课题学习最短路径问题将军饮马讲义人教版数学八年级上册

第05讲将军饮马最短路径问题知识点梳理基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.典例：一、单选题1．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（

）A． B．C． D．2．如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（）A． B． C． D．4．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm6．如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（）A． B． C． D．无法确定7．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（

）A． B．C． D．8．如图：两村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两村庄的距离之和最小，如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的依据是（

）A．两点确定一条直线 B．两直线相交只有一个交点C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线9．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（

）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．以上结论都不对10．某市计划在公路旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（

）A． B．C． D．11．如图，A是直线l外一点，点B，E，D，C在直线l上，且，D为垂足，如果量得，，，，则点A到直线l的距离为（

）A．11cm B．7cm C．6cm D．5cm12．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（

）A．4 B．6 C．8 D．1013．如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（

）A． B．5 C．4 D．614．直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（

）A． B．C． D．15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．1216．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．12 B．8 C．10 D．2017．如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（

）A．3 B． C． D．18．如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（）A． B． C． D．二、填空题19．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是．20．如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为．21．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．22．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，则取得最小值为．23．如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求．请你写出小明这样作图的依据：．24．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是．三、解答题25．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，．(1)画出关于轴对称的图形；(2)写出、的坐标（直接写出答案）_______；______．(3)写出的面积为_______；（直接写出答案）(4)在轴上求作一点，使得点到点与点的距离之和最小．26．如图，在正方形网格上有一个．(1)画关于直线的对称图形（不写画法）；(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积；(3)在直线上求作一点P，使最小（保留作图痕迹，不写作法）．27．计算：在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)作关于y轴成轴对称的，并写出的坐标；(2)在y轴上有一点P，使的值最小，请在坐标系中标出点P的位置．28．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当最小时，求的度数．29．如图.(1)画出关于y轴对称的；(2)在y轴上画出点P，使的周长最小；(3)求的面积30．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．(1)在图中画出关于x轴对称的图形；(2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是________；(3)在x轴上找一点P，使最小，则P点的坐标为________．31．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．参考答案：1．B【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的对称点亦可）；【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，正确理解题意是解题的关键．2．B【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．【详解】解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值为6．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．3．C【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BCBD即得答案．【详解】解：如下图，过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．∵AD平分∠CAB，AC⊥BC∴DE=CD=BCBD=1000700=300（米）．故选：C．【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短”．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离．4．A【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=13．【详解】∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP=PC∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP∵两点之间线段最短，∴AP+BP≥AB∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB∵AC=6，AB=7∴△APC周长最小为AC+AB=13故选：A．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短，灵活运用两点之间线段最短时解题的关键．5．B【分析】连接CE交AD于点P，则BP+EP的最小值为CE的长．【详解】如图，连接CE交AD于点P，∵AB＝AC，AD是BC的中线，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，∴BP+EP＝CP+EP≥CE，∴BP+EP的最小值为CE的长，∵CE＝4cm，∴BP+EP的最小值为4cm，故选：B．【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP+EP的最小值转化为CP+EP的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题．6．B【分析】两点之间，线段最短，甲到乙最短的路线是从甲到乙的线段，由此解答即可．【详解】解：甲到乙最短的路线是，故选：B．【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的是理解最短路线的简单应用．7．C【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O．根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．故选：C．【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．