七年级下学期-相交线复习

相交线一、目标认知学习目标：

掌握两条直线相交的情形，了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握“对顶角相等〞的结论；理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，理解并能运用“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞“垂线段最短〞等结论，理解点到直线的距离的概念，了解两条直线被第三条直线所截的情形，掌握同位角、内错角、同旁内角的概念。

重点：

垂线的概念，理解与相交线、平行线有关的角的知识，因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的．

难点：

推理能力的培养，在本章，不仅要求通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要求“说理〞和“简单推理〞，把它作为探究结论的自然延续．

二、知识要点梳理知识点一：对顶角、邻补角概念及性质1．对顶角的概念定义1：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。如图1，∠1的两边是OA和OC，∠2的两边是OB和OD，所以∠1和∠2是对顶角，∠1和∠3有一边OA是公共的，所以∠1和∠3不是对顶角。

定义2：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角，如图1，∠1的两边OA和OC分别是∠2的两边OB和OD的反向延长线，所以∠1和∠2是对顶角。

要点诠释：

(1)判定两个角是否是对顶角，不但要看这两个角是否是两条直线相交所得到的，还要看这两个角是不

是有公共顶点而没有公共边，符合这两条时，才能确定这两个角是对顶角，对顶角是成对的，是具

有特殊位置关系的两个角。

(2)两条直线相交所构成的四个角中，共有2对对顶角，如图1中，∠1和∠2、∠3和∠4。

2．邻补角的概念定义1：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。如图2，∠1与∠2有公共顶点O，有一条公共边OC，所以∠1和∠2是邻补角。

定义2：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角，如图2中的∠1和∠2。

要点诠释：

(1)邻补角的“邻〞就是“相邻〞，就是它们有一条“公共边〞，“补〞就是“互补〞，就是这两角的

另一条边在同一条直线上。

(2)判定两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共的，另外两边互为反向延长

线，如图2，∠1和∠2公共边是OC，OA和OB互为反向延长线。

(3)邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角。也就是说，邻补角一定是互补的两个角，互补的两个角不一定是邻补角。

(4)两条直线相交所构成的四个角中，有4对邻补角。如图1,∠1和∠3,∠3和∠2,∠2和∠4,∠4和∠1。

3．对顶角、邻补角的性质

邻补角的性质：邻补角互补；对顶角的性质：对顶角相等。

要点诠释：

〔1〕如图1，∠1与∠3互补且∠1与∠3是邻补角，所以得到邻补角的性质：邻补角互补。但互补的两个

角不一定是邻补角。

〔2〕如图1，∠1与∠3互补，∠2与∠3互补，即∠3的补角是∠1与∠2，根据“同角的补角相等〞可得

出∠1＝∠2，这样得到对顶角的性质：对顶角相等。

上面这个结论，用推理格式可写成：

∵∠1与∠3互补，∠2与∠3互补(邻补角的定义)，

∴∠1＝∠2(同角的补角相等)

4．归纳小结角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角

②有一个公共顶点；

③没有公共边对顶角相等①都是两条直线相交而成的角；

②都有一个公共顶点；

③都是成对出现的①有无公共边

②两直线相交时，对顶角有2对；邻补角有4对.邻补角①两条直线相交而成；

②有一个公共顶点；

③有一条公共边邻补角互补知识点二：垂直及相关概念1．垂线的概念

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

如图3，直线AB、CD互相垂直，记作AB⊥CD或CD⊥AB，读作“AB垂直于CD〞。假设垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O〞。

要点诠释：

(1)两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其中一条直线对另一

条直线的称呼，如图3，AB的垂线是CD，反之CD的垂线是AB。

(2)如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互

相垂直。

(3)根据两条直线互相垂直的定义可知，两条直线互相垂直，那么四个交角为直角，反之，假设两条直线交

角为直角，那么这两条直线互相垂直，这个推理过程可以写成(如图3)：

∵AB⊥CD

∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠DOA＝90°

反之，∵∠AOC＝90°，

∴AB⊥CD(垂直的定义)。

2．垂线的画法

过一点画直线的垂线，让直角三角板的一条直角边与直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过点，沿此直角边画直线，那么这条直线就是直线的垂线。

要点诠释：

〔1〕过直线上一点或直线外一点能画直线的垂线，并且只能画出一条垂线。

〔2〕如过一点画射线或线段的垂线时，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线反向延长线上或

在线段的延长线上，如图4。

3．垂线的性质

性质1：过一点有且只有一条直线与直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

垂线段的定义：如图5，P为直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，线段PO叫做垂线段，A、B为直线l上的两点，线段PA与PB叫做斜线段。

