江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期第二次联合调研5月数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期第二次联合调研（5月）数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上．1.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故选：C.2.若，i是虚数单位，是z的共轭复数，则（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗由题可知，，，所以.故选：A.3.下列说法中正确的是（）A.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．B.若直线上有无数个点不在平面内，则直线l与平面平行．C.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行．D.若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行．〖答案〗A〖解析〗根据线面平行的定义，可知A正确；若直线上有无数个点不在平面内，则直线l与平面平行或相交，故B错误；若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行或异面，故C错误；若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线与这个平面平行或在平面内，故D错误.故选：A.4.已知角，满足，，则（）A. B.1 C.－3 D.3〖答案〗C〖解析〗.故选：C.5.已知m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.m

⊥l，n⊥l，则mn B.α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC.mα，nα，则mn D.αγ，βγ，则αβ〖答案〗D〖解析〗A：m

⊥l，n⊥l，则相交、平行、异面均有可能，错；B：α⊥γ，β⊥γ，则平行、相交都有可能，错；C：mα，nα，则相交、平行、异面均有可能，错；D：αγ，βγ，根据面面平行的传递性，则αβ，对.故选：D.6.已知，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，所以.故选：B.7.如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（）A.12m B.15m C.16m D.18m〖答案〗B〖解析〗由题意可知，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知，，即，解得：，在直角三角形中，，，则.故选：B.8.在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：如果只有一个是假命题，则该命题为（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗若甲为真命题，，则点为的中点，由可得，，因三点共线，故可得，即，由三点共线，可得，所以，得，即，所以，故乙为真命题；故，可知命题丙为真命题；由共线，故可设，即,因为三点共线，故可设，所以，得，即，故命题丁为假命题.综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题.故选：D.二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9.已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C. D.若，则的最小值为1〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设，则，故A正确；对于B，令，满足，故B错误；对于C，设，，则，所以，故C正确；对于D，设，则，即，表示以为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.故选：ACD.10.若向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.当时，，的夹角为锐角D.当时，在上的投影向量为〖答案〗ABD〖解析〗A.若，则，得，A正确；B.若，则,得，B正确；C.由B知，当时，，此时夹角不是锐角，C错误；D.当时，，，在上的投影向量为，D正确.11.已知中，，，，D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，E为BC中点，下列结论正确的是（）A.的面积为 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A，在中，，，，则，因，所以，所以，所以A错误，对于B，因为E为BC中点，所以，所以，所以，所以B正确，对于D，因为BD为∠ABC的角平分线，所以，所以，所以D错误，对于C，因为，所以，在中由余弦定理得，所以，所以C正确，故选：BC12.已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（）A.直线平面APDB.异面直线EF、PD所成角的大小为C.直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为D.存在点M使得平面MEF〖答案〗AC〖解析〗对于选项A，取PD中点N，连接EN，AN，因为E是PC中点，所以且，又因为四边形是正方形，F是AB的中点，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于选项B，因为，所以就是异面直线EF、PD所成的角（或其补角）.因为是边长为的正三角形，点N是PD中点，所以，所以异面直线EF、PD所成角的大小为，故B错误；对于选项C，连接交于点，连接，则为四棱锥的高，取中点，连接.又因为点N是PD中点，所以,且，即平面，又因为，所以就是直线EF与平面ABCD所成的角，，所以，在中，，所以.又，所以在中，，即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为，故C正确；对于选项D，要使存在点M使得平面MEF，需满足，但与不垂直，所以不存在点M使得平面MEF，下面用反证法证明与不垂直.假设，则，又因为，，，平面，所以平面.又平面，所以，又，平面，所以平面.又平面，所以，而在中，点分别是的中点，所以，矛盾，所以假设不成立，故D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置．13.______．〖答案〗〖解析〗由诱导公式得，所以.故〖答案〗为：.14.在中，，，，则______．〖答案〗〖解析〗由的三边分别为，，，则，所以，得，则，，所以．故〖答案〗为：．15.如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为______．〖答案〗〖解析〗取，的中点分别为，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四边形是平行四边形，因为，平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，平面，所以平面平面，因此过点作与平面平行的截面，即是平行四边形，连接，作于点，由，，可得，所以，所以平行四边形的面积为，故〖答案〗为：.16.天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度．如图，将地球看成一个球，半径为，两个观察者在地球上，两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和（，表示当地的地平线），由平面几何相关知识，，，，设弧长为，，，则流星高度为______．（流星高度为减去地球半径，结果用表示）〖答案〗〖解析〗由题意知，的弧长，所以，因为，所以为等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，所以，由正弦定理：，得：，在中，，由余弦定理：，所以，所以流星的高度为：，故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．（1）求复数；（2）复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．解：（1）设复数，是实数，所以，则，所以，因为为纯虚数，所以且，解得，所以.（2）由（1）知，,在复平面上对应的点为，又已知在复平面上对应的点在第二象限，所以，解得，即实数m的取值范围为.18.已知向量，满足，，且．（1）若，求实数k的值；（2）求与的夹角．解：（1）因为，，，即，解得：，，，解得：.（2），，，∴，∵，∴.19.已知．（1）求的周期；（2）若，其中，求．解：（1），所以的周期为.（2），∴，由得，由，得，∴，∴

.20.如图，在中，，，，P为内一点，．（1）若，求PA的长；（2）若，求PA的长．解：（1）由已知得，，，∴，在中，由余弦定理得，∴；（2）设，由已知得，，在中，由正弦定理得，化简得，，又由，，得，所以.21.如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，且有，，，为中点．（1）证明：面；（2）求二面角的平面角的正弦值．（1）证明：设与交于点，连接，因为，分别为，的中点，所以，又因为底面，且、底面，所以，，又因为，所以，，，所以底面，又四边形为菱形，所以，则，，且，，平面，所以平面；（2）过作于，连接，由（1）知底面，且、底面，所以，，又，、平面，所以平面，又平面，所以，即为二面角的平面角，因为底面为菱形，，，所以是边长为1的等边三角形，则，，又，则，在直角三角形中，，则，所以，故所求二面角的正弦值为．22.如图，已知是边长为2的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点．（1）若，求实数的值；（2）求