河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第七章模型特训7几何最值模型

模型特训七几何最值模型eq\a\vs4\al(利用垂线段最短求最值)1．如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为(C)A．(0，0)B.(eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2))C．(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))D．(－eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2))2．如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD＝1，AB＝2，则PA＋PB＋PM的最小值是3．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2eq\r(3)，∠B＝60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为20.利用轴对称求最值(两点之间线段最短)(一)“两定一动”求距离和最小【模型点拨】(1)如图1，在直线l上找一个动点P，使得PA＋PB最小．连接AB，交直线l于点P，点P即为所求，此时PA＋PB＝AB；(2)如图2，在直线l上找一个动点P，使得PA＋PB最小．作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求，此时PA＋PB＝AB′.4．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，腰长为8，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP＋CP的最小值为(B)A．6B．8C．10D．14eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第5题图）))5．(2021·衡水模拟)如图，菱形ABCD的边长是4cm，且∠ABC＝60°，E是BC中点，P点在BD上，则PE＋PC的最小值为(B)A．2cmB．2eq\r(3)cmC．3cmD．4cm6．如图，正△ABC的边长为1，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上的一个动点，则AD＋CD的最小值为(A)A.2B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．1＋eq\r(3)(二)“两定一动”求距离差最大【模型点拨】(1)如图1，在直线l上找一动点P，使得|PA－PB|最大．连接AB，交直线l于点P，点P即为所求，此时|PA－PB|＝AB；(2)如图2，在直线l上找一动点P，使得|PA－PB|最大．作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求，此时|PA－PB|＝AB′.7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则|PM－PN|的最大值为1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第7题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8题图）))8．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为4．(三)“一定两动”求距离和最小【模型点拨】点A在角的内部，在角的两边上分别取两个点M，N，使得△AMN的周长最小．分别作点A关于角两边的对称点A′，A″，连接A′A″，与角的两边分别交于点M，N，点M，N即为所求，△AMN周长的最小值为A′A″的长．9．(2021·绥化中考)已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE＋EB的最小值是(B)A．eq\f(5\r(3),2)B．eq\f(5,2)C．eq\r(5)D．eq\r(3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第9题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第10题图）))10．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在OA，OB上，且OM＝2，ON＝4，点P，Q分别在OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是2eq\r(5)．eq\a\vs4\al(利用旋转求最值)(一)图形绕定点旋转求最值【模型点拨】将△ABC绕点C旋转，得到△A′B′C，点E是BC上的点，点F为AB上的点，△ABC旋转过程中，点F对应点为F′，连接CF′，可求线段EF′长度的最大值为CF′＋CE，最小值为|CF′－CE|.11．(2021·石家庄四十三中模拟)如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB′C′，连接并延长BB′，C′C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4.(1)若记B′C′中点为点D，连接PD，则PD＝2；(2)若记点P到直线AC′的距离为d，则d的最大值为2＋eq\r(3)．【解题技巧】(1)由直角三角形的性质即可得出PD＝eq\f(1,2)B′C′；(2)连接AD，作DE⊥AC′于点E，当P，D，E三点共线时，点P到直线AC′的距离d最大．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第11题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第12题图）))12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的最小距离为3eq\r(2)cm.(二)点或线段绕定点旋转求最值【模型点拨】已知点O，A为定点，线段OP绕点O旋转．当线段OP运动到OP′处时，线段AP取得最小值；当线段OP运动到OP″处时，线段AP取得最大值．13．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA＝eq\r(3)，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于(B)A．eq\f(3,2)B．eq\r(6)C．eq\f(\r(3),2)D．2eq\r(3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第13题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第14题图）))14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4eq\r(5)，D为边AC上一动点(C点除外)，把线段BD绕点D沿顺时针方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为(B)A．16B．8C．32D．1015．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝1，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为(A)A．eq\f(5\r(2),2)B．4C．2eq\r(2)D．eq\f(3\r(2),2)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第15题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第16题图）))16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，点B(0，6)，动点C在半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D(其中点C，O，D按