变式5-2】（2023•东莞市校级二模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m．​（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求BD长度；（2）求矩形养殖场的总面积最大值为多少．【答案】（1）2；（2）m2．【解答】解：（1）设BD＝xm，根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞13不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时BD的值为设BD长度为2m，（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为13m，∴0＜x≤，根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为30﹣3x米（用含的代数式表示）；（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【答案】（1）30﹣3x；（2）7；（3）当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案为：30﹣3x；（2）∵墙最大可用长度为12米，∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，解得：6≤x＜，根据图形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，解得：x1＝3（舍），x2＝7，∴x的值为7；（3）设矩形的面积为S平方米，则S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，且6≤x＜，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72，答：当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【题型6拱桥类】【典例6】（2023•武功县模拟）在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的函数表达式；（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．【答案】（1）；（2）0.3m．【解答】解：（1）由题意知，抛物线经过点，，（0，4），即（﹣3，1），（3，1），（0，4），设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）将y＝1.57代入，得，解得x＝±2.7，∵小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，∴x＝﹣2.7，﹣2.7﹣（﹣3）＝0.3（m），∴小明离甲的水平距离为0.3m．【变式6-1】（2023•会昌县模拟）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？【答案】（1）y＝﹣（x﹣16）2+8；（2）能．【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点O（30﹣14）＝16米时，足球达到最大高度8米，设抛物线解析式为：y＝a（x﹣16）2+8，把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，解得：a＝﹣，故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣16）2+8；（2）当x＝3时，y＝﹣（3﹣16）2+8＝2.71875＜2.88，故C罗能在空中截住这次吊射．【变式6-2】（2023•仁和区二模）掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2+3．（2）该女生在此项考试中没有得满分，理由见解答．【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入上式得，a（0﹣3）2+3＝，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣3）2+3．（2）该女生在此项考试中没有得满分．理由：令y＝0，即﹣（x﹣3）2+3＝0，解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∴实心球从起点到落地点的水平距离为7.5米，小于7.80米，∴该女生在此项考试中没有得满分．【变式6-3】（2023•碑林区校级模拟）为培养学生劳动实践能力，某学校在校园内开辟出一块劳动实践基地，搭建了一个横截面为抛物线型的大棚，如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，AB＝6m，CO＝3m．（1）求该抛物线的解析式；（2）大棚的门是一个矩形EFGH，要求点E、F在抛物线上，门的高度FG与宽度EF的比为2：3，那么门的宽度EF应设计成多少米（不考虑材料厚度）？（结果保留根号）【答案】（2﹣4）m．【解答】解：（1）由图可设抛物线的解析式为：y＝ax2+3，由图知抛物线与x轴正半轴的交点为B（3，0），则：a•32+3＝0，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3；（2）∵门的高度FG与宽度EF的比为2：3，E，F关于y轴对称，∴＝，设FG＝4t，FM＝3t，则EF＝6t，∴F（3t，4t），∵点F在抛物线上，∴4t＝﹣×（3t）2+3，解得t＝（舍去负值），∴EF＝（2﹣4）（m）．答：门的宽度EF应设计成（2﹣4）m．1．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为32m2．【答案】32．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．2．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．【答案】8．【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，∵﹣＜0，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．3．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是10m．【答案】10．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．【答案】见试题解答内容【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．5．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是4m．【答案】4．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．6．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．【答案】288m2．【解答】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由题意可得：y＝x（47﹣2x+1），即y＝﹣2（x﹣12）2+288，由题意，解得11.5≤x＜24，∵﹣2＜0，∴当x＝12时，y有最大值为288，当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），∴鸡场的最大面积为288m2．7．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．8．（2023•南充）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】【答案】（1）w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）；w2＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）A产品：（﹣500m+3970）元；B产品：1420元．（3）当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．【解答】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．9．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？【答案】（1）若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；（2）当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【解答】解：（1）∵58﹣35﹣3＝20，20×300＝6000（元），∴若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；（2）若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，根据题意得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，由二次函数性质可知，当x＝4时，y的最大值为6400元；若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，根据题意得：y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，由二次函数性质可知，当x'＝5时，y'的最大值为6250元；综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．10．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，由题意可知：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）w＝y（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x为整数，当x＜19时，w随x的增大而增大，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．11．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）第二批每个挂件的进价为40元．（2）当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意可得，+50＝，解得x＝40．经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，∴1.1x＝44．∴第二批每个挂件的进价为40元．（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴当x≥52时，w随y的增大而减小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴w≥55，∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．12．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》【答案】（1）y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解答．【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，解得：a＝﹣，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）该生在此项考试中是得满分，理由：令y＝0，则﹣（x﹣3）2+3＝0，解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴该生在此项考试中是得满分．1．（2023•东莞市校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．2．（2022秋•潼南区期末）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表达式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球过程中，实心球的最大高度是（）A．3m B．m C．m D．m【答案】B【解答】解：在y＝﹣（x﹣3）2+中，当x＝3时，y有最大值，∴小明此次掷球过程中，实心球的最大高度是m，故选：B．3．（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（）A．6m B．10m C．8m D．12m【答案】B【解答】解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：﹣x2+x+＝0，解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．故选：B．4．（2021秋•鄄城县期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m【答案】C【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y＝﹣x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．故选：C．5．（2022秋•红桥区期末）如图，计划用总长为43m的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，其中一边AB是墙（可利用的墙的长度为21m），中间共留两个1m的小门，设篱笆BC长为xm．（1）AB的长为45﹣3x（m）（用含x的代数式表示）；（2）若矩形鸡舍ABCD的面积为150m2，求篱笆BC的长；（3）求矩形鸡舍ABCD面积的最大值及此时篱笆BC的长．【答案】（1）45﹣3x；（2）当矩形鸡舍ABCD的面积为2150m2时，篱笆BC的长为10m；（3）矩形鸡舍ABCD面积的最大值为168m2，此时篱笆BC的长为8m．【解答】解：（1）由题意可得，AB的长为：43﹣3x+2＝（45﹣3x）m，故答案为：45﹣3x；（2）由图可得，矩形鸡舍ABCD的面积为：AB•BC＝（45﹣3x）•x＝﹣3x2+45x，由题意得：﹣3x2+45x＝150，解得x1＝5，x2＝10，当x＝5时，AB＝45﹣3×5＝30＞21，不合题意，舍去；当x＝10时，AB＝45﹣3×10＝15＜21，符合题意；答：当矩形鸡舍ABCD的面积为150m2时，篱笆BC的长为10m；（3）设矩形鸡舍ABCD面积为Sm2，由题意可得：S＝﹣3x2+45x＝﹣3（x﹣）2+，，解得8≤x≤14，∴当x＝8时，S取得最大值，此时S＝168，即矩形鸡舍ABCD面积的最大值为168m2，此时篱笆BC的长为8m．6．（2023•葫芦岛一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x