四川外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

第18页/共18页重庆外国语学校2022-2023学年度高一（上）期中检测数学试题（满分150分，120分钟完成）一、单项选择题（共8个小题，每小题6分，共40分.每小周的四个地项中，只有一个符合题目要求）1.若集合，，则（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，按定义求交集即可【详解】解得，，∴.故选：A2.设，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件【答案】B【解析】【分析】首先解不等式由|可得或，由可得或，再根据集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由可得或，由可得或，显然或或，所以，“”是“”的充分不必要条件，故选：B.3.函数的单调递增区间是（）A. B.[1，） C.[2，） D.[4，）【答案】C【解析】【分析】先求得函数的定义域为，再结合二次函数性质和复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】令，解得或，即函数的定义域为，又函数表示开口向上，对称轴方程为的抛物线，且在上单调递增，又因为函数在上单调递增，所以函数的单调增区间是.故选：C.4.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.5.已知不等式ax2+bx-a3<0的解集是{x|x>9或x<-1}，则a+b的值为（）A.-27 B.-21 C.27 D.21【答案】D【解析】【分析】依题意9和为方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解之即可.【详解】依题意9和为方程的两根且，所以，解得（舍去）或，所以；故选：D6.设函数f（x）=x-+1在[1，4]上的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据单调性的性质可得在[1，4]上为增函数，代入端点值即可得解.【详解】由在[1，4]上单调递增，且在[1，4]上单调递减，根据单调性的性质可得f（x）=x-+1在[1，4]上单调递增，所以由f（1）=0，f（4）=，故值域为，故选：C7.设正实数满是，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据可得，利用“1”的用法，结合基本不等式计算即可求解.【详解】由，得，所以，因为，所以，则，即，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故选：A.8.已知函数，若对所有，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，由此可令，判断其单调性和奇偶性，进而将不等式化为得到，结合恒成立问题以及一次函数性质，即可求得答案.【详解】由可得，令，满足，即为奇函数，且为单调递减函数，由可得，即，即，对所有，都有成立，即对所有，都有成立，即，故需满足或，解得或，故实数的取值范围是，故选：A.二、多项选解题（共4个小题，每小题5分，共20分.每小题的四个物项中，有多个符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】用不等式的性质或使用特例排除法，逐一验证选项.【详解】和都无法比较与的大小，故选项A和选项B错误；由，则，由，则，所以时，有，选项C正确；当，时，满足，但不满足，选项D错误.故选：ABD10.下列函数中，既具有奇偶性，又在（0，）上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义以及常见函数的单调性，可得答案.【详解】对于A，的定义域为，由，则函数为奇函数，根据反比例函数的性质，易知函数在上单调递减，故A正确；对于B，，任意取，设，易知，故，则函数在上单调递增，故B错误；对于C，由，则其定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，，易知函数在上单调递减，故C正确；对于D，当时，，则函数不具备奇偶性，故D错误.故选：AC.11.设函数，存在最小值时，实数的值可能是（）A.2 B.-1 C.0 D.1【答案】BC【解析】【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【详解】解：当时，，所以当时，，若，则，所以此时，即存在最小值，若，则当时，，无最小值，若，则当时，减函数，则要使存在最小值时，则，解得，综上或.故选：BC.12.德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（）A.存在常数T>0，使得对任意的x∈R，都有B.对任意的x∈R，有C.存在a，b，a+b∈[0，1]，使得D.给定正整数t，记S=，则S有个元素【答案】ABC【解析】【分析】本题中的，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素）即取值为非零有理数，要考查新定义函数的周期性，对称性，根据函数解析式，分三段分别讨论，C选项可以取满足条件的来验证.D选项主要考查对定义的理解，取进行验证即可判断.【详解】对选项A，考查函数的周期性，取，若，则，，所以满足，若为无理数，则也是无理数，满足.若为非零有理数，即，，互质，则与也互质，，满足，故A选项正确.对选项B，若为无理数，则也是无理数，所以.若，满足.若为非零有理数，，，互质，则与互质，也与互质，满足.B选项正确对于选项C，因为存在a，b，a+b∈[0，1]，取，因为为无理数，，又，故，故有.故选项C正确.对于选项D，取，即，则或1，当时，，当时，，当时，，当时，，则，有7个元素，不满足=8个元素，故D错误故选：ABC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=x2-1，则f（0）+f（-2）=_________.【答案】-3【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求解.【详解】由题意：当时，，根据奇函数的定义有：当时，，，；，，；故答案为：.14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.【答案】【解析】【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解.