2021年中考数学考点一遍过-考点02 整式与因式分解

考点02整式及因式分解

\考情分析与预测

以考查整式的加减、乘法、幕的运算、因式分解为主。也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点,

分值为12分左右，预计2021年各地中考还将继续考查累的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值,

为避免丢分，学生应扎实掌握.

--------------/

一、代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号"x”用"♦”表示或省略不写；分数不要用带分数：除号用分数线表示等.

二、整式

1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，

数字因数叫做单项式的系数.

注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如-4』/从这种表示

3

13

就是错误的，应写成-②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如一5a362c

3

是6次单项式。

2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的

次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3.整式：单项式和多项式统称为整式.

4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5.整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6.累的运算：an,-a"^a'"+"；(a'")"=“叫(ab)”=“切；a"一

7.整式的乘法：(1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式与多项式相乘：m(a+b+c)-ma+mb+mc.

(3)多项式与多项式相乘：(,m+n)(a+b)=ma+mb+na+nh.

8.乘法公式：（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（2）完全平方公式：（a+b）2=a2±2ab+b2.

9.整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幕分别相除，作为商的因式：对于只在被除

式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项

式，再把所得的商相加.

三、因式分解

1.把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）.

（2）公式法：运用平方差公式：/一炉=（a+b）（a—份.运用完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2.

3.分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：

为两项时，考虑平方差公式：

为三项时，考虑完全平方公式；

为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提二套三检查

考向一代数式及相关问题

1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.

典例引领

1.（2020•吉林长春•中考真题）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15

元.若购买阳张成人票和w张儿童票，则共需花费元.

【答案】（30m+15n）

【分析】根据单价X数量=总价，用代数式表示结果即可.

【解析】解：根据单价X数量=总价得，共需花费（30帆+15〃）元，故答案为：（30m+15/?）.

【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价x数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项

式且后面带单位时，代数式要加括号.

2.（2020•山东潍坊•中考真题）若根2+2机=1，则4m2+8m一3的值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】把所求代数式4加2+8加-3变形为4（加2+2m）-3,然后把条件整体代入求值即可.

【解析】Vm2+2w=1>4m2+8/M-3=4（/H2+2??J）-3=4X1-3=1.故选：D.

【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式4根2+8m-3变形为

4（m2+2m）-3.

变式拓展

1.（2020•四川成都•中考真题）己知。=7—3匕，则代数式〃+66必+9"的值为.

【答案】49

【分析】先将条件的式子转换成。+3b=7,再平方即可求出代数式的值.

【解析】解：；。=7-3〃，，。+3》=7,；./+6，力+9）2=（。+332=72=49,故答案为：49.

【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换.

2.（2020•江苏泰州•中考真题）点尸（a,8）在函数丁=3%+2的图像上，则代数式6a-2b+\的值等于（）

A.5B.3C.-3D.-1

【答案】C

【分析】把尸力）代入函数解析式得匕=3。+2,化简得3。一力=一2,化简所求代数式即可得到结果；

【解析】把P（a,。）代入函数解析式y=3x+2得：b=3a+2,化简得到：3。一6=-2,

,6a—2Z?+l=2（3a—Z?）+l=2x（—2）+1=-3.故选：C.

【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子

是解题的关键.

3.(2020•湖南长沙•中考真题)某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A,B,C三个同

学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成下列三个步骤：

第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学：

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，

请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为.

【答案】9

【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案.

【解析】设每个同学的扑克牌的数量都是x；

第一步，A同学的扑克牌的数量是％—3,B同学的扑克牌的数量是x+3；

第二步，B同学的扑克牌的数量是x+3+3,C同学的扑克牌的数量是％—3；

第三步，A同学的扑克牌的数量是2(x—3),B同学的扑克牌的数量是x+3+3—(x—3)；

...B同学手中剩余的扑克牌的数量是：x+3+3-(x-3)=9.故答案为：9.

【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模

型.根据运算提示，找出相应的等量关系.

考向二整式及其相关概念

单项式与多项式统称整式.

观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，

相同字母的指数是否相同.

多项式的次数是指次数最高的项的次数.同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数

是否相同.

考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数

的次数是0.

典例引领

1.(2020•四川绵阳•中考真题)若多项式孙麻讨+(〃-2)炉f+】是关于X,y的三次多项式，则〃?〃=.

