广东省茂名市信宜市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（ 含答案解析 ）

2021-2022学年第一学期期末质量监测高一数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答亲标号涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用集合的交、补运算求集合即可.【详解】由题设，又，所以.故选：C2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题【详解】命题“”的否定是“”.故选：B3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，或，当时，，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据同角三角函数的基本关系求出，；【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以故选：A5.下列各组函数中表示同一个函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项B：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项C：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；故选：D.【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.6.我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周四步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形田，弧长4步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（）A.8平方步 B.6平方步 C.4平方步 D.16平方步【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算作答.【详解】依题意，扇形的田的弧长4步，其所在圆的半径是2步，所以这块田的面积是（平方步）.故选：C7.设，，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质比较大小作答.【详解】函数在上单调递增，而，因此，而，所以.故选：B8.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A，C，根据当时，即可排除B．得出答案.【详解】因为，所以，所以为奇函数，故排除A，C．当时，，，则，故排除B，故选:D．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.设，，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由不等式的性质，的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.详解】A：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即，正确；B：因为在定义域内为增函数，由题意知，故有，正确；C：当时，，故错误；D：当时，，故错误；故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.若幂函数过点，则B.函数表示幂函数C.若表示递增的幂函数，则D.幂函数的图像都过点，【答案】AC【解析】【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；对于B，函数不是幂函数，B错误；对于C，是幂函数，则，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意，当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；对于D，幂函数不过点，D错误.故选：AC11.关于函数，下列选项错误的有（）A.函数最小正周期为 B.表达式可写成C.函数在上单调递增 D.的图像关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】根据正弦函数的周期性即可判断A；根据诱导公式即可判断B；根据正弦函数的单调性即可判断C；根据正弦函数的对称性即可判断D.【详解】对于A，函数最小正周期为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，得，所以函数在上不是单调函数，故C错误；对于D，因为，所以的图像关于直线对称，故D正确.故选：BC.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.是偶函数 B.是奇函数C.在上是增函数 D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，.∵，，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，∴是奇函数，B正确；在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；，，，，，D错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.第二部分非选择题（共90分）三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则________．【答案】##【解析】【分析】判断并计算，再判断计算作答.【详解】函数，则，所以.故答案为：14.若角的终边经过点，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，解得（舍去），所以.故答案为：.15.已知，则________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算作答.【详解】由于，所以.故答案为：16.写出一个最小正周期为2的偶函数______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由余弦型函数的性质以及周期公式即可求解.【详解】由余弦型函数的周期公式可知，故符合条件的函数可以为：.故答案为：四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算以下式子的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）根据指数的运算性质计算即可.【小问1详解】；【小问2详解】.18.已知关于的不等式，．（1）若，则求上述不等式的解集；（2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；（2）由不等式在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的范围．【详解】（1）将代入不等式，得：，即，得，∴不等式的解集为；（2）恒成立，1）当时，有，显然不恒成立，舍去；2）当时，由二次函数的性质得：，解得；∴综上，有.19.已知函数.（1）求的单调增区间；（2）当，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦函数的单调性求解即可；（2）根据余弦函数的性质结合整体思想求解即可.【小问1详解】令，得，所以函数的单调增区间为；【小问2详解】当时，，则，所以的值域为．20.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）讨论关于x的方程的根的个数．【答案】（1）；（2）具体见解析．【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义求出时的函数解析式即可.（2）对参数分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.【详解】解：（1）由图可知，解得．设，则，∵函数是定义在上的偶函数，∴，∴．∴．（2）作出函数的图象如图所示：．由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；当或时，关于x的方程的根的个数为2；当时，关于x的方程的根的个数为4；当时，关于x的方程的根的个数为3．【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.21.在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为．（1）若，求点的坐标；（2）若，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角函数定义，根据题中条件，用表示出，，，，由同角三角函数基本关系，即可求出点的坐标；（2）根据同角三角函数基本关系，求出，，得到，，即可求出正切.【小问1详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以，．因为角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，所以，因为角的终边与单位圆的交点为O，，，且，所以，所以点的坐标为【小问2详解】因为，，，所以，，即，