2024年高考数学复习：15 数列求和15种类型归纳（原卷版）

15数列求和【题型一】求和思维基础：由sn求an的关系【典例分析】已知数列{an}的前n项和．（1）求{an}的通项公式；（2）记，求{bn}的前n项和Tn．【提分秘籍】基本规律对于公式（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．【变式演练】1.数列的前n项和为（），求2.已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【题型二】错位相消法三种思维求法【典例分析】（2020年新课标1理数17题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【提分秘籍】基本规律以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。1.思维结构结构图示如下2.公式型记忆：3.可可裂项为如下【变式演练】1.已知数列中，，，前项和为，若（，且）.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.2.（系数为负的，增加了计算难度）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【题型三】分组求和法【典例分析】已知数列的前项和，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【提分秘籍】基本规律，其中bn和cn都是容易求和的数列【变式演练】1.设数列满足，；（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.2.已知数列的前项和为，，且-3，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【题型四】求和难点1：裂项相消基础思维【典例分析】设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和.【提分秘籍】基本规律【变式演练】1.数列中，，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．2.在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，若，求n的值．3.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【题型五】求和难点2：形如函数型裂项相消【典例分析】等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，证明.【提分秘籍】基本规律对于f（n）是p、q差型；（2）f（n）是分离常数型；【变式演练】1.数列满足，且.（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为.2、已知各项均为正数的数列前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【题型六】求和难点3：指数型裂项相消【典例分析】设数列的前n项和为，已知，，.（1）求通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：.【提分秘籍】基本规律形如【变式演练】1.已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.（1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求.2、已知等比数列的前项和为，且，，的等差中项为10.（1）求数列的通项公式；（2）求.【题型七】求和难点4：指数等差型裂项相消【典例分析】已知数列的前项和为，且，数列满足：，且．（1）求证：数列是等比数列；【提分秘籍】基本规律形如，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的【变式演练】1.已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.3、设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，．（ⅰ）求；（ⅱ）证明．【题型八】求和难点5：奇偶正负型裂项相消【典例分析】已知正项等差数列满足：，其中是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）令，证明：.【提分秘籍】基本规律形如，可类比前边规律裂项相消【变式演练】1.设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；（2）求出及数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和为.2、已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.【题型九】求和难点6：裂项为“和”型以相消【典例分析】已知数列中，，，前项和为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【提分秘籍】基本规律可通过分离常数，或者公式，裂项为“和”，借助系数的正负相间，达到裂项相消的目的【变式演练】1.已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.2、已知递增的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.【题型十】求和难点7：指数型裂项为“和”以相消【典例分析】已知数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【提分秘籍】基本规律授课时，注意讲清楚裂项凑配的原理。如果学生接受难度大，可以逆向思维：反解代入【变式演练】1.已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求数列的前项和.【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项【典例分析】已知数列的前项和满足，且.（1）求证：数列是常数数列；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.【提分秘籍】基本规律【变式演练】1.如图所示，在的图像下有一系列正三角形，记的边长为，.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，证明：.2、在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.（1）求数列通项公式；（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消【典例分析】已知数列满足，，.（1）若.①求数列的通项公式；②证明：对，.【提分秘籍】基本规律属于比较难的题型，做复习参考。一般情况下，可如下公式裂项：【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项【典例分析】已知数列的前n项和为，，且对任意正整数n，都有，数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求证：．【提分秘籍】基本规律先放缩后裂项，属于2010年课改之前题型，2010新课标逐渐淘汰。2019年新高考实行后，结合2021年新课标乙卷数列大题的位置后移，难度增加，所以今年开始二轮复习备考，适当的增加这方面题型的扩展了解。授课时，要讲清楚，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。【变式演练】1.已知数列的前n项和为，，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.2、数列中，，，且.令，将用表示，并求通项公式；令，求证：.【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科）【典例分析】已知为数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【题型十五】求和难点12：分段数列求和【典例分析】已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设的前项和为，求.【提分秘籍】基本规律1.分奇偶各自新数列求和2.要注意处理好奇偶数列对应的项：（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和【变式演练】1.已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．2.设是等差数列，是等比数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和为，求.模拟题1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.2.已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：.3.正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.4.已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.5.已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：．6.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为S（1）求数列{a（2）令bn=(−1)n−14nan7.已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，