函数的极值及其求法

第十节函数的极值与最值

一、函数的极值及其求法2021/5/91定义使得有则称为的一个极大值点

(或极小值点

)极大值点与极小值点统称为极值点

.极大值与极小值统称为极值

.1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点(称为可疑极值点).

称为的一个极大值

(或极小值

)注意2021/5/92函数极值的求法定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理)定义注意:例如,设在点处具有导数,且在处取得极值,则2021/5/93定理2(第一充分条件)(是极值点情形)设在点

处连续,(1)若

时,而时,则在点处取得极大值;(2)若

时,而时,则在点处取得极小值;(3)若时,的符号相同,则在点处无极值.2021/5/94求极值的步骤:(不是极值点情形)2021/5/95例1解列表讨论极大值极小值2021/5/96图形如下2021/5/97例2解2021/5/98的极值.解得驻点不可导点是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为例3

求函数不存在2021/5/99定理3(第二充分条件)证同理可证(2).二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.

设函数

f(x)在点

x0处

具有2021/5/910例4解图形如下2021/5/911注意:2021/5/912的极值.解:

令得驻点因故为极小值;又故需用极值的第一充分条件来判别.例5.

求函数2021/5/913则1)当为偶数时,2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点,证定理4设

f(x)在点

x0处

具有n阶导数，且则在点取极大值;则在点取极小值.

点为拐点。2021/5/914故1)当为偶数时,由极限的保号性,知又得故在点取极大值。则在点取极小值.同理可证，2)当为奇数时,可证在点邻近两

侧异号,故在点不取极值。2021/5/915故

当为奇数时,可证在点邻近两侧异号,

故点为拐点。2021/5/916设其中a

为常数.证明:时,f(0)为f(x)的极小值;时,f(0)为f(x)的极大值.证时,f(0)为f(x)的极小值;时,f(0)为f(x)的极大值;时,例62021/5/917f(0)为f(x)的极大值.2021/5/918函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周2021/5/919例7解非奇非偶函数,且无对称性.定义域（-∞，+∞）\{0},2021/5/920列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点2021/5/921作图2021/5/922小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点是可疑极值点.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)2021/5/923思考与练习1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.2021/5/924在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.2.

设2021/5/925是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A3.

设2021/5/926设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f

2(a)是否是f

2(x)的极值.证则得f

2(a)是f

2(x)的极小值;

不妨设f(a)是f(x)的极小值,有2021/5/927由f(x)在

x=a

处连续，得f

2(a)是f

2(x)的极大值.同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况.由极限的保号