2023-2024学年辽宁省大连市金州区高一上学期10月月考数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省大连市金州区高一上学期10月月考数学质量检测模拟试题第Ⅰ卷（60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，，，则（

）A． B． C． D．2．命题“，0”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，3．已知集合，下列描述正确的是（

）A． B．C． D．以上选项都不对4．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．5．不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．已知是关于的方程的两个实数根.则的最小值（

）A． B． C． D．7．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知集合，若，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．10．下列说法中，正确的是（

）A．若，，则B．“”是“”的充分不必要条件C．“对，恒成立”是“”的必要不充分条件D．设，则的最小值为11．已知全集.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．12．若正实数满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为4 B．的最大值为4C．的最小值为 D．的最大值为8第Ⅱ卷（90分）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则的取值范围是.14．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为.15．如果关于的方程的两根分别在区间和内，则实数的取值范围是.16．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵）17．已知，．(1)当0是不等式的一个解时，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．选用恰当的证明方法；解决下列问题.(1)为实数，且，证明：两个一元二次方程，中至少有一个方程有两个不相等的实数根.(2)已知：，且，求证：19．已知一元二次不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B（其中）．(1)求集合B；(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的______中，若问题中的实数m存在，求m的取值范围：若不存在，说明理由．问题：是否存在实数m，使得______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．20．某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．21．已知关于的不等式的解集为；(1)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，满足：“对于任意，都有，对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.22．已知二次函数.(1)若对任意且不等式恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.(2)若对任意，若且不等式恒成立，求的最小值.1．C【分析】由题意求出，化简集合，即可求出结果.【详解】因为，，，所以，因此.故选C本题主要考查集合的混合运算，熟记交集与补集的概念即可，属于基础题型.2．C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，0”是全称量词命题，所以其否定为，，故选：C3．A【分析】将两个集合等价变形，从而可判断两个集合的关系，从而可得出答案.【详解】解：，分子取到的整数倍加1，，分子取全体整数，所以，所以.故选：A.4．B【分析】通过图形，并因为，，所以，，从而可以通过勾股定理求得，又因为，从而可以得到答案.【详解】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，，，而，所以，故选项B正确.故选：B5．D【分析】根据题意结合韦达定理得出，代入不等式，从而可解不等式.【详解】因为不等式的解集为，所以和为的两根，且，所以，即，所以不等式为，即，因为，所以，即，所以不等式的解集为.故选：D.6．C【分析】根据韦达定理可得，，进而得出.变形可得，根据二次函数的性质，即可得出答案.【详解】由已知可得，，且，所以.则.根据二次函数的性质可知，在时单调递减，所以，.故选：C.7．B【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意知，不等式的解集为，即为不等式在上恒成立，当时，即时，不等式恒成立，满足题意；当时，即时，则满足，即，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：B.8．D【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.【详解】不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.9．ABD【分析】根据题意，对集合是否为空集进行分类讨论，再对参数利用元素与集合间的关系进行分类计算即可.【详解】将整理可得，由可得，当时，可知，此时满足题意；当时，可知，则易知，；又，所以是方程的根；即，所以，解得或；经检验符合题意；综上可知，或或.故选：ABD10．BCD【分析】利用特殊值可判断A，根据不等式性质及特殊值可判断B，利用均值不等式求出范围判断C，换元后由对号函数的性质判断D.【详解】对于选项A，若，则，故A错误；对于选项B，能推出，但不能推出，例如：，故B正确；对于选项C，由，恒成立，得，因为，所以，当且仅当时，的最小值为，所以，所以“对，恒成立”不能推出“”，但“”能推出“对，恒成立”，故C正确；对于选项D，令.