第4章 一元一次方程（提优卷）教师版

2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节真题汇编检测卷（提优）第4章一元一次方程考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：较难评卷人得分一、选择题（每题2分，共20分）1．（本题2分）（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）某商店有甲、乙两个进价不同的计算器，甲卖了120元，乙卖了100元，其中甲盈利，乙亏损，在这次买卖中，这家商店（）A．不赔不赚 B．赔了5元 C．赚了5元 D．赔了10元【答案】B【分析】设甲的进价为元，由题意得，，解得，，则甲的盈利为元，设乙的进价为元，由题意得，，解得，，则乙亏损了元，由，可知这家商店赔了5元，然后作答即可．【详解】解：设甲的进价为元，由题意得，，解得，，∴甲的盈利为元，设乙的进价为元，由题意得，，解得，，∴乙亏损了元，∴，∴这家商店赔了5元，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，负数的意义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．（本题2分）（2022秋·江苏苏州·七年级苏州市第一初级中学校校考期末）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2023个小正方形，则需要操作的次数是（）A．673 B．674 C．675 D．676【答案】B【分析】根据前几次操作的结果得出规律：第n次操作得到了个小正方形，进而可得方程，解方程即可求出答案.【详解】解：第一次操作得到了4个小正方形，，第二次操作得到了7个小正方形，，第三次操作得到了10个小正方形，，……，所以，第n次操作得到了个小正方形；当时，解得：，故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究和简单的一元一次方程的应用，得出规律是解题的关键.3．（本题2分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）甲单独做某项工程需天完成，乙单独做该项工程需天完成，现在甲先做天，剩下由甲乙合做．设完成此工程一共用了天，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据“甲先做天，乙再参加合做”找到等量关系列出方程即可．【详解】由题意可得：，故选：．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据工作量之间的关系列出方程．4．（本题2分）（2023·江苏扬州·统考一模）学校组织九年级两个班的学生开展“游学”活动，生活委员李想要去面包店给每位同学买一个面包，购买时发现：该面包店的面包8元/个，购买总额达到一定金额时，可以打9.5折，李想经过计算发现只要再多买1个面包就可以打9.5折，价钱会比少买一个还便宜20元．你觉得聪明的李想实际购买的面包个数为（

）A．70 B．69 C．60 D．59【答案】A【分析】设李想实际购买的面包个数为x个,则打算购买少买一个为个，然后根据“李想经过计算发现只要再多买1个面包就可以打9.5折，价钱会比少买一个还便宜20元”列一元一次方程求解即可．【详解】解：设李想实际购买的面包个数为x个,则打算购买少买一个为个则：，解得：．故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．5．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（

）商品单价（元/支）购买数量/支购买金额/元铅笔中性笔总计1334A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据题意和表中数据填写表格，再根据购买中性笔的单价、购买数量及金额，即可列出方程．【详解】解：填表如下：商品单价（元/支）购买数量/支购买金额/元铅笔中性笔总计根据题意得：，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准数量关系，正确列出方程是解决本题的关键．6．（本题2分）（2023春·江苏·七年级专题练习）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（）人．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】A【分析】设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，根据“如果9个人淘水，4小时淘完；如果6个人淘水，10小时才能淘完”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可用含z的代数式表示出x，y值，再将其代入中即可求出结论．【详解】解：设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，依题意，得：．解得，∴．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（本题2分）（2023春·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边和上，，，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为（

）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】连接，设，则，然后再根据三角形的等分线的性质表示出、、、，进而表示出、、，再根据列出关于x的方程并求解，最后将x的值代入计算即可．【详解】解：如图：连接，设，则，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴∵，∴，解得：，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的等分线、一元一次方程的应用等知识点，根据等分线的知识明确各角间的关系是解答本题的关键．8．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（

