有群群的饱和群系fpc

有群群的饱和群系fpc

在本手册中，考虑到的组是有限的（不需要可理解）。假设为饱和组系，g是组。当g成为一个f-正式的子组时，如果g是混合的（m），则m称为f-正式的子组。g是称为二级正式g的子组。当存在较大链h=u0u1，<un=g，正式为iu，i.1，2，……n.h被称为正式的子组。当hxohg时，反hxy是y的一个子组。特别是，g是正式的第二次正式和反向正式的，g是唯一的异组。设H≤K≤G.如果H在K中次正规而K在G中次正规,则H在G中次正规.这样,对于任意X≤G,由于G为次正规,可以找到G的包含X的次正规子群S,使得S中包含的X的真子群均非次正规于S.定义0.1群G的子群对(X,S)称为G的一个链,如果次反正规于S并且次正规于G.定义0.2群G称为群,如果对于G的每一个子群X都有G的链(X,S).用表示所有群作成的类.考虑情形(幂零群系).显然,次正规子群一定次正规.但反之不真.例如,SL(2,5)的中心次正规但非次正规.对于群,次正规与次正规是一致的.事实上,这个结论对可解群类成立,而每一个群可解(见推论2.2).以下是本文使用的一些记号.除非特别说明,文中的记号与术语均是标准的:所有有限群作成的类;所有有限Abel群作成的类;的所有投射子作成的集合;的所有覆盖子群作成的集合;的剩余;在G中所有极小补作成的集合;K[H]:群K通过群H的可裂扩张;M<·G:M是G的极大子群.文献中定义了群类当且仅当G的每个子群次正规或次反正规.用本文的术语,当且仅当对于每一个X≤G,G有链(X,X)或(X,G).因此,群是群的平凡情形.群已经被刻画.定理A设是子群闭的饱和群系,则下列陈述等价:(i)(ii),且只要,便有;(iii),且只要,便有.文献研究了一些特殊的群.特别地,当是可解p-幂零群类(p为奇素数)时,给出了群的结构.G的子群F称为G的一个投射子,如果对于任意,FN/N在G/N中极大.如果对于任意F≤H≤G,F都是H的投射子,则F称为G的覆盖子群.投射子不一定是覆盖子群,且一般地覆盖子群不一定存在.然而,群确有覆盖子群,并且一致于投射子.1预备引理引理1.1设为子群闭群系,则(i)如果H是G的次正规子群且H≤K≤G,则H在K中次正规;(ii)如果H在G中次正规且,则HN/N在G/N中次正规;(iii)如果H在G中次反正规且,则HN/N在G/N中次反正规.证(i)对G用归纳法.情形H=G是平凡的.假设H<G.由假设,次正规于G,故存在G的正规极大子群M,M包含H且H在M中次正规.当然.因为子群闭,所以.由此得,这样,M∩K在K中次正规.另一方面,归纳假设隐含次正规于M∩K.从而H在K中次正规.(ii)和(iii)由定义可得.引理1.2G的次正规子群的交在G中次正规,其中是子群闭群系.引理1.2断言G的子群H的次正规闭包,即G的包含H的所有次正规子群的交,是G中包含H的唯一最小次正规子群.引理1.3设为饱和群系,则(i)如果F∈μ(G),则且,其中Φ(F)是F的Frattini子群;(ii)当且仅当且F在G中次反正规.如果F是G的投射子,则,故F是在G中的补.对于在G中的所有极小补都是G的投射子这种极端情形,有如下结论:引理1.4设为饱和群系.如果,则证(i)对于任意,故F包含在G中的一个极小补,设为H.由假设,.这样,F=H∈μ(G).(ii)由定义,,故仅需证明,即对于任意证明F≤H≤G时首先,有,于是设K是在H中的极小补,此时由引理1.3(i),,且.这样可以找到在G中的一个极小补Y≤K.由假设.特别地,Y在G中极大,进而.由此得出如果,因为K是在H中的极小补,故K=1,这是平凡情形.假设.设M是H之包含的任一极大子群并且令K0=K∩M,此时.另一方面,因为,故对于任意m∈M有m=kh,其中,k∈K,.