专题16 垂径定理重难点题型专训（八大题型）（原卷版）

第二十四章圆专题16垂径定理重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一利用垂径定理求值题型二利用垂径定理求平行弦问题题型三利用垂径定理求同心圆问题题型四利用垂径定理求解其他问题题型五垂径定理的推论题型六垂径定理的实际应用题型七利用弧、弦、圆心角的关系求解题型八利用弧、弦、圆心角的关系求证【知识梳理】知识点一、圆的对称性（1）对称中心圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）对称轴经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。（3）垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；几何语言：垂径定理的几个基本图形：垂径定理在基本图形中的应用：2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点二、确定圆的条件1．过已知点作圆条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.【经典例题一利用垂径定理求值】1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（

）

A．3 B．4 C．1 D．22．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（

）

A．12 B．15 C．16 D．183．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是．

4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则．

5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．(1)求证：．(2)若，，求的半径．6．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为___________．(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．【经典例题二利用垂径定理求平行弦问题】1．（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或42（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是A．5 B．6 C．7 D．83．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是cm．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为cm．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：．【经典例题三利用垂径定理求同心圆问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（）A．点D B．点E C．点F D．点G2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B． C． D．3．（2019·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是．4．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．6．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）（1）如图①，为等边三角形，若，则的面积为__________；（2）如图②，在矩形中，．如果点P是边上一点，且，那么边上是否存在一点Q，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；（3）如图③，有一个平行四边形花园米，米，，点E在边上，且．现需在花园内开辟四边形区域种植一种红色花卉．根据设计要求，F为花园内（含边界）一点，满足，同时过点F修建一条笔直的小路（点G、H为该花园入口，其中点G、H分别在平行四边形的边、上），且使平分该平行四边形花园的面积．那么是否存在这样的点F，使四边形的面积最大且使平分该平行四边形花园的面积？若存在，请求出此时四边形的面积及线段的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计）【经典例题四利用垂径定理求解其他问题】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．32．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（

）A． B． C．11 D．153．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则cm．

4．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．（1）线段的长为．（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图：①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为；②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．

(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．6．（2023春·全国·九年级专题练习）在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．

(1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；(2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．【经典例题五垂径定理的推论】【例5】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（

）．A．48 B．45 C．42 D．402．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是．3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．【经典例题六垂径定理的实际应用】【例6】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．下面的说法正确的是（

）A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．两人都不对 D．两人都对2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是；②“图上”太阳升起的平均速度为厘米/分．3．（2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线上的点在圆心的正下方，筷子与右下方交于，两点，线段，分别垂直于点，．测得，，则圆盘的半径为．4．（2022秋·广西河池·九年级统考期末）将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上．(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；(2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径．5．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）【经典例题七利用弧、弦、圆心角的关系求解】【例7】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（）

A． B．C． D．【变式训练】1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（

）A．2 B． C．1 D．2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D（1）＝；（2）当点D恰好为的中点时，＝．3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则．4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D，(1)__________；(2)当点D恰好为的中点时，__________．5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．我们由定理可以进一步得出结论：，，．定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．探究问题：如图，在和中，，，，连接交于点，交于点，连接．(1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度；(3)若，求证．【经典例题八利用弧、弦、圆心角的关系求证】【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点