要点诠释：

(1)画直线的垂线可以画出无数条，但过一点画直线的垂线只能画出一条。

(2)直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而斜线段有无数条。

知识点三：点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图5，线段PO的长度，叫做点P到直线l的距离。

要点诠释：

垂线是直线，垂线段特指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的。

知识点四：同位角、内错角、同旁内角

如图6，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角〞。

①∠1与∠5，这两个角分别在AB、CD的上方，并且在EF的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角。

例如，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角。

②∠3与∠5，这两个角都在AB、CD之间，并且∠3在EF的左侧，∠5在EF的右侧，像这样的一对角叫做内

错角。例如，∠4与∠6是内错角。

③∠3和∠6在直线AB、CD之间，并且在EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角。例如，∠4与∠5是

同旁内角。

要点诠释：

(1)同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的。

(2)这三类角必须是由两条直线被第三条直线所截形成的。

(3)同位角特征：截线同旁；被截两线的同方向。

内错角特征：截线两旁；被截两线之间。

同旁内角特征：截线同旁；被截两线之间。

(4)这三类角是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，即∠1、∠2、∠3、

∠4中一个与∠5、∠6、∠7、∠8中一个，它们有可能成为同位角、内错角和同旁内角。

(5)两条直线被第三条直线截成的八个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。

(6)如何巧妙识别三线八角，下面介绍几种方法：

①巧记口诀来识别

可按以下口诀来识别：“一看三线，二找截线，三查位置来分辨〞。所谓“看三线〞：因为这三种

角是由两条直线被第三条直线所截而成的，所以，一组同位角(或内错角或同旁内角)的四条边应分

别在这三条直线上，否那么就一定不是这三种角。所谓“找截线〞：既然一对角的四条边分别在这三

条直线上，因此必定各有一条边共线，这条直线就是截线。“再以位置来分辨〞：同位角一定在截

线的“同旁〞，被截线的“同侧〞；内错角一定在两条被截线的“内部〞，在截线的“异侧〞；而

同旁内角一定在截线的“同旁〞，两条被截线的“内部。〞②借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别。如图7，在这个图形

中，具有“左上〞、“左下〞、“右上〞或“右下〞这样关系的一组角是“同位角〞;具有“左下〞

和“右上〞或具有“右下〞或“左上〞关系的一组解是“内错角〞；具有“左下〞和“左上〞或具

有“右下〞和“右上〞的一组关系的角是“同旁内角〞。可以认真结合图形揣摩体会一下。

三、规律方法指导

研究两条直线的位置关系时，重点是要研究一些图形的性质，如对顶角相等、垂线的性质，以及平行线的判定和性质等，对于一些定义，不要作严格的形式化的要求．教科书中邻补角、对顶角的概念都是结合图形，分析其位置关系给出的；垂直、平行的概念那么是承接了前面学过的概念．对于同位角、内错角、同旁内角的内容，教科书是在研究两条直线相交的根底上，进一步研究三条直线相交的角度引入的，主要是为接下来研究平行做准备。经典例题透析类型一：概念辨析1、以下语句：①两条直线相交，假设其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。

②一条直线的垂线有无数条。

③在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与直线垂直。

④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。

其中正确的选项是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

思路点拨：解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角〞及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与直线垂直〞来作判断。

①正确；②正确，过任意一点都可以作；③正确；④错误；必须是两个邻角相等，如图8。

答案：①②③。

总结升华：应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的要求：

①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直

角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；

②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与直线垂直，这条性质说明了直线

的垂线的“存在性〞和“唯一性〞，尤其值得注意的是性质中的“任意一点〞可能在这条直线

上，也可能在这条直线外。

举一反三：[变式1]判断正误：

1．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角。〔〕

2．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。〔〕

3．有一条公共边的两个角是邻补角。〔〕

4．如果两个角是邻补角，那么它们一定互补。〔〕

5．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角。〔〕

6．两条直线相交，假设有一组邻补角相等，那么这两条直线互相垂直。〔〕

7．假设两条直线相交所构成的四个角相等，那么这两条直线互相垂直。〔〕

8．一条直线的垂线只能画一条。〔〕

9．平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直。〔〕

10．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离。〔〕

解析：准确掌握数学概念是学好数学的关键。对于几何概念的学习也是如此。以上这些题目中的概念都是本单元中的重要概念。

第1、2题考查对顶角的概念。对顶角不仅要求有公共顶点，而且要求角的两边互为反向延长线，所以第1题是错误的，对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，所以第2题也是错误的。

