河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第五章第1节多边形与平行四边形

第五章四边形第一节多边形与平行四边形【课标要求】☆了解多边形的定义及相关概念；探索并掌握多边形的内角和与外角和公式．☆了解正多边形的概念．☆理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性．☆探索并证明平行四边形的性质定理及判定定理．【教材对接】人教：八上第十一章P19～26，八下第十八章P41～51；冀教：八下第二十二章P116～129，P150～154；北师：八下第六章P134～149，P153～157.多边形1．多边形及其性质n边形(n≥3)定义平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形性质(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°(内角和定理)；(2)n边形的外角和等于360°(外角和定理)；(3)过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有eq\f(n（n－3）,2)条对角线2.正多边形及其性质正n边形(n≥3)定义在平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形性质(1)各边相等，各内角相等；(2)每个内角的度数都是eq\f(（n－2）×180°,n)，每个外角的度数都是eq\f(360°,n)；(3)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形；(4)正n边形有n条对称轴；(5)正n边形有一个外接圆和一个内切圆，为同心圆【方法点拨】多边形的内角和随着边数的增加而增加，而外角和是定值(360°)，不会随边数的变化而变化．已知多边形的内角和求边数时，可以利用内角和公式列方程求解．若已知一个多边形的各个内角均相等，且知道其中一个内角，求边数时，常由其一个内角度数求出一个外角的度数，再用360°除以这个外角的度数．【基础练1】(1)(2021·唐山路南区二模)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个图形是(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))(2)(2021·连云港中考)正五边形的内角和是(B)A．360°B．540°C．720°D．900°(3)(2021·陕西中考)正九边形一个内角的度数为140°．3．平面图形的镶嵌：用一种或几种形状、大小不同的平面图形进行拼接，彼此之间既无空隙、也不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面图形的密铺．(1)多边形中，任意一些形状、大小相同的三角形和四边形可分别镶嵌平面．(2)正多边形中，任意一些边长相同的正三角形、正四边形和正六边形可分别镶嵌平面．(3)多种多边形进行平面镶嵌，只需保证以某个顶点为中心的各个多边形的内角和等于360°即可．【方法点拨】要使单一的正多边形能进行平面镶嵌，只需使eq\f(360,\f(（n－2）·180,n))的结果为整数即可，即eq\f(2n,n－2)的结果为整数．【基础练2】一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个正多边形分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是4．平行四边形及其性质与判定4．平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，如图①所示的▱ABCD.5．平行四边形的性质文字描述字母表示(参考图①)(1)对边平行且相等AB綊CD，AD綊BC(2)对角相等∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC续表文字描述字母表示(参考图①)(3)邻角互补∠DAB＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠CDA＋∠DAB＝180°(4)对角线互相平分OA＝OC，OB＝OD(5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点(O)(6)面积＝底×高【温馨提示】(1)每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形；(2)两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形；(3)任意一条经过对角线交点的直线均平分平行四边形的面积．【基础练3】(2021·南充中考)如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F.下列结论成立的是(A)A.OE＝OFB．AE＝BFC．∠DOC＝∠OCDD．∠CFE＝∠DEF6．平行四边形的判定文字描述字母表示(参考图①)(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)eq\a\vs4\al(四边形ABCD是平行四边形)(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形eq\a\vs4\al(四边形ABCD是平行四边形)(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形eq\a\vs4\al(四边形ABCD是平行四边形)(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形四边形ABCD是平行四边形(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形eq\a\vs4\al(四边形ABCD是平行四边形)【基础练4】不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(A)A．AB∥CD，AD＝BCB．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BCD．∠A＝∠C，∠B＝∠D【方法点拨】(1)平行四边形中辅助线的作法：①连接对角线或平移对角线，构造相等线段或平行线．②截取等长线段，构造等腰三角形．③过顶点作对边的垂线，构造直角三角形(如图1)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))④连接对角线交点与一边中点或过对角线交点作一边的平行线，构造中位线或平行线(如图2)．⑤连接顶点与对边上一点或延长顶点与邻边上一点的连线，构造相似三角形．⑥过顶点作对角线的垂线，构造平行线或全等三角形或平行四边形．(2)平行四边形中的四个面积关系：eq\a\vs4\al(多边形的概念及计算)【例1】用若干个全等的正方形和正三角形按如图所示的方式进行拼接，围成一圈后中间形成一个正多边形，则该正多边形的内角和为720°．【解题思路】根据题意可求得围成一圈后中间正多边形的每个内角度数为360°－90°－60°－90°＝120°.再利用多边形内角和公式或外角和可求得该多边形的边数，进而可求得该正多边形的内角和．1．(2021·衡阳中考)下列命题是真命题的是(B)A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120°C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形2．(2021·唐山路南区三模)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD，CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a－b的值为(C)A.0B．2C．1D．eq\r(3)3．(2021·丽水中考)一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是6或7.eq\a\vs4\al(平行四边形的性质与判定)【例2】如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，BC＝13，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；(2)若BD＝BC，求四边形BDFC的面积．【解题思路】(1)证明△BEC≌△FED(AAS)，可得BE＝FE或BC＝DF，即可得出结论；(2)由全等三角形的性质得出DF＝BC＝13，由勾股定理求出AB的长，由平行四边形的面积公式即可得出答案．【解答】(1)证明：∵BC∥AF，∴∠CBE＝∠DFE.∵点E是边CD的中点，∴CE＝DE.又∵∠BEC＝∠FED，∴△BEC≌△FED(AAS).∴BE＝FE.∴四边形BDFC是平行四边形；(2)解：由(1)知，△BEC≌△FED.∴DF＝BC＝13.∵BC∥AF，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°.∵BD＝BC＝13，AD＝5，∴AB＝eq\r(BD2－AD2)＝eq\r(132－52)＝12.∴S四边形BDFC＝DF·AB＝13×12＝156.【方法点拨】判定平行四边形的基本思路(1)若已知一组对边平行，可以证明这一组对边相等，或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证明这一组对边平行，或另一组对边相等；(3)若已知条件与对角线相关，可考虑证明对角线互相平分；(4)若已知一组对角相等，可以证明另一组对角相等．4．(2021·唐山丰润区一模)如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为(D)A．40°B．50°C．60°D．70°5．(2021·湘西州中考)如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是40°．不能灵活、恰当地运用平行四边形的性质与判定【例】如图，已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，点B，C，F，E在同一直线上，AF交CD于点O，若BC＝10，AO＝FO，则CE的长为()A.5B．10C．15D．20【错解分析】本题的关键是根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝EF，再利用三角形中位线得出CF＝FE即可．因对平行四边形的性质不熟练而无法解得CE的长．【正确解答】D1．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AD∥BC，给出下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠DAB＝∠DCB；④AD＝BC；⑤∠OAD＝∠ODA.从中选1个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(B)A．2种B．3种C．4种D．5种2．(2021·天津中考)如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是(C)A.(－4，1)B．(4，－2)C．(4，1)D．(2，1)多边形性质的相关计算(5年5考)1．(2019·河北中考)下列图形为正多边形的是(D)2．(2021·河北中考)如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边形ABCDEF的值是(B)A.20B．30C．40D．随点O位置而变化3．(2020·河北中考)正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝12．平行四边形的判定及性质的相关计算(5年3考)4．(2020·河北中考)如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：小明