【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域是.故答案为：15.若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立条件关系即可得到结论.【详解】当时，为增函数，此时最小值，要使在R上单调递增，，即，即.故答案为：16.已知在上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据题意将函数解析式化为，分类讨论当、、、时函数的单调性，结合图形和二次函数的性质得出函数的值域即可求解.【详解】由，得，当时，函数在上单调递增，所以在上单调递增，如图所示，由图可知，函数在上只存在最大值，不符合题意；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，如图所示，由图可知，函数在上只存在最大值，不符合题意；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，如图所示，由图可知，函数在上存在最大值，最小值，符合题意；当时，，函数在上单调递增，只存在最大值，不符合题意；综上，实数a的取值范围为.故答案为：.四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程邮城演算步骤.）17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用并集的定义求解即可；（2）利用交集定义求解即可.【小问1详解】当时，，所以.【小问2详解】由得或，解得或.18.已知函数.（1）求的定义域和值域；（2）判断与的关系，并证明.【答案】（1）定义域为，值域为；（2），证明见解析.【解析】【分析】(1)根据分式的意义可得，解之即可得出函数的定义域；若，则，若，则，将分别求出当、时函数的值域，进而得出结果；(2)根据函数解析式，分别求出的解析式，即可判断.【小问1详解】由，解得，所以函数的定义域为；若，；若，，当时，，则，所以；当时，，则，所以，综上，函数的值域为；【小问2详解】，证明如下：因为，所以，，所以.19.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x2+x.（1）当x>0，求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+ax在x∈（0，1]上的最大值为2，求实数a的值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】(1)设，则，根据题意求出，再利用函数的奇偶性即可求出；(2)根据题意，将问题等价转化为在上的最大值为2，根据二次函数的对称轴所在的区间进行分类讨论即可求解.【小问1详解】设，则，因为当时，，所以，又因为函数为上的奇函数，所以，所以当时，函数的解析式为.【小问2详解】因为在上的最大值为2，由（1）可知：也即在上的最大值为2，因为函数开口向下，且对称轴为，又因为，要使在上的最大值为2，则对称轴大于零，当，也即时，，解得：不存在；当，也即时，，解得：，综上可知：当在上的最大值为2时，实数的值为。20.网红城市重庆现已成为许多外地游客必经之地，在游玩结束后许多旅客会乘坐大巴离开.已知某重庆长途汽车候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位:小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为.（1）求的表达式；（2）考虑到群众的身体健康，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为P=，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?【答案】（1）；（2），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件，分段求解，即可求得的表达式；（2）根据（1）中所求，分段讨论的最小值，即可求得结果.【小问1详解】由题可知：时，；当时，设，又，即，解得，故此时；综上所述：.【小问2详解】根据（1）中所求，可得，当时，，当且仅当，即时取得最小值；当时，单调递减，故当时，取得最小值；又，故当时，取得最小值，也即时需要提供的矿泉水瓶数最少.21.已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立.（1）求（2）类比以下比较与的大小关系，尝试判断的单调性，并用定义证明；，所以.（3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）0（2）函数在上单调递减，证明见解析（3）【解析】分析】（1）令，代入恒等式中求解即可；（2）利用函数单调性的定义以及恒等式判断并证明即可；（3）利用函数的单调性，得到存在，使得不等式成立，利用换元法，令，则存在，使得不等式成立，利用函数单调性求解即可．【小问1详解】由，令，则，解得；【小问2详解】函数在上单调递减，证明如下：设，则，所以，因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减.【小问3详解】由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，，由基本不等式，，当，即时等号成立，令，有，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，设，，，，，，，∴在上单调递增，，∴，实数m的取值范围为.22.设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.（1）求函数的解析式:（2）是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.（3）若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围.【答案】（1）；（2）是“A佳”函数，区间为；（3）.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；（2）求得，，根据函数的值域为判断为“A佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可；（3），则在上单调递减，由“A佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．【小问1详解】因为幂函数在内是单调增函数，所以，解得，所以函数的解析式为．【小问2详解】由(1)知，，