七年级数学考点大串讲（人教版）：第1章 有理数（易错必刷30题14种题型专项训练）（解析版）

第1章有理数（易错必刷30题14种题型专项训练）正数和负数有理数数轴相反数绝对值有理数大小比较有理数的减法有理数的乘法有理数的乘方非负数的性质：偶次方有理数的混合运算科学记数法—表示较大的数实数大小比较规律型：数字的变化类一．正数和负数（共4小题）1．（2022秋•霍林郭勒市校级月考）如果向东走6km，记作+6km，那么﹣3km表示（）A．向西走3km B．向北走3km C．向南走3km D．向东走3km【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可．【解答】解：如果向东走6km，记作+6km，那么﹣3km表示向西走3km．故选：A．【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．2．（2022秋•桂林月考）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作﹣3℃．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．【解答】解：∵零上2℃记作+2℃，∴零下3℃记作﹣3℃．故答案为：﹣3℃．【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3．（2022秋•惠济区期中）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣1（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定相距O多少千米；（2）分别写出各次记录时距离O地的距离，然后判断即可；（3）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.2升，即可求解．【解答】解：（1）﹣4+7+（﹣9）+8+6+（﹣5）+（﹣1）＝2（千米）．答：收工时检修小组在O地东面2千米处；（2）第一次距O地|﹣4|＝4千米；第二次：|﹣4+7|＝3（千米）；第三次：|3﹣9|＝|﹣6|＝6（千米）；第四次：|﹣6+8|＝2（千米）；第五次：|2+6|＝8（千米）；第六次：|8﹣5|＝3（千米）；第七次：|3﹣1|＝2（千米）．所以距O地最远的是第5次；（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+6|+|﹣5|+|﹣1|＝40；从出发到收工共耗油：40×0.2＝8（升）．答：从出发到收工共耗油8升．【点评】此题分别考查了有理数的加法、正数和负数的意义及绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义即可解决问题．4．（2022秋•福清市校级月考）超市购进8筐白菜，以每筐25kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5．（1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？（2）这8筐白菜一共多少千克？（3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？【分析】（1）8筐白菜总计超过或不足的重量即是正负数相加的结果；（2）8筐白菜总计超过或不足的重量即是正负数相加的结果，再加上标准重量，即得总共重量；（3）白菜每千克售价3元，再乘以8筐白菜的总重量，即可求出出售这8筐白菜可卖多少元，算出打九折的价钱，相减可得便宜了多少钱．【解答】解：（1）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克），答：以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计不足5.5千克；（2）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克），25×8﹣5.5＝194.5（千克），答：这8筐白菜一共194.5千克；（3）194.5×3＝583.5（元），583.5×（1﹣0.9）＝58.35（元）．答：这8筐白菜现价比原价便宜了58.35元．【点评】本题考查了有理数的运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量．二．有理数（共1小题）5．（2022秋•旌阳区校级月考）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：﹣2，﹣20%，﹣0.13，，10，，21，6.2，4.7，﹣8．正整数：{10，21…}；负整数：{﹣2，﹣8…}；正分数：{，6.2，4.7…}；负分数：{﹣20%，﹣0.13，…}．【分析】根据有理数的分类，即可解答．【解答】解：正整数：{10，21…}；负整数：{﹣2，﹣8…}；正分数：{，6.2，4.7…}；负分数：{﹣20%，﹣0.13，…}，故答案为：10，21；﹣2，﹣8；，6.2，4.7；﹣20%，﹣0.13，．【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．三．数轴（共3小题）6．（2022秋•隆昌市校级月考）数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（）A．1 B．5 C．1或﹣5 D．1或5【分析】在数轴上表示出P点，找到与点P距离3个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点﹣2的左侧或右侧．【解答】解：如图：根据数轴可以得到在数轴上与点P距离3个长度单位的点所表示的数是：﹣5或1．故选：C．【点评】此题主要考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．7．