2024年高考数学复习：10 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）（原卷版）

10导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）【题型一】不等式证明6:凹凸翻转型【典例分析】已知，.（1）求函数的单调区间；（2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.【提分秘籍】基本规律类型特征：特殊技巧；分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。【变式演练】1.已知．（1）求函数的极值；（2）证明：对一切，都有成立．2.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：.【题型二】不等式证明7：三角函数与导数不等式【典例分析】已知函数，，．（1）若在上单调递增，求a的最大值；（2）当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明．【提分秘籍】基本规律1.证明思路和普通不等式一样。2.充分利用正余弦的有界性【变式演练】1.设函数.（1）求的极值点；（2）设函数.证明：.2.已知函数（1）若，成立，求实数的取值范围;（2）证明：有且只有一个零点，且．【题型三】不等式证明8：极值点偏移之不含参型【典例分析】.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．【提分秘籍】基本规律1.求出函数的极值点；2.构造一元差函数；3.确定函数的单调性；4.结合，判断的符号，从而确定、的大小关系【变式演练】1.已知函数.（1）当时，判断在区间上的单调性；（2）当时，若，且的极值在处取得，证明：.2.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.【题型四】不等式证明9：极值点偏移之含参型【典例分析】已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；求证：．【提分秘籍】基本规律1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.【变式演练】1..已知函数.（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：；（3）设函数的两个零点、，求证：.2.已知函数.（1）若f（1）=2，求a的值；（2）若存在两个不相等的正实数，满足，证明：①；②.【题型五】不等式证明10：三个“极值点（零点）”不等式【典例分析】已知函数在处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）当时，若函数的3个极值点分别为，，，求证：．【提分秘籍】基本规律1.可以通过代换消去一个极值点。2.一些函数也可以求出具体的极值点3.通过分类讨论可以“锁定”一个的取值范围，适当放缩。【变式演练】1.已知函数.（1）若曲线在处的切线斜率为，求实数的值；（2）若函数有3个不同的零点，，，求实数的取值范围，并证明：.2.已知函数f(x)=e（1）若a=0，讨论f(x)的单调性．（2）若f(x)有三个极值点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：x1【题型六】不等式证明11：比值代换（整体代换等）【典例分析】已知函数（为常数，且）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若有两个极值点，，证明：.【提分秘籍】基本规律1.两个极值点（或者零点），可代入得到两个“对称”方程2.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。【变式演练】1.已知函数，.（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，证明：.2.和是关于的方程的两个不同的实数根.（1）求实数的取值范围；（2）若，求证：.【题型七】不等式证明11：非对称型（零点x1与x2系数不一致）【典例分析】已知，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，是的极值点，求证：.【提分秘籍】基本规律1.可以借助“比值”等代换方式引入参数，转化为一个变量。2.可以利用“极值点”偏移构造新函数证明。【变式演练】1.已知函数．（1）讨论函数零点的个数；（2）若函数恰有两个零点，证明．2.已知函数既有极大值，又有极小值.（1）求实数的取值范围；（2）记为函数的极小值点，实数且，证明：.【题型八】不等式证明12：韦达定理型【典例分析】已知函数．（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．【提分秘籍】基本规律1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。2.利用韦达定理代换：可以消去x1，x2留下参数【变式演练】1.已知函数，在定义域上有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）求证:2.已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，证明：当，，，．【题型九】不等式证明13：利用第一问【典例分析】已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若正数m，n满足，求证．【提分秘籍】基本规律1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）【变式演练】1.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：.2..已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）证明：.【题型十】不等式证明14：含ex和lnx型【典例分析】已知函数．（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明：．【提分秘籍】基本规律1.因为含有ex和lnx这类超越函数，，可以借助“不确定根”（隐零点）代换放缩证明2.利用lnx求导为1/x，ex求导无限循环特性，把lnx独立分离出，降低导函数零点寻找的计算难度。3.可以利用“同构”技巧【变式演练】1.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：，.2.已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【题型十一】不等式证明15：先放缩再证明【典例分析】设函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：．【提分秘籍】基本规律放缩构造法：1.根据已知条件适当放缩；2.利用常见放缩结论；【变式演练】1.已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；（2）若，证明：.2.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求证：．【题型十二】不等式证明16.：切线放缩证明两根差型（剪刀模型）【典例分析】已知函数，．（1）求函数的极值；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（3）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．【提分秘籍】基本规律本专题又称之为“剪刀模型”，可以如下图理解（其中一种思维）【变式演练】1.已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证：.2.已知函数.（1）设曲线在处的切线为，求证：；（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.【题型十三】不等式证明17：条件不等式证明【典例分析】已知函数．（1）设函数，讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点，（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：．【提分秘籍】基本规律1.可以利用“对称性”构造方程同解变形2.一些题型的证法，实质是类似于“极值点偏移”【变式演练】1.已知.（1）证明：是上的增函数，（2）若，且，证明：.2.已知函数.（1）讨论零点的个数；（2）设m，n为两个不相等的正数，且，证明：.【题型十四】综合证明：x1与x2型【典例分析】已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）若