第二章 有理数及其运算单元培优训练（解析版）

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）第二章有理数及其运算单元培优训练班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：第2章有理数及其运算，共23题；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2020·山东临沂·中考真题）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】数轴上向左平移2个单位，相当于原数减2，据此解答.【详解】解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数为：-2=，故选A.【点睛】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．2．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（

）A． B．或 C． D．【答案】C【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，．的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，．取得最小值时，的取值范围是；故选C．【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．3．（2022·河南·九年级专题练习）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿．【详解】解：100亿，，故选：C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴上两点的位置，判断的正负性，进而即可求解．【详解】解：∵数轴上两点表示的数分别是，∴a＜0，b＞0，∴，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握求绝对值的法则是解题的关键．5．（2020·福建·三明市第八中学七年级阶段练习）在2，－4，－3，5中，任选两个数的积最小的是（）A．－12 B．－15 C．－20 D．－6【答案】C【分析】由于负数比正数小，则计算-4×5=-20，-3×5=-15，-4×2=-8，-3×2=-6，而|-20|=20，|-15|=15，|-8|=8，|-6|=6，于是得到-20＜-15＜-8＜-6．【详解】∵−4×5=−20，−3×5=−15，−4×2=−8，−3×2=−6，而|−20|=20，|−15|=15，|−8|=8，|−6|=6，∴−20<−15<−8<−6，故选C.【点睛】此题考查有理数大小比较，有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则.6．（2023·河北·九年级专题练习）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；【详解】解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），∵AB=1.8cm，∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；故选：C【点睛】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2019·辽宁·阜新实验中学七年级期中）求的相反数与的倒数的和是_________【答案】2019【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”和“乘积是1的两个数互为倒数”解答即可．【详解】的相反数是2017，的倒数是2，故的相反数与的倒数的和是2019.故答案为：2019【点睛】本题考查的是相反数及倒数，掌握相反数及倒数的定义是关键．8．（2020·新疆·乌鲁木齐市第70中七年级阶段练习）已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若=1，则a=__________．【答案】1或3【分析】根据已经得到：a+b=2