由此,通过,有k=mh-1∈M,进而,这样,.假设K0<K1<K,因为K是在H中的一个极小补,所以是H的含有M的真子群.由M的极大性,有,进而K0=K1,矛盾.由此得出K0是K的极大子群.于是对于H的包含的极大子群M,有Φ(K)≤K0≤M.这样,得出含在的每个极大子群中,断言得证.此时且得引理1.5假设且,其中为子群闭饱和群系.如果(X,S)是G的链,则(XN/N,SN/N)是G/N的链.特别地,F一个同态.证首先,因为S在G中次正规,所以由引理1.1得SN/N在G/N中次正规.其次,有由引理1.1,因为X在S中次反正规,故X(S∩N)/S∩N在S/S∩N中次反正规.这样XN/N在SN/N中次反正规.由定义,(XN/N,SN/N)是G/N的一个链,于是是一个同态.2Fpc-群的一个特征性质本节证明定理2.2,它是文献中定理1.6的推广.定义2.1(i)称群G具有性质(P),如果;(ii)称群G具有性质(C),如果由引理1.4知G具有性质(P)当且仅当它具有性质(C).定理2.1设为子群闭饱和群系,.对于每个X≤G,设(X,S)是G的链,则S是X在G中的次正规闭包.证设H是G的包含X的次正规子群.由引理1.2,Y=S∩H在G中次正规，进而由引理1.1,Y也次正规于S.但X≤Y≤S且由定义次反正规于S.由此得出Y=S.于是S是X的次正规闭包.定理2.2设为子群闭饱和群系,则下列陈述等价:(i)(ii)G的每个次正规子群具有性质(P);(iii)G的每个次正规子群具有性质(C).证(i)⇒(ii):首先证明G具有性质(P).由引理1.3(i),对于任意F∈μ(G)有且.假设有子群K和H,使得F≤K<·H≤G且K在H中正规.设(K,S)是G的一个链.由定义K在S中次反正规而S在G中次正规.这样由于K并非次反正规于G,故S<G,所以G中存在包含S的极大子群M,使得M是正规的,即,这样,,所以,这是一个矛盾.上述证明得出F必定次反正规于G.现在由引理1.3(ii)知,F是G的覆盖子群.特别地,F是G的投射子,即.由F的任意性得.于是由引理1.4得到,即G具有性质(P).现在设H是G的次正规子群.由上面讨论,仅需证明.设X是H的子群,此时存在G的链(X,S).由定理2.1,S是X在G中的次正规闭包,故.由引理1.1知S也是H的次正规子群,进而(X,S)是H的链.这就证明了.(ii)⇒(iii):由引理1.4立得.(iii)⇒(i):对|G|用归纳法.设X≤G.往证G有链(X,S).首先,设｜此时X包含在G中的一个极小补,设为F.由假设,.于是由引理1.3知F,并且因此次反正规于G.由此推出(X,G)是G的链.现在设.记.因为是子群闭,故次正规于G.于是由假设,M具有性质(C).由归纳假设可以看出M有一个链(X,S).由定义,-次正规于M,进而次正规于G.故(X,S)是G的链.因为对于任意有限群G,μ(G)非空,定理2.2说明对于中的群必存在F-覆盖子群并且一致于投射子.推论2.1设为子群闭饱和群系且,那么,(i)假设H是G的次正规子群,则存在G的子群F,使得(F,H)是G的链;(ii)设F≤G且,则F是F在G中的次正规闭包的覆盖子群;(iii)设的特征为,则{1}在G中的次正规闭包是G的唯一极大子群.证(i)由定理2.2,,故可以找到H的一个覆盖子群F.由引理1.3,F在H中次反正规.这样,由定义,(F,H)是G的链.(ii)设S是F在G中的次正规闭包,则由定理2.1,(F,S)是G的链.由定义,F在S中次反正规.由引理1.3(ii)得(iii)设V是G的极大子群而(V,S)是G的链.由定理2.1,S是V在G中的次正规闭包.断言否则,存在整除|S|的素数p,使得,故含有p阶循环群.