河北省2022年中考数学人教版总复习限时训练20解直角三角形

限时训练20解直角三角形(时间：45分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则tanB的值是(C)A．eq\f(12,13)B．eq\f(5,13)C．eq\f(12,5)D．eq\f(5,12)2．(2021·唐山迁西县一模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sinB的值为(D)A.eq\f(1,2)B．1C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)3．如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC＝eq\f(3,5)，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为(C)A.2B．3C．4D．54.(2021·梧州中考)某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图)，点A到桥的距离是40m，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是326m.(结果精确到1m)(参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14)5．(2021·河北一模)如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝30m．若斜面AB坡度为1∶eq\r(3)，则斜坡AB的长是30m.6．(2021·邯郸丛台区一模)嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1.据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；(2)请你对嘉琪的猜想进行证明．解：(1)当α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1；(2)证明：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2.设∠A＝α，则∠B＝90°－α.∴sin2α＋sin2(90°－α)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,AB)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(BC2＋AC2,AB2)＝eq\f(AB2,AB2)＝1.7．(2021·营口中考)小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7，eq\r(6)≈2.4)解：过点D作DM⊥AC于点M.设DM＝xm.在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形．∴AM＝MD＝xm.∴AD＝eq\r(2)xm.在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2xm.∵AC＝600＋600＝1200(m)，∴x＋2x≈1200.解得x≈400.∴MD≈400m.∴AD＝eq\r(2)MD≈400eq\r(2)m.过点B作BN⊥AE于点N.∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°.在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600m，∴BN＝AN＝eq\f(\r(2),2)AB＝300eq\r(2)m.∴DN＝AD－AN≈400eq\r(2)－300eq\r(2)＝100eq\r(2)(m).在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝eq\r(3)BN＝eq\r(3)×300eq\r(2)＝300eq\r(6)(m).∴DE＝NE－DN≈300eq\r(6)－100eq\r(2)≈580(m).答：D处学校和E处图书馆之间的距离约为580m.8．(2021·鸡西中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝eq\f(2,3)，则eq\f(AC,BC)的值为(B)A.1B．2C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)9.eq\a\vs4\al(创新题型)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny．给出以下四个结论：①sin(－30°)＝－eq\f(1,2)；②cos2x＝cos2x－sin2x；③cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny；④cos15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).其中正确的结论的个数为(C)A．1个B．2个C．3个D．4个10．(2021·常州中考)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝eq\f(\r(10),10)．11．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100m，山坡AP的坡度为i＝1∶2，且O，A，B在同一条直线上(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)．(1)求电视塔OC的高度；(2)求此人所在位置点P的高度．解：(1)作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F.在Rt△AOC中，OA＝100m，∠CAO＝60°.∴OC＝OA·tan∠CAO＝100eq\r(3)m.∴电视塔OC的高度为100eq\r(3)m；(2)设PE＝xm.∵i＝1∶2，∴tan∠PAB＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(1,2)，则AE＝2xm.在Rt△PCF中，CF＝CO－OF＝(100eq\r(3)－x)m，PF＝OA＋AE＝(100＋2x)m．∵∠CPF＝45°，∴△