第3、4、5考查邻补角的概念。有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，所以第3题是错误的。显然，第4题是正确的。第5题是错误的，例如：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角。应该还有一个条件，就是另一边互为反向延长线。

第6、7、8、9题考查垂直的概念。由于一组邻补角相等，所以相交所成的角是90°，第6题是正确的。假设两条直线所构成的四个角相等，由于四个角的和是360°，所以每个角都是直角，所以第7题是正确的。第8题是考查过一点有且只有一条直线与直线垂直，而此题中的一条直线的垂线只能画一条那么是错误的。第9题是正确的。

第10题考查点到直线的距离的概念。点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，也是点和垂足的距离，所以此题是正确的。

[变式2]以下各说法中正确的选项是()

(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；

(2)两条直线相交，假设有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直；

(3)两条直线相交，假设所成的四个角相等，那么这两条直线互相垂直；

(4)两条直线相交，假设有一组邻补角相等，那么这两条直线互相垂直。

A、1个B、2个C、3个D、4个

思路点拨：(1)是垂线定义，所以正确；(2)中有一组对顶角互补，而对顶角又相等，所以这两个角都为90°，故正确；(3)中相交两直线的四个角相等，所以这四个角都为90°，故也正确；(4)中有一组邻补角相等，而邻补角是互补的，所以这两个角都为90°，故也正确。

答案：D

2、如图9，找出图中的同位角、内错角、同旁内角。解析：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；

∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；

∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角。

总结升华：两条直线被第三条直线所截，要正确识别同位角、内错角、同旁内角，关键是找到三线，分清这些角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的，在截线的同旁找同位角、同旁内角，在截线的两旁找内错解。

举一反三：[变式]如图10，直线AB、CD、EF相交于点O，写出∠AOC、∠EOB的邻补角。

解析：∠AOC的邻补角是∠BOC和∠DOA，

∠EOB的邻补角是∠AOE和∠BOF.

类型二：对顶角、邻补角的有关计算3、如图11,直线a、b相交，∠1=2∠2，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数思路点拨：此题考查邻补角和对顶角的计算，要运用邻补角和对顶角的定义和性质。

解析：由于∠1与∠2是邻补角，所以∠1+∠2=180°，又因为∠1=2∠2，

所以2∠2+∠2=180°，

所以3∠2=180°，∠2=60°，∠1=120°，由于对顶角相等，可得：

∠2=∠4=60°；∠3=∠1=120°总结升华：邻补角的性质：邻补角互补；对顶角的性质：对顶角相等。

举一反三：[变式]假设∠α的邻补角为70°，那么∠α等于()

A、20°B、30°C、110°D、130°思路点拨：利用邻补角的性质，∠α＝180°－70°＝110°。

答案：C

类型三：与垂直有关计算4、如图12，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE与∠AOC的度数。思路点拨：利用垂直的定义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中某些角的大小。

解析：∵OF⊥AB，OE⊥CD()

∴∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直定义)

∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF＝90°－65°＝25°∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°。

∴∠AOC＝∠AOB－∠BOE－∠COE

＝180°－65°－90°＝25°。

总结升华：根据两条直线互相垂直的定义可知，两条直线互相垂直，那么四个交角为直角，反之，假设两条直线交角为直角，那么这两条直线互相垂直。

举一反三：[变式1]如图13。AO⊥OC。BO⊥DO。∠BOC＝30°，求∠AOD的度数。

解析：∵BO⊥DO()

∴∠BOD＝90°(垂直定义)

∵∠BOC＝30°()

∴∠COD＝60°

又∵OC⊥OA，

∴∠AOC＝90°∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°＋60°＝150°。

[变式2]如图14，从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA。假设∠BOP∶∠AOP＝2∶3，求∠AOB的度数。

解析：∵OP⊥OA。

∴∠AOP＝90°。

设∠BOP＝2x，那么∠AOP＝3x＝90°∴x＝30°∴∠AOB＝2x＋3x＝5x＝5×30°＝150°。

[变式3]〔10浙江宁波〕如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是内一点，，,那么的度数〔〕

(A)(B)(C)(D)

解析：因为

所以,又

所以，又C,O,D三点在一条直线上，

所以，又

所以类型四：几何作图问题5、如图15，∠BAC为钝角，(1)过点C画出AB的垂线；(2)过点A画BC的垂线；(3)过点B画AC的垂线。思路点拨：(1)过点C画AB的垂线，垂足在BA的延长线上；过点B画AC的垂线，垂足在CA的延长线上，(2)要利用三角板上的直角正确地画出图形；(3)画垂直时，要在垂足处标上垂直符号“〞解答：如图16。