【答案】0或8

【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案.

【解析】解：..•多项式2»勺2+1是关于x,y的三次多项式，

:.n-2-Q,1+I"?-"1=3,，〃=2,|机-〃|=2,

，加一”=2或=2,r.7〃=4或，"=0,\，切=0或8.故答案为：0或8.

【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键.

变式拓展

1.（2019•山东淄博•中考真题）单项式一^^的次数是.

2

【答案】5.

【分析】根据单项式次数的意义即可得到答案.

【解析】单项式的次数是3+2=5.故答案为5.

2

【点睛】本题考查单项式次数的意义，解题的关键是熟练掌握单项式次数的意义.

2.（2019•湖南株洲•中考真题）下列各式中，与3》2寸是同类项的是（）

A.2X5B.3x3y2C.D.

【答案】C

【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可.

【解析】解：A.2f与3/寸不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2与3x^3不是同类项，故本选项错误；

C.—gx2y3与3/y3是同类项，故本选项正确；口.一；y5与3/、3不是同类项，故本选项错误：故选：c

【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义.

典例引领

1.（2020•湖北荆州•）若单项式2x"'y3与3砂，"+"是同类项，则而不7的值是.

【答案】2

【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得.

【解析】由同类项的定义得：｛.解得《c则"^二=42><1+2=4=2故答案为：2.

m+n=3[n=2

【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键.

变式拓展

1.（2020•江苏苏州•中考真题）若单项式2尤与单项式是同类项，则加+“=

【答案】4

【分析】根据同类项的定义:所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-l=2,n+l=2,

分别求出m.n的值，再代入求解即可.

【解析】解：；单项式2x"iy2与单项式g/yN是同类项，...m_]=2,n+l=2,

解得：m=3,n=l.；.m+n=3+l=4.故答案为：4.

【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.

2.（2020•广东中考真题）若3x“'y与-5/丈是同类项，则m+〃=.

【答案】3

【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定

义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值，根据合并同类项法则合并同类项即可.

【解析】解：由同类项的定义可知，m=2,n=l,，m+n=3故答案为3.

【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字

母是否相同，二看相同字母的指数是否相同.

考向三规律探索题

解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、

比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.

典例引领

26122030

1.（2020•云南昆明•中考真题）观察下列一组数：-一....它们是按一定规

392781243

律排列的，那么这一组数的第〃个数是.

【答案】（-1）"—岸~-

【分析】观察己知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数.

21x26_2x3123x4204x5

【解析】解：观察下列一组数：-§

丁,厂于，_27丁8134

亚=-当，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第〃个数是：（-1）

243353"

故答案为：（—1）“〃x,+D

【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关犍是根据数字的变化寻找规律.

变式拓展

1.（2020•云南中考真题）按一定规律排列的单项式：a,-2a,4a,-Sa,16a,-32a....第w个

单项式是（）

A.(—2)"lB.(-2)z，a2n-'aD.Ta

【答案】A

【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行

概括即可得到答案.

【解析】解：；a，-2a,4a，-8a,16a，-32a,

可记为：（一2）°a,（-2）ia,（-2）~a,（-2）3«,（-2）4«,（-2）5«,•••,

・•.第”项为：（—2）"T。.故选A.

【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键.

2.（2020•山东泰安•中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两

端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,

15,……，我们把第一个数记为力,第二个数记为a2,第三个数记为的，……，第〃个数记为an,则4+屈=

【答案】20110

等1，代入即可求值.

【分析】根据所给数据可得到关系式a.

【解析】由已知数据1,3,6,10,15,可得见=

200201

.\a4=-=10,^00==20100,.•.。4+•00=2。100+10=20110.故答案为20110.

22

【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键.

典例引领

1.（2020•四川达州•中考真题）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m,

下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）

A.12（H?-1）B.4m+8（m-2）C.12（w-2）+8D.12/77-16

【答案】A

（分析］先根据规律求出小球的总个数，再将选项逐项化简求值即可解题.

【解析】解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同，比如可以按照一共有12条楼,

去掉首尾衔接处的小球，则每条棱上剩下12（m-2）个小球，加上衔接处的8个小球，则小球的个数为

12（加—2）+8=12〃?—16,选项B中4〃?+8（m—2）=12加一16,故B,C,D均正确，故本题选A.

