12.2 三角形全等的判定（原卷版）

12.2三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。一、判定方法一：边边边（SSS）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS“)。2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。③得出结论：两个三角形全等。如下图，在△ABC和△A'∵∴△ABC≅△书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。如上图，等号左边表示△ABC的量，等号右边表示△A'3.作一个角等于已知角已知：∠AOB。求作：∠A'O作法：如上图所示，①以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D。②画一条射线(O'A',以点O'为圆心、OC长为半径画弧，交③以点C'为圆心、CD长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点④过点。D'画射线O'B题型一利用SSS直接证明三角形全等如图，已知，要用“”判定，则只需添加一个适当的条件是_____．1．如图，已知，要使得，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．2．如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是__________．题型二全等三角形的性质与SSS综合如图，点E、点F在上，且，，，求证：．1．已知：如图，中，，为的中点．求证：平分．2．已知如图，四边形中，，，求证：．题型三作一个角等于已知角如图：(1)在的内部利用尺规作（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线的位置关系1．如图，已知和线段a，求作，使，2．已知．求作．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）二、判定方法二：边角边（SAS）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS“)。2.书写格式如下图，在△ABC和。△A'∵∴△ABC≅△【理解和拓展】有两条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，如下图，在△ABC和△ABD中，AB=AB，∠ABC=∠ABD，AC=AD，但△ABC和△ABD不全等。所以，“SSA“不能证明三角形全等。题型四利用SAS直接证明三角形全等如图，已知，点在上，点在上，和相交于点，且，则图中全等三角形共有（

）A．对 B．对 C．对 D．对1．在和中，，，再补充下列哪个条件可以根据“”判断和全等（）A． B． C． D．2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，能用“”判定的是（

）A． B． C． D．题型五全等三角形的性质与SAS综合如图，，，．求证(1)；(2)．1．如图，点B，D，C，F在一条直线上，，，，求证：．2．如图，和均为等腰三角形，，，，点D在线段上（与A，B不重合），连接．(1)证明：．(2)若，，求的长．三、判定方法三：角边角（ASA）和角角边（AAS）1.角边角①内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角“或“ASA“)。②书写格式：如下图，在△ABC和△A'∵∴△ABC≅△2.角角边①内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边“或“AAS“)。②书写格式：如下图，在△ABC和△A'∵∴△ABC≅△3.“角边角“与“角角边“的关系由三角形内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等，则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一定全等。无论这一边是“对边“还是“夹边“，只要对应相等即可判定两个三角形全等。【理解与拓展】①在运用“ASA“时，要从图形上确定是按“角→边→角“的顺序排列条件。②在运用“AAS“时，要从图形上确定是按“角→角→边“的顺序排列条件。③有3个角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“AAA“作为三角形全等的判定条件。如下图，在△ABC和。△A'B'C'中，∠A=∠A'题型六用ASA或AAS证明三角形全等如图，，点，点在上，，求证：．1．如图，在和中，，点在边上，，求证：．2．如图，在中，点是的中点，交于点，交于点．求证：．题型七全等三角形的性质与ASA（AAS）的综合在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．(1)若在外（如图1），求证：；(2)若与线段相交（如图2），且，，则．1．如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，的长是偶数，则长为__________．2．如图，在中，，于点，点是上一点，且，延长交于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的值（用含的式子表示）．四、直角三角形全等的判定方法1.内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边“或“HL“)。2.书写格式如下图，在Rt△ABC和Rt△A'∵∴Rt△ABC≅Rt△3.“HL“适用的前提条件①“HL“只适合直角三角形全等的判定，不适合一般三角形全等的判定。②直角三角形全等的判定既可以用“SSS“、“SAS“、“ASA“和“AAS“，又可以用“HL“。题型八用HL证全等如图，已知于点E，于点F，，．求证：(1)；(2)．1．如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．2．如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．(1)求证：△ABH≌△DEG；(2)求证：CE＝FB．题型九全等的性质与HL综合如图，四边形中，，平分，，．(1)根据给出的条件，找出图中一对全等三角形并证明；(2)探求和的大小关系，并加以证明．1．如图，在四边形中，，，，，垂足分别为，.(1)求证：；(2)若与交于点，求证：．2．如图（1），，，点C是上一点，且，．(1)试判断与的位置关系，并说明理由．(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．一、单选题1．如图，在中，是的边上的中线，那么可以证明，这里证明全等所使用的判定方法是（

）A． B． C． D．2．下列各命题都成立，逆命题也成立的有（

）（1）同旁内角互补，两直线平行

（2）全等三角形的对应边相等（3）如果两个角是直角，那么它们相等

（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在和中，，，，，，与相交于点P，则的度数为（）A． B． C． D．4．如图，在中，，平分，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．5．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：①；②和面积相等；③；④；⑤．其中正确的有（

）A．1个 B．5个 C．3个 D．4个6．如图，在四边形ABCD中，F是对角线AC的中点，连接DF并延长交BC于点E，若，，，则四边形的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（）．A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆8．如图，，且平分，则利用（

）可说明与全等．A． B． C． D．9．已知如图：，且，于D，于D．，．连接，．则图中阴影部分的面积为（

）．A．5 B．6 C．9 D．1010．如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（

）A． B． C． D．11．如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，过A作，垂足为H，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是(

)A．2 B．2.5 C．3 D．12．如图，已知，则图中全等的三角形有（

）对．A．3对 B．4对 C．5对 D．6对二、填空题13．如图所示，分别是锐角和中边的高，且，若要使，可补充的条件是___________（只需要填写一个你认为适当的条件即可）14．如图，为的高，E为边上一点，M，N分别为，的中点，若，，则MN的长是__________．15．如图，在中，垂直的平分线于点P，若，且，则__________．16．如图，点在上，于点，交于点，，．若，则________________．三、解答题17．已知：如图，，，，，是垂足，．(1)求证：；(2)求证：．18．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．19．如图，已知，(1)尺规作图：在线段的下方，以点为顶点，作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，请说明；(3)若，平分，求的度数．20．如图，在中，，，为的中点，交于点，交于点，且，过点A作交的延长线于点．(1)求证：．(2)若，，求线段的长．21．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．(1)线段的长度等于___________．(2)求证：．(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间