8．C【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】解：根据题意可知，这样做的依据是：两点之间，线段最短，故选：C．【点睛】本题考查了线段的性质，熟知两点之间线段最短是解本题的关键．9．C【分析】由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理是两点之间线段最短．故选：C．【点睛】本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．10．B【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．【详解】作点A关于直线的对称点，连接交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．故选B【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．11．D【分析】根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可知AD的长度是点A到直线l的距离，从而得解．【详解】∵AD=5cm，∴点A到直线l的距离是5cm．故选D．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟记定义是解题的关键．12．B【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点B，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点A关于直线的对称点为点B，，，的长为的最小值，的周长最短．故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．13．A【分析】过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用面积法可求出的值，即的最小值．【详解】解：过点作于点，交于，，是的一条角平分线，点为底边的中点，，，点、关于对称，，，此时的最小值，，，，，，的最小值为．故选A．【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．14．C【分析】根据轴对称的性质及最短路径问题解答．【详解】解：解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．15．B【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴MC+MD的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16．C【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴，，∴，解得，∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴的长为的最小值，∴周长的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．17．C【分析】过点作直线，过点作于点，延长交于点，由图可知，根据面积关系求出长度即可．【详解】解：如图，过点作直线，过点作于点，延长交于点．是等腰直角三角形，且，，，，，，点的运动轨迹是直线，，解得，，的最小值为，故选C．【点睛】本题考查了最短距离问题、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识，根据题意添加相应辅助线是解题关键．18．D【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题．【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，由轴对称的性质得，，，，，∴．故选：D．【点睛】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．两点之间线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可求解．【详解】解：两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键．20．14【分析】由图形可得：△APC周长，因为AC＝3，所以求出的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论．【详解】解：如图所示，连接AE，BP，∵直线EF垂直平分AB，∴A，B关于直线EF对称，∴，，在中，，∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，此时，的值最小，最小值等于BC的长，∴周长的最小值，故答案为：14．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．21．【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．【详解】解：如图所示，连接，∵的垂直平分线交于点，交于点，点P在直线上，∴，∴的周长，∴当最小时，最小，即此时的周长最小，∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，∴的周长最小值，故答案为：．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．22．5【分析】作关于x轴的对称点，连接与x轴交于M点，由轴对称的性质知，根据两点之间线段最短可知，此时取最小值．【详解】解：如图所示，作关于x轴的对称点，连接与x轴交于M点，由轴对称的性质得，，，，，两点之间线段最短，的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，解题的关键是熟练掌握对称的性质．23．两点之间线段最短．【分析】根据轴对称变换点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，根据对称性质得出AM=A′M，进而得出AM+BM=A′M+BM=A′B，在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，利用两点之间线段最短得出A′M′+BM′≥A′B即可．【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，∴AM=A′M，∴AM+BM=A′M+BM=A′B，在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，则AM′=A′M′，∴A′M′+BM′≥A′B，小明这样作图的依据：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．24．4【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．【详解】解：如图：连结BP，CP，∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴BP=CP，∴AP+BP=AP+CP，根据两点之间相等最短AP+PC≥AC，∴当点P在AC与EF交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的长为4．故答案为4．【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出P点的位置．25．(1)作图见解析(2)；(3)(4)作图见解析【分析】（1）分别作出A，，的对应点，，，再顺次连接即可；（2）根据点的位置写出坐标即可；（3）利用割补法求三角形面积；（4）连接交轴于点，连接，点即为所作．【详解】（1）解：如图，分别作出A，，的对应点，，，连接，，，则'即为所作．（2）如图，，，，故答案为：；．（3），故答案为：．（4）如图，连接交轴于点，连接，∵点与点关于轴对称，∴，∴，∴最小值为，即此时点到点与点的距离之和最小，则点即为所作．【点睛】本题考查作图—轴对称变换，坐标与图形，两点之间线段最短，利用割补法求三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．(1)见解析(3)见解析【分析】（1）先找出点A、点B、点C关于直线的对称点，再依次连接对称点即可．（2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可．（3）先找出点A关于直线的对称点，连接与直线相交于点P，即的最小值就是线段的长度．【详解】（1）解：如图，△即为所求；（2）解：的面积．（3）解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．27．(1)见解析，(2)见解析【分析】（1）找出点A、B、C关于y轴的对称点，连接即可；（2）连接，与y轴交点即为点P．【详解】（1）解：如图，（2）解：连接交y轴于一点，即为所求的点P．【点睛】本题主要考查了作图轴对称变换和最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．28．