）A．秒或秒B．秒或秒或秒或秒C．3秒或7秒或秒或秒D．秒或秒或秒或秒【答案】D【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．【详解】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，∵PB＝2，∴|2t−5|＝2，∴2t−5＝−2，或2t−5＝2，解得t＝或t＝；②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，∵PB＝2，∴|20−2t−5|＝2，∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2，解得t＝或t＝．综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．9．（本题2分）（2021秋·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（

）A．AD B．DC C．BC D．AB【答案】C【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答．【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；……四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上．故选择C．【点睛】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．10．（本题2分）（2019·江苏无锡·校联考模拟预测）自行车前后轮胎的使用寿命不同，某种品牌的同样的新轮胎，前轮胎使用寿命为12000千米，后轮胎使用寿命为8000千米．为了使同时购买的前后轮胎同时报废，且使用时间尽可能的长，一般应在行驶a千米时前后轮胎互换，请问a的值为（

）A．6000 B．5600 C．5200 D．4800【答案】D【分析】由前轮剩余寿命为，换成后轮后，每跑一千米需损耗寿命，则前轮剩余寿命除以为还能跑的千米数，对后轮同样的分析，根据换轮后还能跑的千米数相等进行列式求解．【详解】由题意知，，解得，，故选D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，把一只轮胎的寿命看做1是解题的关键．评卷人得分二、填空题（每题2分，共20分）11．（本题2分）（2022秋·江苏镇江·七年级统考期末）如图，正方形的边长为3，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，则该三角形的面积为．【答案】6【分析】设三角形的面积为，根据题意即可列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设三角形的面积为，根据题意得：，解得，故答案为：6．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．12．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·七年级南师附中宿迁分校校考阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以1cm/s的速度沿运动，最终到达点，在点运动了4秒后点开始以2cm/s的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为秒，当的面积为时，的值为．【答案】或【分析】分两种情况，①点在上时，点在处；②点在上时；由三角形面积分别求出t的值即可．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，分两种情况：①点在上时，点在处，如图1所示：∵的面积为，∴，即，解得：；②点在上时，如图2所示：∵的面积为，∴，即，解得：，∴，∴，解得：；综上所述，当的面积为时，的值为或；故答案为：或．【点睛】本题考查了用一元一次方程解决问题；根据题意正确的列出方程是解题的关键．13．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？设应用钢材做A部件，则可列一元一次方程为．（方程不需要化简）【答案】【分析】设应用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，根据两个A部件和三个B部件刚好配成套，列方程即可．【详解】解：设应用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．14．（本题2分）（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为．【答案】【分析】先求出的解，将其代入，求出的值，再将的值代入代数式求值即可．【详解】解：∵，整理得：，∴，将代入，得：，解得：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次方程，代数式求值．熟练掌握解一元一次方程的步骤，准确的求出方程的解，是解题的关键．15．（本题2分）（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）数轴上有两点B和C所对应的数分别为和30，动点P和Q同时从原点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．当P，Q之间的距离为3时，则运动时间为．【答案】秒或3秒或秒或5秒【分析】分，和三种情况，进行讨论求解即可．【详解】解：∵B和C所对应的数分别为和30，∴，∴点P到达C点的时间为：秒；点Q到达C点的时间为：秒，①当时，点表示的数为，点表示的数为，依题意得：，即或，解得：或；②当时，点表示的数为，点表示的数，依题意，得：，即或，解得：或﹔③当时，点表示的数为30，点表示的数为，依题意得：，解得：（不合题意，舍去）．综上：当为秒或3秒或秒或5秒时，，之间的距离为3．故答案为：秒或3秒或秒或5秒．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，找准等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．16．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·七年级统考开学考试）如图，在数轴上，、两点同时从原点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度向右运动，运动的时间为，若线段上（含线段端点）恰好有个整数点，则时间的最小值是．