【点睛】本题考查了图形的规律，合并同类项，需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重不漏的表示出小球

的总数是解题关键.

变式拓展

1.（2020•重庆中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，

第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案

中黑色三角形的个数为（）

▲

▲▲▲…

▲▲▲▲▲▲

①②③

A.10B.15C.18D.21

【答案】B

【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第〃个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n,据

此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数.

【解析】解：•••第①个图案中黑色三角形的个数为1，

第②个图案中黑色三角形的个数3=1+2,

第③个图案中黑色三角形的个数6=1+2+3,……

第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15,故选：B.

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第〃个图案中黑色三角形

的个数为1+2+3+4+...+n.

2.（2020•山东济宁•中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图

所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”.其中第（D个图案中有1个正方

体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第（100）个图案所需正

方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）

【答案】D

【分析】根据图形规律可得第n个图形共有l+2+3+4+...+n=^——L个正方体，最下面有n个带“心”字正方

2

体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可.

【解析】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；

第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；

第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；

第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；…

第n个图形共有l+2+3+4+...+n=（+个正方体,最下面有n个带“心”字正方体；

2

则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=°+10°）10°=5050个正方体,最下面有100个带“心'’字正方体;

2

从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是‘一=—,

5050101

故选：D.

【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体

的个数以及带“心”字正方体个数.

考向四鬲的运算

塞的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算

的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理.

典例引领

1.（2020•吉林中考真题）下列运算正确的是（）

A.a1-o'—ctB.=a'C.（2a）2=2a，D.o'-i-a1=a

【答案】D

【分析】根据同底数基的乘除法、暴的乘方、积的乘方逐项判断即可.

232+35

【解析】A、a-a=a=a,此项错误；B、（"丫="><3=*,此项错误

C、（2a）2=4a2,此项错误；D、a3-i-a1-a3~2=a.此项正确；故选：D.

【点睛】本题考查了同底数基的乘除法、某的乘方、积的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键.

变式拓展

1.（2020•江苏镇江•中考真题）下列计算正确的是（）

A.a3+a3—a6B.（a3）2—a6C.iz6-?t72=a3D.（ah'）3—ab3

【答案】B

【分析】根据合并同类项、同底数耗的乘除法、幕的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可.

【解析】解：a3+a^2a3.因此选项A不正确；="般=*,因此选项正确;

。6+/=。6-2=。4,因此选项。不正确；(&勿3=//,因此选项。不正确；故选：B.

【点睛】本题考查合并同类项、同底数幕的乘除法、幕的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算方法

是解题的关键.

2.(2020•河南中考真题)电子文件的大小常用B,KB,MB,G8等作为单位，其中

\GB=2'°MB,\MB=210KB,某视频文件的大小约为1GB,1G8等于()

A.230fiB.8,0BC.8X10'°BD.2X1O3OB

【答案】A

【分析】根据题意及幕的运算法则即可求解.

【解析】依题意得IGBnZiOMBnZiOxZiOKBnZiOxZiOxZiOBuZSOB；故选A.

【点睛】此题主要考查靠的运算，解题的关键是熟知同底数基的运算法则.

考向五整式的运算

整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；

多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变

化，最后把所得式子化简，即合并同类项.

典例引领

L(2020•湖北荆门•中考真题)先化简，再求值：(2尤+y)2+(x+2y)2—x(x+y)-2Q+2y)(2«x+y),

其中犬=血+1,y=>/2—1.

【答案1y2—3xy；—2V2.

【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可.

【解析】解：原式=K2x+y)-(x+2y)f-x2-xy=(x-y)2-x2-xy=x2-2xy+y2-x2-xy=y2-3xy

'Ix=5/2+1,y=V2-1H'J»原式=—1)~—3(V^+])(V^—1)=3—2V2—3=—2>/2°

【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算

法则是解题的关键.

变式拓展

1.（2020•吉林长春•中考真题）先化简，再求值：（a—3『+2（3。—1）,其中a=

【答案】/+7,9

【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可.

【解析】解：原式=a?—6a+9+6a—2=a?+7,当a=时原式=（J^）2+7=9.

【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解.

