2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第七讲正弦定理和余弦定理课件

第七讲正弦定理和余弦定理课标要求考情分析1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题1.从近五年的考查情况来看，该节是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换等进行综合命题.2.既有选择题、填空题，也有解答题名称正弦定理余弦定理定理其中R是三角形外接圆的半径a2＝b2＋c2－2bccos

A；b2＝a2＋c2－2ac

cos

B；c2＝a2＋b2－2ab

cos

C1.正弦定理与余弦定理名称正弦定理余弦定理变形a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(续表)角的分类A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解2.三角形解的判断3.三角形中常用的面积公式【名师点睛】(1)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；(2)三角形中的射影定理在ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(3)在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.

考点一利用正、余弦定理解三角形答案：AD2.(2023年武功县期中)在△ABC中，若三边之比a∶b∶c＝答案：B3.(2022年全国乙卷文科)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.(1)解：由

sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，又A＝2B，∴sinCsinB＝sinBsin(C－A)，∵sinB≠0，∴sinC＝sin(C－A)，即C＝C－A(舍去)或C＋C－A＝π，

(2)证明：由

sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，

得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，(1)求c的大小；(2)求sinB的值；(3)求sin(2A－B)的值.【题后反思】解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

考点二判断三角形的形状A.钝角三角形C.锐角三角形

B.直角三角形D.等边三角形又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在△ABC中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.答案：A边)，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为三角形的内角，否相等.答案：A【题后反思】判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.【变式训练】考点三与三角形面积、周长有关的问题考向1与三角形面积有关的问题

[例2](2022年太原市模拟)已知

a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA＝4bsinC，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)证明：△ABC为等腰三角形；，点D在线段AB上，且BD＝

(2)若△ABC的面积为22DA，求CD的长.【题后反思】(1)求三角形面积的方法①若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该积.

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入(1)中公式求面积.总之，结合图形选择恰当的面积公式是解题的关键.(2)已知三角形面积求边、角的方法①若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解.②若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.考向2与三角形周长有关的问题

则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)， ∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即△ABC周长的最大值为12.

答案：12【考法全练】1.(考向1)(2021年密云区月考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋bc，求：(1)A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.(1)证明：在△ABC中，因为sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sinC(sinAcosB－cosAsinB)＝sinB(sinCcosA－cosCsinA)，所以sinAsinBcosC＋sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，即sinA(sinBcosC＋cosBsinC)＝2cosAsinBsinC，所以sinAsin(B＋C)＝2cosAsinBsinC，即sin2A＝2cosAsinBsinC.由正弦定理得a2＝2bc·cosA，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以2a2＝b2＋c2.⊙解平面图形问题(2)求CD的长.图3-7-1(1)求sin∠BCE的值；

【反思感悟】平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角