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高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市高邮市2024届高三上学期10月学情调研数学试题一、选择题1.设集合,,则()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知,集合表示所有的奇数,由交集的定义可得,故选:D.2.“函数在上为增函数”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗B〖解析〗由在上为增函数,则,所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.故选:B.3.若,则下列命题正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则〖答案〗C〖解析〗对于A中,例如:当时,满足,此时,可得,所以A不正确;对于B中,若,则,其中,而的符号不确定,所以B不正确;对于C中,若,则,因,所以,所以C正确;对于D中,若,当时,则,所以D错误.故选:C.4.荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是;而把看作是每天“退步”率都是1%,一年后是;这样,一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍,大约经过()天.(参考数据:,,)A.19 B.35 C.45 D.55〖答案〗D〖解析〗设大约经过天“进步”的值是“退步”的值的3倍,则天.故选:D.5.在中,,,则AB=()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设,又,所以故选:C.6.若关于的不等式的解集中恰有个整数,则实数m的取值范围为()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗不等式化为:,显然,否则不等式解集为空集,不符合题意,当时,不等式的解集为,依题意,在中恰有3个整数,即为3,2,1,则,当时,不等式的解集为,显然在中恰有3个整数,即为5,6,7,则,所以实数m的取值范围为.故选:D.7.若是定义域为上的单调函数,且对任意实数都有,其中是自然对数的底数,则()A.4 B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵是定义域为上的单调函数,且,∴在上存在唯一一个实数使得,于是.令,得,即.画出与的图像如图所示:由图像可知,与的图像在上只有1个交点,且是方程的解,所以,故.故选:B.8.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为,,,若,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令,则函数即为函数,的最小正周期为,最小正周期为,作出函数,的大致图象,如图,则函数的图象与直线连续的三个公共点,,,等价于的图象与直线连续的三个公共点,,,(连续的三个公共点从左到右排列),由题意不妨设,,位置如图中所示(三点位置可左右平移一个周期),即,关于直线对称,,由于,则,故,而,关于直线对称,故点横坐标为,将点横坐标代入,得,则.故选:A二、选择题9.已知全集为U,A,B是U的非空子集,且,则下列关系一定正确的是()A.且B.C.或D.且〖答案〗AB〖解析〗因为,所以,则且,,故AB正确;若是的真子集,则,则且,故C错误;因为,所以不存在且,故D错误.故选:AB.10.若正实数满足,则下列说法正确的是()A.的最小值为8B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗由题意知,正实数满足,对于A中,由,当且仅当时,即时,等号成立,所以A正确;对于B中,由,可得,所以,当且仅当时,即时,等号成立,即的最大值为,所以B错误;对于C中,由,当且仅当时,即时,等号成立,所以的最大值为,所以C正确;对于D中,由,当且仅当时,即时,等号成立,所以的最小值为,所以D正确.故选:ACD.11.已知,,给出下列结论:其中正确结论是()A.若,,且,则B.存在,使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C.若在上恰有7个零点,则的取值范围为D.若在上单调递增,则的取值范围为〖答案〗BC〖解析〗对于A,若,,且,则,故A错误;对于B,将的图象向左平移个单位长度后得到,若所得图象关于y轴对称,则,,即,,所以存在时满足条件,故B正确;对于C,由,得,若在上恰有7个零点,则,即,故C正确;对于D,由,得,若在上单调递增,则,即,故D错误.故选:BC.12.已知函数,其中是自然对数的底数,函数则()A.若,则函数的零点为B.方程有两个不同根,则C.若,则函数有个的零点D.若函数有个的零点,则〖答案〗BCD〖解析〗对于A:若,,令,当时,,无解,当时,,,所以函数的零点为和,故A错误;对于B:方程有两个不同根等价于与有两个交点,因为当时,,所以与在无交点,所以与在有2个交点,联立得,即,由,解得,故B正确;对于C:设,令,得,即,因为时,,所以当时,有两个实数根,且,如图所示,设,则与轴有两个交点,且,则,即,解得,所以当,函数有个的零点,故C正确;对于D:由C可知,当与轴有两个交点,且,函数有个的零点,则,即解得,故D正确,故选:BCD.三、填空题13.命题“”的否定是__________.〖答案〗〖解析〗根据全称命题否定知命题“”的否定是,故〖答案〗为:.14.已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,则_________.〖答案〗〖解析〗根据题意得到,故.故〖答案〗为:15.已知正实数满足,则的最小值是_________.〖答案〗〖解析〗由题设且,则,所以,当且仅当,时等号成立,所以的最小值是.故〖答案〗为:16.已知的定义域为且对于任意正数都有,且当时,,则不等式的解集为_________.〖答案〗〖解析〗因为对于任意正数都有,所以,即,,即,,即,所以是函数的零点,令,则,即是函数的零点,因为当时,,所以时,,且,任取,且,,即,因为,且,所以,所以,所以在上单调递增,所以在上单调递增,因为,所以,故〖答案〗为:.四、解答题17.已知集合,集合.(1)当时,求和;(2)记,若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:(1),,或,,,,,当时,,,.(2)是的充分不必要条件,是的真子集,或,或,的取值范围是或.18.已知.(1)求的单调递增区间;(2)在中,角所对的边为.若,求.解:(1)化简得令,得到,所以的增区间为.(2)由,得,在中,由且,所以,所以,又,所以.19.高邮市某中学开展劳动主题德育活动,某班统计了本班学生1至7月份的人均月劳动时间(单位:小时),并建立了人均月劳动时间(单位:小时)关于月份的线性回归方程,与的原始数据如表所示:月份人均月劳动时间由于某些原因导致部分数据丢失,但已知.(1)求,的值;(2)如果该月人均劳动时间超过13(单位:小时),则该月份“达标”.从表格中的7组数据中随机选5组,设表示“达标”的数据组数,求的分布列和数学期望.参考公式:在线性回归方程中,解:(1),,,则①,而,所以,整理得②,由,则③,由②③得,故④,由①④得.(2)由题意,可能取且,,,的分布列为123所以.20.如图:在五面体中,已知平面,,且,.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面的余弦值.(1)证明:分别取、的中点、,连、、,如下图所示:由、,可知;又、分别是的中点、,所以,且,由,可得,;即四边形为平行四边形,因此,;因为平面,所以,又所以,平面;即平面,又平面,可得平面平面.(2)解:由(1)可知平面,且,即;因此三条直线两两垂直,以点为坐标原点,为轴、轴、的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,易得;所以,设平面的法向量,则,解得,令,可得,即,从而,设直线与平面所成的角为,则,所以;所以直线与平面的余弦值为21.内角的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)是边上一点,且,求面积的最大值.解:(1)在中,由,根据正弦定理可得因为B为三角形内角可知,,且,所以,即因为A为三角形的内角,,故;所以,即.(2)是边上一点,且,所以;如下图所示:中,由余弦定理可得,中,由余弦定理可得,因为;所以可得整理可得,中,由余弦定理可得;联立两式可得,当且仅当时取等号,此时,所以,所以面积的最大值为.22.《判定树理论导引》中提到“1”型弱对称函数:函数定义域为,且满足设函数(1)若是“1”型弱对称函数,求m的值;(2)在(1)的条件下,若有成立,求的范围.解:(1)是“1”型弱对称函数(2)由

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