举一反三：[变式]画图并答复：

⑴如图17，点P在∠AOC的边OA上

①过点P画OA的垂线交OC于点B

②画点P到OB的垂线段PM

⑵指出上述作图中哪一条线段的长度表示P点到OB边的距离

⑶比拟PM与OP的大小并说明理由。

解析：根据题意，可以画出图形，如图18所示。

〔1〕垂线PB为所画垂线，PM为所求线段。

〔2〕线段PM的长度是点P到OB边的距离。

〔3〕PM＜OP，因为连接直线OC外一点P与直线上的所有线段中，垂线段最短。类型五：综合提高6、观察以下图形，寻找对顶角〔不含平角〕．

〔1〕如图1，图中共有________对对顶角；

〔2〕如图2，图中共有________对对顶角；

〔3〕如图3，图中共有________对对顶角；

〔4〕研究〔1〕～〔3〕小题中直线条数与对顶角的关系，假设有n条直线相交于一点，那么可形成______对

对顶角；

〔5〕假设有180条直线相交于一点，那么可形成________对对顶角．

思路点拨：此题为找规律的题目，从2条直线相交形成的对顶角的对数为2对，3条直线交于一点的图形可以看成是“3个〞两条直线相交于一点的图形，为此对顶角的对数是2×3=6〔个〕；4条直线交于一点的图形可以看成是“6个〞两条直线相交于一点的图形，为此对顶角的对数是2×6=12〔个〕．从下表中发现：直线条数234…n对顶角个数2=1×26=2×312=3×4…(n-1)×n解：〔1〕如图1，图中共有2对对顶角．

〔2〕如图2，图中共有6对对顶角．

〔3〕如图3，图中共有12对对顶角．

〔4〕研究〔1〕～〔3〕小题中直线条数与对顶角的关系，假设有n条直线相交于一点，

那么可形成(n-1)n对对顶角。

〔5〕假设有180条直线相交于一点，那么可形成32220对对顶角。

总结升华：找规律的题目必须看清序号n与对应式子之间的变化关系。

举一反三：[变式]〔2023湖北黄石〕平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，假设平面上不同的n个点最多可确定21条直线，那么n的值为()

A.5B.6C.7D.8

解析：设有n个点时，

解得：或〔舍去〕．

应选C．

【答案】C

7、如下图，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。思路点拨：要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是平角，从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共局部，所以只要证明它们的非公共局部相等，即∠AOM和∠BON相等。因为OM和ON分别是∠AOC和∠BOD的平分线，所以∠AOM=，，只要∠AOC=∠BOD，此题得证。

解：因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD〔〕，所以∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON〔角平分线定义〕。

因为∠AOC=∠BOD〔对顶角相等〕，所以∠AOM=∠BON〔等量代换〕。

因为∠AON+∠BON=180°〔平角定义〕，所以∠MON=∠AON+∠AOM=180°〔等量代换〕，

所以OM和ON共线。

总结升华：这是说明三点共线的一种方法，应好好掌握。学习成果测评根底达标：

一、选择题：

1．以下四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形共有〔〕

A、0个B、1个C、2个D、3个

2．以下说法中，正确的个数为〔〕

⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角

⑵相等的两个角是对顶角

⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等

⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角

⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

A、1个B、2个C、3个D、4个

3．以下四个说法中，正确的说法有〔〕

⑴相等且互补的两个角都是直角

⑵两个角互补，那么它们的角平分线的夹角为直角

⑶两个角互为邻补角，那么它们角平分线的夹角为直角

⑷一个角的两个邻补角是对顶角

A、0个B、1个C、2个D、3个

4．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，那么点到直线

l的距离是〔〕

A、2cmB、不小于2cmC、不大于2cmD、4cm

5．垂线的一个性质是〔〕

A、过一点有一条直线与直线垂直B、过一点只有一条直线与直线垂直

C、过一点有且只有一条直线与直线垂直D、过一点能画出一条直线与直线垂直

6．如图，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，那么A点到BC，D点到

AB、AC的距离是〔〕

A、BD，DC，ADB、DA，DE，DF

C、BD，DC，AD的长度D、DA，DF，DE的长度

7．(2023湖南邵阳)如下图，O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，那么∠2的度数是〔〕

A、20°B、25°C、30°D、70°

8．〔2023台湾全区〕假设△ABC中，2〔∠A＋∠C〕＝3∠B，那么∠B的外角度数为何？()

A、36°B、72°C、108°D、144°

二、填空题：

1．将一个角的两边分别反向延长，形成一个新的角，这个角与原来的角是______________，将一个角

的一边反向延长，这条反向延长线与另一边构成一个角，所得的角与原来的角______________；

2．如图，直线AB、CD相交于点O，假设∠AOD比∠AOC大40°，那么∠BOD=________；

假设∠AOD=2∠AOC，那么∠BOC=______；假设∠AOD=∠AOC，那么∠BOD=_______；

3．如图，直线AB、CD、EF相交于O，假设∠1=20°，∠2=40°，那么∠3=_______，∠4=________，

∠5=______________.