现在设P是S的p阶循环子群,则,而子群{1}在P中正规.另一方面,由定理2.2,.这样,S有链({1},S0).自然,,所以S0<S,于是.因为子群闭,子群在S中次正规.但V在S中次反正规,故得.这样V包含在S中的一个极小补F>1.由引理1.3(i),,这与的假设矛盾.因此有,从而由V的极大性推出S=V.因为{1}是V中唯一的子群,故由(i),V是{1}的次正规闭包.推论2.2中的每个群可解.证对G的阶用归纳法.设P是G的p阶子群,其中p为素数.此时{1}在P中次正规.设(1,S)是链,这样,.因此G有包含S的极大子群M,使得M在G中正规,即.由定理2.2,.于是由归纳,M可解,得G可解.3情形这一节假设,即p-幂零群类,其中p为素数.显然,为子群闭饱和群系.定理3.1给出了时群的结构.引理3.1设且,则Op(G)>1.证由定理2.2,.因为,故G非p-幂零,特别p||G|.于是可以找到G的一个p阶子群P,且显然单位元群{1}在P中次正规.设({1},S)是G的链,则,进而S<G.故存在G的包含S的极大子群L,使得L在G中正规,从而.如果,由归纳可得,进而为所求.由此可假设,也就是说,为p-幂零.如果,因为为p-幂零,故G包含指数为p的正规子群K.因假设G不是p-幂零,推出K也不是p-幂零.显然,K在G中正规.由定理2.2,,归纳得Op(K)>1,这样,Op(G)≥Op(K)>1为所求.于是可以假设是p′-群.设P为G的Sylowp-子群.因为为p-幂零,由上面讨论可知,且,其中H是的正规p-补,并且.另一方面,由Frattini论断知,,又由Schur-Zassenhaus定理知,NG(P)有一个p-补F,使得NG(P)=[P]F.所以.考虑子群FH,如果FH=F,则G=PHF=PF=NG(P),即Op(G)=P>1为所求.这样,可以假设F<FH.因为H和F都是p′-群,故FH也是p′-群.特别地,,进而F在FH中次正规.现在设(F,S)是G的链.那么由定义,F在S中次反正规,进而.于是G存在包含S的极大子群L,使得L在G中正规,这就有,产生矛盾:下面的定理是本节的主要结果,它推广了文献中的定理A.定理3.1设,则G是半直积其中(i)是p-群,且(ii)证情形是平凡的.假设,由引理3.1,Op(G)>1且由引理1.5,.因为Op(G/Op(G))=1,再次应用引理3.1得.于是,(i)得证.用记的正规p-补.此时是H的Sylowp-子群.由Schur-Zassenhaus定理,,其中K是H的p′-Hall子群.显然,K是G的p-补.由Frattini论断.下面证明假设.显然,子群且K<KD.设,则H在G中次正规,进而由定理2.2,现设(K,S)是H的链.由定义,K在S中次反正规,而且显然次正规于故S<H,H有包含S的极大子群M,使得M在H中正规,于是.由此得.于是由(因为子群闭)得.另一方面,因为K是G的p-补且为p-幂零,故正规于G且G/H是p-群.注意到是p-幂零群,知必为p-幂零,由此推出,矛盾.现在可断言是半直积.特别地,NG(K)是在G中的极小补.由定理2.2,有推论3.1证由定理3.1得.假设,即是Abelp-群.需证明:对于任意X≤G,G有链(X,S).首先设.仅需证明次反正规于G,因为它保证(X,G)是G的链.设此结论不成立.由定义,G有两个子群Y和U,使得X≤Y<·U≤G且正规于,又因为是p-群,故|G∶Y|为p的幂.特别地,|U∶Y|是p的幂.现在,即是p-幂零的.设是的正规p-补.如果,由于Y在U中极大,故.因此,是p的幂,由是p′-群知这不可能.由此可得,是p-群,这说明.由,可以看出有正规p-补,由Schur-Zassenhaus定理知,Y有p-补H.显然,H也是G的p-补.现在证明事实上,由及Y<U,有,进