b+c=0

且c=1,便可求出a．【详解】解：根据已知有：b+c=0

且c=1,当c=1时，b=-1，则a=3当c=-1时，b=1，则a=1综上a=1或者3【点睛】本题考查绝对值的定义，应当分类讨论求值．9．（2020·山东济南·七年级期中）对于任意有理数a、b，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+（a﹣b），例如3⊕2＝3×2+（3﹣2）＝7，则（﹣5）⊕4＝_____．【答案】﹣29【分析】根据a⊕b＝ab+（a﹣b），可以求得题目中所求式子的值，本题得以解决．【详解】解：∵a⊕b＝ab+（a﹣b），∴（﹣5）⊕4＝（﹣5）×4+[（﹣5）﹣4]＝（﹣20）+（﹣9）＝﹣29．故答案为：﹣29．【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握新定义的运算方法是解题的关键．10．（2022·全国·七年级专题练习）若a＜0，且=4，则a+1=________.【答案】-3【分析】由题意易得，根据a＜0可得，然后代入求值即可．【详解】解：∵|a|=4，∴，又∵a＜0，∴，∴．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义及有理数的加法法则是解题的关键．11．（2022·全国·七年级课时练习）计算＝_____．【答案】1【详解】解：原式＝＝1．故答案为：1【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．12．（2021·河南省实验中学七年级阶段练习）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为___________．【答案】3【分析】根据相反数的定义可得|a﹣1|+|b﹣2|=0，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果．【详解】|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，|a﹣1|+|b﹣2|=0，，解得，，故答案为：3．【点睛】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·山东烟台·期末）周末，小亮一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向南走了2千米到超市买东西，然后继续向南走了5千米到爷爷家．下午从爷爷家出发向北走了16千米到达外公家，傍晚返回自己家中．(1)若以小亮家为原点，向南为正方向，用1个单位长度表示2千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外公家的位置在数轴上分别用A，B，C表示出来；(2)外公家与超市间的距离为多少千米？(3)若轿车每千米耗油0.1升，求小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量．【答案】(1)见解析(2)11千米(3)3.2升【分析】（1）根据题意，在数轴上表示出A、B、C的位置即可；（2）点A表示的数减去点C表示的数就得AC表示的单位长度，然后再乘以2即可；（3）根据“总耗油量＝路程×小轿车每千米耗油量”计算即可．(1)解：点A、B、C如图所示：(2)解：1-（-4.5）=5.5，5.5×2=11（千米）．答：外公家与超市间的距离为11千米．(3)解：小亮一家走的路程为1+2.5+|-8|+4.5=16，16×2=32（千米），共耗油：0.1×32=3.2（升）．答：小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量为3.2升．【点睛】本题主要考查了正数和负数的应用、数轴及其应用，理解数轴和正负数的意义是解答本题的关键．14．（2020·全国·单元测试）在数轴上分别画出，，，并将，，所表示的数用“”连接，点表示数，点表示，点表示．【答案】见解析，【分析】将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数为分数．据此意义在数轴上表示出各分数，在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“＜”连接起来即可．．【详解】解：将数轴中的每一格当作单位“1”，根据分数意义A、B、C分别为：故将A、B、C所表示的数用“＜”连接为：【点睛】本题考查数轴的认识及分数的大小比较，熟知数轴的特点是解题关键．15．（2022·全国·七年级专题练习）计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）把除法转化为乘法，利用乘法分配律简便运算；（2）先算括号内，再算乘除，最后计算加法（1）；（2）原式．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算．16．（2020·安徽·合肥38中七年级阶段练习）计算（1）；（2）[÷(－)×]4－3×(－3)3－(－5)2．【答案】（1）2；（2）137【分析】（1）先计算乘方，去绝对值把除法变为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可；（2）先把除法变为乘法，再算乘方，最后计算除法，即可求解．【详解】解：（1）原式=-1+（-2）×3+9=2；（2）原式=[]4－3×(－3)3－(－5)2=81+81-25=137.【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．17．（2021·黑龙江·肇源县第二中学七年级期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下单位：千米：(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？(2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？(3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？【答案】(1)东方，20千米(2)9升(3)25千米【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，∴B地在A地的东边20千米；（2）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12|+|-5|=74千米，应耗油74×0.5=37（升），故还需补充的油量为：37-28=9（升）．（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14-9=5千米；14-9+8=13千米；14-9+8-7=6千米；14-9+8-7+13=19千米；14-9+8-7+13-6=13千米；14-9+8-7+13-6+12=25千米；14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．∴最远处离出发点25千米；【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·全国·七年级专题练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是．(2)数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为．若|x+3|＝4，则x＝．(3)若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝．(4)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为，则满足条件的所有整数x的和为．(5)若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为．【答案】(1)4，5(2)|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7(3)5(4)﹣1或0或1或2或3；5(5)3，6【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；（2）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；（3）根据绝对值几何意义即可得出结论．（4）分情况讨论计算即可得出结论；（5）表示数轴上某点到表示、3、4三点的距离之和，依此即可求解．（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．故答案为：4，5；（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示和的两点之间的距离表示为；若|x+3|＝4，则x+3＝4或﹣4，∴x＝1或﹣7，故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；（3）根据绝对值的定义有：可表示为点到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知：当在与1之间时，的最小值为5．故答案为：5；（4）当时，，解得：，此时不符合，舍去；当时，，此时或，，，；当时，，解得：，此时不符合，舍去．此时满足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；（5）式子可看作是数轴上表示的点到、3、4三点的距离之和，当为3时，有最小值，的最小值．故答案为：3，6．【点睛】此题考查了绝对值，两点间的距离公式，明确的几何意义是解题的关键．19．（2020·辽宁大连·七年级期中）计算：．【答案】3【分析】根据有理数混合运算的顺序计算即可．【详解】解：===-1+4=3．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．20．（2020·重庆市育才中学七年级期中）小王早上驾驶出租车从公司出发，一直沿着东西方向的大街行驶，直到中午12时，如果规定向东为正，向西为负，那么当天的行驶记录如下(单位：千米)+12，-8，+9，-15，+8，-10，-7，+14，-17(1)到中午12时，出租车到达的地方在公司的哪个方向？距公司多远？(2)若出租车每千米耗油0.08L，则从公司出发到中午12时，出租车共耗油多少升？若每升汽油6.8元，则小王今天一共花了多少汽油费？【答案】（1）出租车到达的地方在公司西方，距公司14千米；（2）从公司出发到中午12时，出租车共耗油8升，小王今天一共花了54.4元汽油费．【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定出租车到达的地方在公司何方，相距多少千米；（2）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.08即可得到共耗油多少升，再用耗油的升数乘以6.8即可得到小王今天一共花了多少汽油费．【详解】解：（1）+12-8+9-15+8-10-7+14-17=-14（千米）故，出租车到达的地方在公司西方，距公司14千米；（2）|+12|+|-8|+|9|+|-15|+|8|+|-10|+|-7|+|14|+|-17|=12+8+9+15+8+10+7+14+17=100(千米)100×0.08=8(L)8×6.8=54.4(元)．答：从公司出发到中午12时，出租车共耗油8升，小王今天一共花了54.4元汽油费．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算、正数和负数的意义及绝对值，关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义即可解决问题．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2021·广东·佛山市南海区狮山镇狮城中学七年级阶段练习）一只乌龟沿南北方向的河岸来回爬行，假定向北爬行的路程记为正数，向南爬行的路程记为负数，它爬行的过程记录如下（单位m）：－8，7，－3，9，－6，-4，10（1）乌龟最后距离出发点多远，在出发点的南边还是北边；

（2）求乌龟在整个过程中一共爬行了多远的距离．【答案】（1）距离出发点5米，在出发点的北边；（2）47米【分析】（1）把记录到的所有数字相加，即可求解；（2）把记录到的所有的数字的绝对值相加，即可求解．【详解】解：（1）-8+7-3+9-6-4+10=5，∴乌龟最后距离出发点5米，在出发点的北边；（2）8+7+3+9+6+4+10=47（米），∴乌龟在整个过程中一共爬行了47米．【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，掌握有理数的加减运算是解答此题的关键．22．（2019·全国·七年级课时练习）阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019的值．解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019，将等式两边同时乘以2，得2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22019＋22020，将下式减去上式得2S－S＝22020－1，请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；(2)1＋3＋32＋33＋34……＋3n(其中n为正整数)．【答案】（1）211－1；（2）(3n＋1－1)【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可；（2）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可．【详解】(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，将下式减去上式得2S－S＝211－1，即S＝211－1，则1＋2＋22＋23＋24＋……＋210＝211－1(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，两边同乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，②－①得：3S－S＝3n＋1－1，即S＝(3n＋1－1)，则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝(3n＋1－1)【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．六、（本大题共12分）23．（2022·全国·七年级单元测试）2021年国庆档电影《长津湖》以抗美援朝为背景，讲述了中国人民志愿军在极端严酷惨烈的