2.（2020•黑龙江大庆•中考真题）先化简，再求值：（X+5）（X—1）+（X-2）2,其中X=6.

【答案】2x2-b5.

【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可.

【解析】原式=x2一%+5x一5+九2一4%+4=2/—1

将x=G代入得:原式=2x（百＞-l=2x3-l=5.

【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键.

典例引领

1.（2020•四川眉山•中考真题）已知〃+1/=2。—人―2,则3a—,〃的值为（）

42

A.4B.2C.-2D.-4

【答案】A

11/1

221

【分析】根据/+—廿=%一力一2,变形可得：a-2a+l+-b+b+l=（a-\}+\-b+l=0,因

44'，（2J

此可求出a=l,b=-2,把。和弋入3。一工人即可求解.

2

11/-I、2

【解析】:-=2a—/?-2.，./—2〃+1H—/?24-/?+l=（＜2—1）2+—/?+1=0

44'J（2J

即（。一1）2=0,（30+1）2=0.•.求得：a=l,h=-2

.•.把。和。代入3a—得：3*1—工、（—2）=4故选：A

22

【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解

题的关键.

变式拓展

1.（2018•云南昆明•中考真题）若m+—=3,则m2+—-=.

mm'

【答案】7

分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案.

【解析】把mH=3两边平方得：（m+—）2=：m2H-+2=9,则m?"!-=7.故答案为：7

mmmm

点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

2.（2020•内蒙古呼和浩特•中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决

问题的基本思维方式，例如：解方程％_&=（）,就可以利用该思维方式，设五=y,将原方程转化为：

y2-y=0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思

5x2/+2x+2y=133

维方式和换元法解决下面的问题.已知实数x,y满足孑X+）

【答案】6或26

【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和x+y,

因此可以令孙=a,x+y=6,列出方程组，从而求出a,b的值，再求出9+的值

【解析】解：令孙=a,x+y=〃，则原方程组可化为：

5a2+2b=133[54+2"=133①

\b，整理得：｛2<■>，

—+24=5116k+28=408②

41

②-①得：114=275，解得：4=25，代入②可得：44,

・••方程组的解为：《或〈，x2+y^=（x-^-yY-2xy=b2-2a,

当a=5时，X2+/=6,当a=-5时,%2+/=26,因此f+.的值为6或26.

【点睛】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为

二元一次方程组是解题关键.

典例引领

1.（2020•山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2d宽为2b（a>b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对

称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空

的部分的面积是

A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2

【答案】C

【解析】由题意可得，正方形的边长为a+b,故正方形的面积为（a+b）：

又•.•原矩形的面积为2a-2b=4ab,...中间空的部分的面积=（a+b）2—4ab=（a—bp。故选C。

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.

变式拓展

1.（2020•湖南郴州•中考真题）如图1，将边长为X的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）,

并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列

哪个等式（）

A.x2-2x+l=(x-l)2B.x2-1=(x+l)(x-l)C.Y+2%+1=(x+1)?D.x2-x=x(x-1)

【答案】B

【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.

【解析】第一个图形空白部分的面积是X2-1,第二个图形的面积是（X+1）（X-I）.

则x2-l=(x+1)(x-l).故选：B.

【点睛】本题考查了平方差公式的儿何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键.

2.（2020•宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾

股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1）,且大正方形的

面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为4如果将四个全等的直角

三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为一.

【答案】27

【分析】根据题意得出a2+b2=15,（b-a）2=3,图2中大正方形的面积为：（a+b）2,然后利用完全平方公式

的变形求出（a+b）2即可.

【解析】解:由题意可得在图1中:a2+b2=15,（b-a）2=3,图2中大正方形的面积为:（a+b）2,

（b-a）2=3a2-2ab+b?=3,15-2ab=32ab=12,

（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27,故答案为：27.

【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键.

考向六因式分解

因式分解的概念与方法步骤

①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算.符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形

式.

②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.

③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解

必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如

果没有两数乘积的2倍还不能分解.

一“提”（取公因式），二'‘用'’（公式）.要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全

平方公式.

典例引领

1.(2020•河北中考真题)对于①％-3移=x(l-3y),@(X+3)(X-1)=X2+2X-3,从左到右的变形，

表述正确的是()

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

【答案】C

【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；

【解析】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘枳，右边多项式，属于整式乘

法；故答案选C.