（2022秋•雁塔区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|+|b﹣c|的值是（）A．2c﹣3a B．a C．2c﹣a D．2c﹣2b【分析】由图可知，a＜0，b＜0，c＞0，|b|＞|a|＞|c|，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案．【解答】解：由图可知a＜0，b＜0，c＞0，|b|＞|a|＞|c|，a﹣b＝a+（﹣b）＞0，c﹣a＝c+（﹣a）＞0，b﹣c＝b+（﹣c）＜0，∴|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|+|b﹣c|＝（﹣a）﹣（a﹣b）+（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣a+b+c﹣a﹣b+c＝﹣3a+2c．故选：A．【点评】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项的有关知识，是一道很好的综合题．8．（2022秋•广信区月考）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：|a+c|+|b﹣c|﹣|c﹣b|．【分析】根据数轴得出c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|，由此对所求式子先去掉绝对值，再合并同类项即可．【解答】解：从数轴可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|，∴a+c＜0，b﹣c＞0，c﹣b＜0，∴|a+c|+|b﹣c|﹣|c﹣b|＝﹣a﹣c+b﹣c﹣（﹣c+b）＝﹣a﹣c+b﹣c+c﹣b＝﹣a﹣c．【点评】本题考查了实数的大小比较，有理数的加法和减法，绝对值，数轴等知识点，能根据数轴得出c＜b＜0＜a和|c|＞|b|＞|a|是解此题的关键．由绝对值的含义可直接得出|b﹣c|﹣|c﹣b|＝0．四．相反数（共1小题）9．（2022秋•齐河县校级月考）的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】先根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，再根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．【解答】解：∵|﹣|＝，∴﹣|﹣|＝﹣，∴﹣|﹣|的相反数是．故选：D．【点评】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，计算时要注意符号的处理．五．绝对值（共1小题）10．（2022秋•启东市校级月考）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2【分析】利用m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6，可得出m，n的值，再代入求解即可．【解答】解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6，∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6，∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10．故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是求出m，n的值．六．有理数大小比较（共3小题）11．（2022秋•连山区月考）在有理数0，2，﹣1，﹣2中，最小的数是（）A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据“正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可．【解答】解：因为|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，所以﹣2＜﹣1＜0＜2，所以其中最小的数是﹣2．故选：D．【点评】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．12．（2022秋•高明区月考）写出一个比﹣3大的负整数为﹣2（或﹣1）．【分析】根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大可得答案．【解答】解：比﹣3大的负整数为﹣2和﹣1．故答案为：﹣2（或﹣1）．【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握数轴上的数，右边的总比左边的大．13．（2022秋•阿图什市校级月考）在数轴上把下列各数表示出来，并用小于符号从小到大排列出来﹣2，0，|﹣4|，0.5，﹣5，﹣（﹣3）．【分析】在数轴上准确找出各数对应的点，然后按照从左到右的顺序排列即可解答．【解答】解：在数轴上表示下列各数如图所示：∴﹣5＜﹣2＜0＜0.5＜﹣（﹣3）＜|﹣4|．【点评】本题考查了相反数，绝对值，数轴，有理数大小比较，在数轴上准确找出各数对应的点是解题的关键．七．有理数的减法（共1小题）14．（2022秋•扬州月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；＝；＝．观察上述式子的特征，解答下列问题：（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①|23﹣47|＝47﹣23；②＝﹣；（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；（3）计算：．【分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简；（2）根据绝对值的意义进行化简；（3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算．