4．假设直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠BOD的和为220°，那么∠BOD的度数为______________；

5．如图1，三条直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD

⑴假设∠COE=35°，∠AOE=______________，∠BOE=______________

⑵假设∠DOF=35°，∠BOF=______________，∠EOC=______________；

6．如图2，假设OE⊥AB，∠2比∠1大70°那么∠AOC=______________，∠BOC=______________；

7．如图3，OA⊥OB，OD⊥OC，假设∠AOC=32°那么∠BOD=______________；

三、解答题：

1．如图直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，假设∠3∶∠2=8∶1，求∠AOC的度数

2.如图∠AOD=90°，OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线，假设∠AOB=40°，求∠COE的度数

3．如图，画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F。

4．如图，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD；

⑴求∠AOC的度数；

⑵推测OD与AB的位置关系，并说明理由。

答案与解析：

一、1．B2．C3．D4．C5．C6．D7．D8.C

解析：

第1题：考查看图能力和对顶角的概念。

第2题：考查对顶角的概念。正确的选项是：〔3〕〔4〕〔5〕，共3个。

第3题：考查邻补角的概念，正确的选项是：〔1〕〔3〕(4),共3个。

第4题：考查点到直线的距离的概念。由“垂线段最短〞可知，距离应小于等于2

第5题：考查“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞。

第6题：考查垂线段的概念，应会看图，把握垂直的本质。

第7题：提示：∠1+2∠2=180°，∠1=40°，故∠2=70°。

第8题：提示：利用三角形的内角和180°进行化简。

二、

1．相等，互补2．70°，120°，90°3．20°，40°，120°4．110°

5．〔1〕55°，125°〔2〕55°，35°6．10°，170°7．32°解析：

第7题：根据题意可知：∠BOD和∠AOC都是∠BOC的余角，由同角的余角相等，得到：

∠BOD=∠AOC=32°

三、

1．解：由∠3∶∠2=8∶1，设∠2＝ｘ，那么∠3=8x,OE平分∠BOD,∠1＝∠2＝ｘ,

由邻补角定义可得：所以

由对顶角相等可得：∠AOC=∠DOB=∠1+∠2=36°2．解：∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°-40°=50°，

由OD为∠BOC的平分线可得：∠BOC=50°×2=100°

由邻补角定义可得：∠COE＝

3．解：图略，线段AE、CF为所求线段。

4．解：〔1〕∠BOC=3∠AOC，由邻补角定义可得：

〔2〕OC平分∠AOD，所以：∠AOD=90°，由垂直定义可得：OD与AB互相垂直。

能力提升：

一、选择题：

1．如图，∠ADE和∠CED是〔〕

A、同位角B、内错角C、同旁内角D、互为补角

2．在以下图中，∠1,∠2是对顶角的图形是〔〕

3．以下语句中，正确的选项是〔〕

A、相等的角一定是对顶角B、互为补角的两个角不相等

C、两边互为反向延长线的两个角是对顶角D、交于一点的三条直线形成3对对顶角

4．如图，∠1=15°,∠AOC=90°，点B、O、D在同一直线上，那么∠2的度数为〔〕

A、75°B、15°

C、105°D、165°

5．如图，CD⊥AB，AC⊥BC，能表示点到直线〔或线段〕距离的线段有〔〕

A、2条B、3条

C、4条D、5条

6、以下命题中，错误的选项是〔〕

A、邻补角是互补的角B、互补的角假设相等，那么此两角是直角

C、两个锐角的和是锐角D、一个角的两个邻补角是对顶角

7、图中，与∠1成同位角的个数是〔〕

A、2个B、3个

C、4个D、5个

8．(2023湖北十堰)如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，假设AC⊥A’B’，那么∠BAC等

于〔〕

A．50°B．60°C．70°D．80°

9．〔2023河北〕如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，那么∠A等于〔〕

A．60°

B．70°

C．80°

D