【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键.

变式拓展

1.(2020•湖南益阳•中考真题)下列因式分解正确的是()

A.a(a-b)-b(a-b)-(a-b)(a+b)B.a2-9b2=(a-3b)2

C.a2+4ah+4/?2-(a+2Z?)2D.a2-ah+a=a(a-h)

【答案】C

【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案.

【解析】A、a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a-b)=(a-bf,故此选项错误;

B、cr-9b2—(a+3b)(a—3b),故此选项错误；C、a2+4ab+4b2—(a+2b)2,故此选项正确；

D^a2-ab+a-a(a-b+l),故此选项错误.故选：C.

【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全

家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

22

2.(2019•黑龙江中考真题)分解因式：ab+ab-a-b=.

【答案】(小1)3+0)

【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可.

【解析】解：+-a-b=ab(a+6)-(a+6)=(。6-1)3+〃)故答案为：(«/>-1)(«+/?)

【点睛】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键.

典例引领

1.（2020•广东中考真题）己知无=5—y,xy=2,计算3x+3y-4盯的值为.

【答案】7

【分析】将代数式化简，然后直接将尤+y=5,孙=2代入即可.

【解析】由题意得x+y=5,冲=2,3x+3y—4町=3（x+y）-4孙=15-8=7,故答案为：7.

【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简3x+3y-4肛是解题关键.

变式拓展

1.（2020•河北中考真题）若（少—1）017）=8x10x12,贝麟=（）

k

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】利用平方差公式变形即可求解.

【解析】原等式（少一:（1「-1）=8x10x12变形得:

k

一1）（9+1）（11-1）（11+1）_8xl0xl0xl2J。故逃b

—8x10x128x10x128x10x12

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键.

2.（2019•湖南湘潭•中考真题）若a+/?=5,a-b=3,则Y一〃=

【答案】15

【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可.

【解析】解：•••。+8=5,。一8=3，；&2一/=（4+。）（〃-3=5*3=15故答案为15

【点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键.

、考点冲关走

1.（湖北荆州•中考真题）下列代数式中，整式为（）

1----X+1

A.x+1B.---C.J24-1D.----

x+1xx

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案.

【详解】A、x+1是整式，故此选项正确；B、」二是分式，故此选项错误；

X+1

____x+1

c、GTI是二次根式，故此选项错误；D、——是分式，故此选项错误，故选A.

x

【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键.

2.（2020•广西中考真题）因式分解区-4的结果是（）

A.（a+2）（a-2）B.（。-2）2C.（«+2）2D.a（a-2）

【答案】A

【分析】利用平方差公式进行分解即可.

【解析】解：原式=（。+2）（67-2）,故选：A.

【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键.

3.（山东济宁•中考真题）如果整式炉-2一5尤2+益是关于*的三次三项式，那么“等于

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】根据多项式次数的定义得到”-2=3,解得："=5.故选C.

4.（2020•广西河池•中考模拟）下列单项式中，与3a2/,为同类项的是（）

A.—a2bB.ab2C.3abD.3

【答案】A

【分析】单项式3a2b含有字母a、b,且次数分别为2、1,根据同类项的定义进行判断.

【解析】解：：3a2b含有字母a、b,且次数分别为2、1,...与3a2b是同类项的是-a2b.故选：A.

【点睛】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟知同类项的定义.

5.（2020•广西中考真题）下列计算正确的是（）

A.x*x—2xB.x+x—2xC.（x3）3=/D.（2x）2=2x2

【答案】B

【分析】分别根据同底数事的乘法法则，合并同类项法则，事的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一

判断即可.

【解析】解：A.故本选项不合题意；8.x+x=2x,故本选项符合题意;

C.（/）3=%9,故本选项不合题意；D.（2%）2=4/,故本选项不合题意.故选：B.

【点睛】此题考查整式的计算法则：同底数基的乘法法则，合并同类项法则，幕的乘方运算法则以及积的

乘方运算法则，掌握各计算公式是解题的关键.