则，可得在上单调递增，所以，所以的最小值为，故D正确.故选：BCD11．AD【分析】根据题意可得，再由“”是“”的充分条件可知，将问题转化成不等式对于恒成立，即可求得实数的取值范围.【详解】解分式不等式可得；若“”是“”的充分条件，则可知，即对于，不等式恒成立；易知函数在上，满足，所以只需即可，所以，解得或.可得实数的取值范围是或.故选：AD12．ABC【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，正实数满足，对于A中，由，当且仅当时，等号成立，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确；对于C中，由，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以C正确；对于D中，由，因为，所以的最小值为，当且仅当时取得最小值，所以D错误.故选：ABC.13．【分析】根据不等式的性质计算即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为.14．【分析】先化为一元二次方程，根据方程解的情况确定的取值.【详解】当有两个相等实根时，即，此时，满足条件；当有实根时，即，此时，原方程解集中只含有一个元素，满足条件；当有实根时，即，此时，原方程解集中只含有一个元素，满足条件；故本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力，属中档题.15．【分析】先满足二次项的系数不等于零和一元二次方程的根的判别式大于零，再分二次系数大于零和二次项系数小于零两种情况讨论，根据一元二次方程的根的分布条件得出需满足当时，或当时，，解之可得实数的取值范围.【详解】令，由已知得且，即且，所以，当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得，当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得无解，综上可知：实数的取值范围是，故答案为.本题考查一元二次方程的根和二次函数之间的关系，在满足一元二次方程的根的区间时，常需考虑对应的二次函数的判别式的符号，函数图像的开口方向，对称轴，特殊函数值的符号等方面，属于中档题.16．【分析】先由二次函数恒成立，结合基本不等式求得题干命题为真时的取值范围，从而得解.【详解】假设命题“，使得”为真命题，则在上恒成立，令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，则，因为命题“，使得”为假命题，所以，即实数的取值范围是.故答案为.17．(1)(2)【分析】(1)将0代入不等式即可求解；(2)分别化简命题和，并写出，然后利用充分不必要条件的概念和集合间的包含关系求解即可.【详解】（1）由题意，将代入不等式可得，，解得，故实数的取值范围.（2）由，解得或．由，解得．故或，，从而或，因为是的充分不必要条件，所以或是或的真子集，即，解得，故实数的取范围为.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）假设两个方程都没有两个不相等的实数根，根据判别式结合已知推出矛盾，即可得出证明；（2）解方程组得出的值，进而得出.然后根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）假设两个方程都没有两个不相等的实数根，则有，.所以.因为，所以.所以，即.这与相矛盾，故假设不正确.所以要证明结论的否定是假命题，则要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程，中至少有一个方程有两个不相等的实数根（2）解方程组，可得，所以，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以.19．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）由，得，从而根据m的范围，分类讨论，解一元二次不等式即可；（2）由（1），若选择①，则，从而列式求得m的取值范围；若选择②，，根据m的范围，分类讨论，利用交集运算得结论；若选择③，，则，由此可求出m的取值范围．【详解】（1）解：由，即．①时，；②时，或；③时，；④时，不等式无解；⑤时，．综上所述：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．（2）由（1），若选择①，则，由（1）可知：只有当，，则有，所以；另外，当时，也成立，所以选择①，则实数m的取值范围是；若选择②，，由（1）可知：当，，时，都能符合条件；当，，则有，所以所以选择②，则实数m的取值范围是或；若选择③，，则，由（1）可知：只有当时，成立；另外，当时，也成立所以选择③，则实数m的取值范围是．20．（1）750；（2）7.【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式求得的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得的取值范围，即可得出答案.【详解】解：（1）由题意得：，即，又，所以．即最多调整750名员工从事第三产业；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，即，所以，即，在，恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立．所以，又，所以，所以a的最大值为7.21．(1)(2)存在，【分析】（1）由不等式解集形式以及根的个数和正负，列出限定条件解不等式即可求出；（2）根据题意可知，解集中包含所有正整数，且不包括任何负整数，对参数进行分类讨论即可求出时符合题意.【详解】（1）根据不等式解集的形式可知，解得或；此时不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，即有两个不相等的负根和，即，解得，综上可知；即实数的取值范围是.（2）根据题意可知,解集中包含所有正整数，且不包括任何负整数，所以得出解集，当时，解得或，当时，恒成立，解集为实数，不满足条件，当时，不等式的解集是，满足条件；当时，此时一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；当时，此时一元二次