【答案】【分析】根据题意，分别表示出两点，秒后对应的数，进而求得的长度，结合题意即可求解．【详解】解：依题意，秒后对应的数分别为，∴，∵线段上（含线段端点）恰好有个整数点，∴，解得：故答案为：．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意表示出的长是解题的关键．17．（本题2分）（2022秋·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校联考期末）若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是．【答案】【分析】将转化，即可得到，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵关于的一元一次方程的解是，∴一元一次方程的解为：，解得：；故答案为：．【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及解一元一次方程．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．18．（本题2分）（2021秋·江苏苏州·七年级校考期末）如图，在直角三角形中，，，，，是的中点，点从点出发，以每秒的速度沿的路径匀速运动，当到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，当时，三角形的面积为．【答案】2.5秒或9秒或16秒【分析】当点在中点，中点，中点时，三角形的面积为，分别计算时间即可．【详解】解：，，，是的中点，，当点在中点，中点，中点时，三角形的面积为，，秒或9秒或16秒时，三角形的面积为，故答案为：2.5秒或9秒或16秒．【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，能够熟练的通过面积计算底和高是解题关键．19．（本题2分）（2023秋·江苏·七年级专题练习）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为升．【答案】12【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论．【详解】解：根据题意得：2斗升，设可以换得的粝米为x升，则，解得：，故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升．故选：12．【点睛】本题考查了比例的应用，本题首先要弄清题意，正确列比例式是解决本题的关键．20．（本题2分）（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）将长为，宽为的长方形纸片（）如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若第次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则的值为．【答案】或【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为，另一边长为；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为、；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长为正方形，则可列方程．【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的长宽分别为、，由，得，第2次操作，剪下的正方形边长为，所以剩下的长方形的两边分别为、，①当，即时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、，则，解得；②，即时则第3次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、，则，解得．综上，的值为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用及分类讨论思想是解题的关键．评卷人得分三、解答题（共60分）21．（本题6分）（2022秋·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）计算、解方程：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)0(2)(3)(4)【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；（2）根据有理数的混合计算法则求解即可；（3）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；（4）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程．【详解】（1）解：；（2）解：原式；（3）解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；（4）解：去分母得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：．【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的四则混合计算，解一元一次方程，熟知相关计算方法是解题的关键．22．（本题6分）（2023秋·江苏·七年级专题练习）活动三：观察月历(1)月历中右上角方框中的四个数之间有什么关系？任意一个这样的方框都存在这样的规律吗？(2)月历中中间方框中的个数之间有什么关系？(3)小明一家外出旅游天，这天的日期之和是．你能说出小明几号回家？【答案】(1)方框内四个数对角相加相等，任意一个这样的方框都存在这样的规律．(2)月历中中间方框中的个数的和等于最中间数的倍，两对角线上的数的和相等，都等于最中间数的倍；(3)6．【分析】（1）先求出方框内四个数分别为多少，然后从中找出规律；（2）分别表示出这个数，找出这个数的和以及对角线上数的和与最中间数的关系即可；（3）先设小明一家号出发，从而表示这天的日期和与相等，从而求出．【详解】（1）解：从月历中可以得到如下规律∶；∴方框内四个数对角相加相等．任意一个这样的方框都存在这样的规律．理由如下：设左上角的数为，则右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为，∴，∴任意一个这样的方框内四个数对角相加相等．（2）解：设最中间的一个数为，则这九个数可表示为∶，，，，，，，，，∴，∴月历中中间方框中的个数的和等于最中间数的倍；∵两对角线上的数相加：，∴月历中中间方框中两对角线上的数的和相等，都等于最中间数的倍；（3）解：设小明一家号回家，则前四天依次为，，，，可得，所以，所以小明号回家．