6.（2020•山东德州•中考真题）下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样

的图案需要黑色棋子的个数为（）

A.148B.152C.174D.202

【答案】C

【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为（1+2+3）X2（个），第二个图案需要的个数为

［（l+2+3+4）x2+2xl］（个），第三个图案需要的个数为［（1+2+3+4+5）X2+2X2］（个），第四个图案需要的个数为

［（1+2+3+4+5+6）X2+2X3J（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为

｛［1+2+3+...+（n+2）］x2+2（n-l）｝（个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可.

【解析】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（1+2+3）X2（个）；

第二个图案需要的个数为Kl+2+3+4）x2+2xl］（个）；

第三个图案需要的个数为［（1+2+3+4+5）x2+2x2］（个）；

第四个图案需要的个数为［（1+2+3+4+5+6）X2+2X3］（个）；…

第n个图案需要的个数为｛［l+2+3+...+（〃+2）］x2+2（〃—l）｝（个）

.•.第10个图案需要的个数为［（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）x2+2x9=174（个）故选C.

【点睛】本题考查了图形的变化.解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律.

7.（2020•湖南娄底•中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）

A.135B.153C.170

【答案】C

【分析】由观察发现每个正方形内有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,可求解。，从而得到再利用a,瓦x之

间的关系求解x即可.

【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：2x2=42x3=6,2x4=8,

.,.2/?=18,:.h=9,由观察发现：＜7=8,

又每个正方形内有：2x4+1=9,3x6+2=20,4x8+3=35,

:ASh+a=x,.-.x=18x9+8=170.故选C.

【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键.

12

8.（2018•河北定兴•中考模拟）若x--=3,则一x—=（）

VI1

【答案】C

【分析】先由X-，=3两边同时平方变形为》2+」=11,进而变形为士1=11,从而得解.

XX厂

【解析】解：,**x-—=3,+9A"?—I———,/.x2H7-=11»

XXXx~

+11

・・=1=11,・・・_^_=_L,故选：c.

x2x4+l11

【点睛】此题要运用完全平方公式进行变形.根据a2+b2=（a+b）2-2ab把原式变为/+）=11,再通分，最后

再取倒数.易错点是忘记加上两数积的2倍.

9.（2020•西藏中考真题）下列分解因式正确的一项是（

A.x2-9=(x+3)(x-3)B.2xy+4x=2(xy+2x)

C.x2-2x-1=(x-1)2D.x2+y2=(x+y)2

【答案】A

【分析】各式分解得到结果，即可作出判断.

【解析】解：A、原式=(x+3)(x-3),符合题意；B、原式=2x(y+2),不符合题意；

C、原式不能分解，不符合题意；D、原式不能分解，不符合题意.故选：A.

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

10.(2020•山东日照•中考真题)用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个

图案中共有圆点的个数是()

n=2n=3n=4

A.59B.65C.70D.71

【答案】C

【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形

共有圆点5+2+3+4个;第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+(n+l)

个；由此代入n=10求得答案即可.

【解析】解：根据图中圆点排列，当n=l时，圆点个数5+2；当n=2时，圆点个数5+2+3；

当n=3时，圆点个数5+2+3+4；当n=4时，圆点个数5+2+3+4+5,…

.,.当n=10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=4+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)

=4+-xllx(ll+l)=70.故选：C.

2

【点睛】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决

问题.

11.(2019•湖南常德•中考真题)观察下列等式：7°=1,71=77=49?=343,74=2401,75=16807,…,

根据其中的规律可得7°+7]+7?+…+7239的结果的个位数字是()

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【分析】首先得出尾数变化规律,进而得出70+7]+7?+…+7239的结果的个位数字.

【解析】：7°=1,71=7,7?=49,73=343,74=2401,75=16807,•••,

个位数4个数一循环，.•.(2019+1)+4=505,...1+7+9+3=20,

.•.70+7i+72+...+7239的结果的个位数字是：0.故选A.

【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键.

12.(2019•福建石狮•中考模拟)若(a—c+0)2=21,(a+c+b)2=20\9,则/+〃+2皿的值是

A.1020B.1998C.2019D.2040

【答案】A

【分析】根据完全平方公式即可求出答案.

【解析】：(a-c+4=21,(4+。+32=2019，

/.++c2—2c(tz+Z?)-21,(a+Z?y+/+2c(a+Z?)=2019，

两式相加得：2(a+b)-+2/=2040,，4+〃+。2+26?=1020.故选A.

【点睛】本题考查了完全平方公式，解题