专题02 全等三角形的判定（1）（知识串讲+8大考点）原卷版

专题02全等三角形的判定（1）考点类型知识串讲（一）全等三角形的判定——SSS（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定——SAS（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）（2）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:图12-2-6在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′∠A=∠AAC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等（三）尺规作图（1）作一条线段等于已知线段已知：线段，作一条线段，？作法：①用直尺画射线②用圆规在射线上截取∴线段AB即为所求（2）作一个角等于已知角已知：求作：作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；②作射线③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与⑤过作射线,为所求考点训练考点1：用SSS证明三角形全等典例1：（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图AB=AC，BD=CD，求证：∠ABD=∠ACD【变式1】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)求证：AB∥DF．【变式2】（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A、M、N、C在同一条直线上，AB=CD，BN=DM，AM=CN，求证：AB∥考点2：全等的性质与SSS综合典例2：（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，BC=DE，∠C=48°，求∠D．【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）阅读下题及证明过程．已知：如图，AB=AC，∠ABP=∠ACP，求证：∠BAP=∠CAP．证明：∵AB=AC，∠ABP=∠ACP∴△PAB≌△PAC∴∠BAP=∠CAP

第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．【变式2】（2022秋·天津宁河·八年级天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知：如图，AB=AE，(1)求证：△ABC≌(2)求∠ADC的度数．【变式3】（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）如图，已知AB=DC，AC=DB，求证∠1=∠2．考点3：用SAS证明三角形全等典例3：（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，点E在AD上，DC=DE．求证：∠DAC=∠DBE．【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，【变式2】（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，△ABE与△CDF全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1)你添加的条件是__________．(2)证明过程：考点4：全等性质与SAS综合典例4：（2023春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．(1)试说明：AC∥(2)若BF=10，EC=2，求BC的长．【变式1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）如图，AD，BC相交于点O，且OB=OC，OA=OD．延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证：BE∥【变式2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）【变式3】（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE=AB，连接AE，若∠DAE=∠ABD，AE=AC．求证：AD=BC．考点5：尺规作图——作边典例5：（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）如图，已知线段a和线段AB．(1)延长线段AB到C，使BC=a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=4，点O是线段AC的中点，求线段【变式1】（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知线段a，b．作一条线段AB，使它等于b-2a．【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知线段AB．(1)请用尺规按下列要求作图：①延长线段AB到C，使BC=AB，②延长线段BA到D，使AD=AC（不写画法，但要保留画图痕迹）(2)请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系；(3)如果AB=2cm，请求出线段BD和CD【变式3】（2022秋·福建莆田·七年级校联考期末）已知：如图，线段a和线段b(1)尺规作图：求作线段AB=a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC=a-b；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹)(2)若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长(用含a、b的式子表示)．考点6：尺规作图——作角典例6：（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，已知△ABC，∠C=45°，AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点【变式1】（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知∠ABC，O为射线BA上一点，在∠ABC内部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）【变式2】（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知∠ABC及AB上一点A，(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．【变式3】（2023·山西·模拟预测）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．考点7：尺规作图——作三角形典例7：（2023春·全国·七年级专题练习）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．已知：△ABC与射线A1求作：△A1B【变式1】（2021秋·河南商丘·八年级校考期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得（2）以点A'为圆心，在射线A'D上截取A'B（3）连接线段B'C'请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在△A'B(____)=(____)(____)=(____)∴△A'B'(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是．（填序号）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）已知：线段a，b，c；求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．【变式3】（2022春·四川成都·七年级统考期末）已知∠a=90°，线段m，n．(1)求作：Rt△ABC，使得∠A=∠a，AB=m，BC=n(2)若∠ABC的度数是∠ACB的2倍，求∠ABC的度数．考点8：尺规作图与全等综合典例8：（2021·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C作法：如图．（1）画B'（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点（3）连接线段A'B'，A请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在△A'BB∴△A'（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【变式1】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接FP，DE．∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．∴△ADE≌△__________，∴∠DAE=∠__________，∴CP//AB（【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：（1）在OA和OB上分别截取OD=（2）分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点（3）作射线OC，则有∠AOC=∠BOC．你能指出作法中的道理吗？【变式3】（2021秋·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．已知：∠AOB．求作：∠A'作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交（3）以点C'为圆心，____________________（4）过点D'画射线O'B说理：由作法得已知：OC=求证：∠证明：∵∴ΔOCD≅ΔO'C所以∠A'O【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l与直线外一点A．求作：过点A的直线l'，使得l//【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．同步过关1．（2022秋·广西玉林·八年级校考阶段练习）如图，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3，则CD等于（

）A．6 B．4 C．3 D．52．（2023秋·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对3．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，若已知AE=AC，用“SAS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（

）A．BC=DE B．AB=AD C．BO=DO D．EO=CO4．（2023秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，AB=AC，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，添加条件正确的是（

）A．∠DAE=∠BAC B．∠B=∠CC．∠D=∠E D．∠B=∠E5．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（

）A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD6．（2022秋·八年级课时练习）图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（

）A．作线段CE的垂直平分线 B．作∠AOB的平分线C．连接EN，则△CEN是等边三角形 D．作CN7．（2023秋·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）如图，已知∠BAD=∠CAD，则下列不能判定ΔABD≌ΔACDA．AB=AC B．∠B=C．BD=CD D．∠ADB=8．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则∠ADB的度数是A．60° B．71° C．75° D．76°9．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）下列不能判断两个三角形全等的条件是（

）A．有两边及一角对应相等 B．有两边及夹角对应相等C．有三条边对应相等 D．有两个角及夹边对应相等10．（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，利用尺规过点C作OA的平行线CM，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则OF=OD=CM=CE，DF=EM，可得△CEM≌△ODF，进而可以得到∠BCM=∠AOB，CM∥OA，以上作图过程中的依据不包括（A．圆的半径相等 B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等11．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD12．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL13．（2022秋·八年级课时练习）如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步；画射线BP，射线BP即为所求．下列叙述不正确的是（

）A．a>0 B．作图的原理是构造SSS三角形全等C．由第二步可知，DP=EP D．b<114．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，若∠A＝50°，则∠BDE的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为（

）A．150° B．40° C．80° D．70°二、解答题16．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求证：∠A=∠C．17．（2023春·七年级课时练习）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE=BF，AC//DF，AC=18．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图，C为线段AB外一点．（1）求作直线CD，使得CD//（2）根据作图，说明你画的直线符合要求的原因．19．（2022秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考期中）已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．20．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上．(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．21．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）如图，已知AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC．求证：△ACD≌22．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考开学考试）已知：如图，AD＝BC且AD∥BC，E、F是AC上的两点，且AF＝CE．求证：DE＝BF且DE∥BF．23．（2023秋·天津宁河·八年级阶段练习）如图，已知∠1=∠2，AO=BO．求证：AC=BC．24．（2023春·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD．（不写画法，保留作图痕迹）25．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．(1)求证：AC＝BD．(2)求∠APB的度数．三、填空题26．（2023秋