2024年高考数学复习：10 导数压轴大题归类（1）（原卷版）

10导数压轴大题归类（1）【题型一】求参1：端点值讨论型【典例分析】设函数f(x)=lnx-p(x-1),pR（1）当p=1时，求函数f（x)的单调区间；（2）设函数g(x)=xf(x)+p(2x-x-1)对任意x1都有g(x)0成立，求p的取值范围。【提分秘籍】基本规律1.端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用）2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围。注意，开区间不一定是充分条件。有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论。如练习2【变式演练】1.试卷若函数的反函数记为，已知函数．（1）设函数，试判断函数的极值点个数；（2）当时，，求实数的取值范围．2.设函数．（1）当时，设，求证：对任意的，；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【题型二】求参2：“存在”型【典例分析】设函数，曲线处的切线斜率为0(Ⅰ)求b；(Ⅱ)若存在使得，求a的取值范围。【提分秘籍】基本规律1.当不能分离参数时候，要移项分类讨论。2.确定是最大值还是最小值。【变式演练】1.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程;（Ⅱ）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围.2.记表示中的最大值，如.已知函数，.（1）设，求函数在上零点的个数；（2）试探究是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【题型三】求参3：“恒成立”型【典例分析】已知函数f(x)=2−alnx+1（2）当a<0时，讨论函数的单调性；（3）若对任意的a∈−∞,−2，x1,x2∈【提分秘籍】基本规律1.注意是同一变量还是不同变量。2.各自对应的是最大值还是最小值。3.一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．【变式演练】1.已知函数fx（1）设gx=fx+1x2（2）若对∀x∈1,2，均∃t∈1,2，使得et−lnt−4≤fx−2x2.已知函数fx=x2+2mlnx−m+4（2）当m>0时，试讨论函数fx（3）若对任意m∈1,2，存在x∈3,4，使得不等式f【题型四】求参4：分离参数之“洛必达法则”【典例分析】设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．【提分秘籍】基本规律1.若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”2.注意“断点”是在端点处还是区间分界处。【变式演练】1.设函数.⑴求的单调区间和极值;⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.2.已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线为y=g(x).（1）证明：对于，f(x)g(x);（2）当x0时，f(x)1+,恒成立，求实数a的取值范围。【题型五】同构求参5：绝对值同构求参型【典例分析】已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。【提分秘籍】基本规律1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。【变式演练】1.已知函数，其中.（=1\*ROMANI）讨论函数的单调性；（=2\*ROMANII）若，证明：对任意，总有.2.已知．（1）求的单调区间；（2）令，则时有两个不同的根，求的取值范围；（3）存在，且，使成立，求的取值范围．【题型六】同构求参6：x1与x2构造新函数型【典例分析】已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。【提分秘籍】基本规律1.含有x1和x2型，大多数可以考虑变换结构相同，构造函数解决。2.可以利用第一问的某些结论或者函数结构寻找构造的函数特征。【变式演练】1.已知函数.（1）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；（2）若对任意，且恒成立，求的取值范围.2.（构造巧）已知函数f(x)=(x−1)ex−t2x2，（2）当t=3时，证明：不等式恒成立（其中x1∈R，x【题型七】零点型【典例分析】已知函数，.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）若，判断的单调性；（Ⅲ）若有两个零点，求的取值范围.【提分秘籍】基本规律已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)移项讨论法（找点或者极限法）：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数（回避找点）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)分离函数法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式演练】1.已知函数，．(1)求证：在区间上无零点；(2)求证：有且仅有2个零点．2.已知函数f(x)=1（1）若函数有三个零点x1,x2,x3，且（2）若f'(1)=−12a（3）在（2）的条件下，若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于3，求【题型八】不确定根型【典例分析】已知函数f(x)=lnx+2x．（1）求函数f(x)（2）若∀x∈[1 , +∞)，ln【提分秘籍】基本规律解题框架：（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解。但得到参数和的等量代换关系。备用（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根（3）利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围。（4）再代入参数和互化式中求得参数范围。【变式演练】1.已知函数f(x)=ex+12(x−1)（2）当a>0时，对任意x∈(0,+∞)时，不等式af'(x)≥(a+1)g2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的导函数为h(x)，f(x)的图像在点(-2，f(-2))处的切线方程为3x-y+8=0，且,又函数g(x)=kxex与函数y=ln(x+1)的图像在原点处有相同的切线.(1)求函数f(x)的解析式及k的值.⑵若f(x)≤g(x)-m+x+1对于任意x∈[O,+]恒成立，求m的取值范围【题型九】取整讨论型【典例分析】已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立,求整数的最大值．【提分秘籍】基本规律讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题【变式演练】1.已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若不等式有唯一正整数解，求实数的取值范围．2.已知函数，为其导函数，且时有极小值-9.（1）求的单调递减区间；（2）若，，当时，对于任意，和的值至少有一个是正数，求实数的取值范围；（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.【题型十】证明不等式1：基础型【典例分析】设函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜x−1lnx（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．【提分秘籍】基本规律1.移项最值大于0（小于0）证明法2.变形证明新恒等式法。【变式演练】1.设函数=，.证明：（I；（II）.已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.求的值及函数的极值；证明：当时，【题型十一】证明不等式2：数列不等式之单变量构造型【典例分析】已知函数若函数在x=0处取得极值．(1)求实数的值；(2)若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；(3)证明：对任意的自然数n，有恒成立．【提分秘籍】基本规律1.适当的选择式子（字母）为变量，构造函数，通过单调性最值等等可得不等式关系。2.注意区分本专题三道题自变量的选取，授课时可以多种选择同时展开，分析不同选择时的计算量。【变式演练】1.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）试证明：（…，）.2.已知函数（1）若函数在区间上存在极值，其中a>0，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证:。【题型十二】证明不等式3：数列不等式之无限求和型【典例分析】已知函数为大于零的常数。（1）若函数内调递增，求a的取值范围；（2）求函数在区间[1，2]上的最小值。（3）求证：对于任意的成立。【提分秘籍】基本规律1.一侧是“和”型，另一侧则较简单。2.根据“和”型，寻找另一侧的“裂项相消”规律。3.通过题干和第一问观察寻找可以相消的不等式恒等式。【变式演练】1.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：.已知函数.

(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)证明：…【题型十三】证明不等式4：构造单变量函数型【典例分析】设函数f(x)=(1-mx)ln(1+x).(1)若当时，函数f（x）的图像恒在直线y=x上方，求实数m的取值范围；（2）求证：。【提分秘籍】基本规律解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明或者条件，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。作差法构造，换元法构造，主元法构造，对数法构造，高阶求导和端点值回归法（过去较多，文科较多）【变式演练】1.设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m>n>0时，.2.已知函数．（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：（为自然对数的底数）