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数字规律，解答本题的关键是得出数字排列规律，此类题目经常考到，同学们注意掌握这类题目的解题思想．23．（本题8分）（2020秋·江苏南京·七年级统考期末）小莉和她爸爸两人沿长江边扬子江步道匀速跑步，他们从渡江胜利纪念馆同时出发，终点是绿博园．已知小莉比她爸爸每步少跑，两人的运动手环记录时间和步数如下：出发途中结束出发途中结束时间7：007：10a时间7：007：107：25小莉的步数130831828808爸爸的步数21684168b(1)表格中表示的结束时间为___________，___________．(2)小莉和她爸爸两人每步分别跑多少米？(3)渡江胜利纪念馆到绿博园的路程是多少米？【答案】(1)(2)米，米(3)6000米【分析】（1）分别根据小莉和爸爸的出发到途中的时间和步数变化，求出每人速度，再根据途中和结束的时间内步数变化求出时间，最后确定两人结束的时间和步数；（2）由总路程等于步数乘以每步的长度，根据两人路程相等列方程求解；（3）根据爸爸的步数乘以每步的长度计算总路程即可．【详解】（1）解：根据题意得：小莉的速度为步/分，∴途中到结束所用时间为分，∴；∵爸爸的速度为步/分，∴途中到结束所走的步数为步，∴步．（2）解：设小莉的每步跑，则爸爸每分钟跑米，根据题意得：，解得：，∴．答：小莉和她爸爸两人每步分别跑0.8米，1.2米．（3）解：米．答：渡江胜利纪念馆到绿博园的路程是6000米．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、路程问题等知识点，分析出表格信息得出速度、时间、步数及路程的关系是解答本题的关键．24．（本题8分）（2023·江苏·七年级假期作业）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”；如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如：，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”．(1)下列数对中，“和积等数对”的是；“差积等数对”的是．（填序号）①②③(2)若数对是“差积等数对”，求x的值．(3)是否存在非零的有理数m，n，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．（提示：例如）【答案】(1)②，①(2)(3)存在，，【分析】（1）根据“和积等数对”和“差积等数对”的定义，逐项判断即可求解；（2）根据“差积等数对”的定义，可得，再解出即可求解；（3）根据“和积等数对”和“差积等数对”的定义，可得，，从而得到，可求出，进而得到，然后联立求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴不是“和积等数对”，是“差积等数对”；∵，∴，∴是“和积等数对”，不是“差积等数对”；∵，∴，∴不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”．故答案为：②，①．（2）解：由题意得：．∴，∴，∴．（3）解：存在，理由如下：假设存在，由题意得，，∴，即，∴，∵，∴，解得：∴，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、有理数的四则运算等知识点，理解“和积等数对”和“差积等数对”的定义是解题的关键．25．（本题8分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）某超市第一次用3000元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品100件，乙种商品150件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵10元．甲种商品售价为15元/件，乙种商品售价为35元/件．（注：利润=售价-进价）(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品每件6元，乙种商品每件16元(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得3750元的利润【分析】（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件元，根据总进价为5000元列出方程并求解即可；（2）根据利润等于商品件数乘以每件的利润、总利润等于甲种商品的利润加上乙种商品的利润，列式计算即可．【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元，由题意得．解得，则．答：该超市第一次购进甲种商品每件6元，乙种商品每件16元；（2）解：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润为：（元）．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得3750元的利润【点睛】本题考查了一元一次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．26．（本题8分）（2023·江苏镇江·校联考一模）某运动服装品牌旗舰店在三月分批购进A款卫衣和B款训练裤共计80件．A款卫衣的进价是每件200元，售价是每件320元；B款训练裤的进价是每条150元，售价是每条260元．店长在四月初盘账时发现，A款卫衣和B款训练裤深受青少年欢迎，三月所进的货销售一空，且一共获利9370元，请问该旗舰店在三月共购进多少件A款卫衣？【答案】该旗舰店在三月共购进57件A款卫衣【分析】设该旗舰店在三月共购进x件A款卫衣，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设该旗舰店在三月共购进x件A款卫衣，由题意得：，解得：；答：该旗舰店在三月共购进57件A款卫衣．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．27．（本题8分）（2022秋·江苏镇江·七年级统考期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且

(1)填空，_______________，_______________；(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表