【解答】解：（1）①|23﹣47|＝47﹣23；②＝﹣；故答案为：47﹣23，﹣；（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；故答案为：a﹣b，b﹣a；（3）原式＝1﹣+﹣+﹣+•••+﹣＝1﹣＝．【点评】本题考查有理数的加减运算，理解绝对值意义，掌握有理数加减运算法则，探索数字变化规律是解题关键．八．有理数的乘法（共1小题）15．（2022秋•南安市月考）如果两数之和是负数，且它们的积是负数，那么（）A．这两个数都是负数 B．这两个数都是正数 C．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大 D．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大【分析】根据有理数的加法判断出这两个数的正负情况，然后根据有理数的乘法运算法则解答．【解答】解：∵两数之和为负数，∴这两个数可能是两个负数，一正一负，零和负数，∵它们的积是负数，∴这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则并判断出两个数的情况是解题的关键．九．有理数的乘方（共2小题）16．（2021秋•香洲区校级月考）下列说法正确的是（）A．倒数等于它本身的数只有1 B．平方等于它本身的数只有1 C．立方等于它本身的数只有1 D．正数的绝对值是它本身【分析】根据倒数，平方，立方，绝对值的概念．【解答】解：A、倒数等于它本身的数有1和﹣1，错误；B、平方等于它本身的数有1和0，错误；C、立方等于它本身的数有1和﹣1和0，错误；D、正数的绝对值是它本身，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了倒数，平方，立方，绝对值的概念，对这些概念性的知识学生要牢固掌握．17．（2022秋•桂林月考）下列各数中，互为相反数的是（）A．|﹣1|和1 B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和【分析】根据相反数，绝对值，有理数的乘方化简各选项中的数，根据相反数的定义判断即可得出答案．【解答】解：A选项，1和1不是相反数，故该选项不符合题意；B选项，﹣3和2不是相反数，故该选项不符合题意；C选项，4和﹣4是相反数，故该选项符合题意；D选项，﹣3和不是相反数，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．一十．非负数的性质：偶次方（共1小题）18．（2022春•南岗区校级月考）已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba＝9．【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3．∴ba＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．一十一．有理数的混合运算（共8小题）19．（2022秋•怀柔区校级月考）如果a＞0，那么下面各式计算结果最大的是（）A． B． C． D．【分析】根据有理数的乘法，除法法则，有括号先算括号里，进行计算即可解答．【解答】解：A、a×（1+）＝a；B、a÷（1+）＝a；C、a×（1﹣）＝a；D、a÷（1﹣）＝a；∵a＞0，∴a＞a＞a＞a，∴计算结果最大的是D，故选：D．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（2022秋•西城区校级月考）（1）﹣5+1﹣（﹣2）；（2）（﹣）2+8×（﹣）；（3）（+﹣）÷（﹣）；（4）[﹣33×（）2﹣|﹣1|]×（﹣）．【分析】（1）先把有理数的减法转化为加法，然后再利用加法结合律，进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；（3）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律进行计算即可解答；（4）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．【解答】解：（1）﹣5+1﹣（﹣2）＝﹣5+1+2＝﹣5+（1+2）＝﹣5+4＝﹣1；（2）（﹣）2+8×（﹣）＝+（﹣12）＝﹣11；（3）（+﹣）÷（﹣）＝（+﹣）×（﹣12）＝﹣×12﹣×12+×12＝﹣7﹣8+3＝﹣15+3＝﹣12；（4）[﹣33×（）2﹣|﹣1|]×（﹣）＝（﹣27×﹣）×（﹣）＝（﹣3﹣）×（﹣）＝﹣×（﹣）＝10．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．（2022秋•朝阳区校级月考）计算（能用简便方法的用简便方法）：（1）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用加法交换律和结合律，进行计算即可解答；（2）先把有理数的减法转化为加法，然后再利用加法交换律和结合律，进行计算即可解答；（3）利用乘法交换律和结合律，进行计算即可解答；（4）利用乘法分配律，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）＝[（﹣3）+（﹣17）]+[12+（+8）]＝（﹣20）+20＝0；（2）＝0.25++（﹣）+（﹣0.25）+（﹣）＝[0.25+（﹣0.25）]+[+（﹣）]+（﹣）＝0+（﹣）+（﹣）＝﹣1；（3）＝[（﹣8）×（﹣1.25）]×[9×（﹣）]＝10×（﹣1）＝﹣10；（4）＝36×﹣36×+36×＝16﹣30+21＝﹣14+21＝7．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．（2022•越秀区校级开学）39×+148×+48×．【分析】逆用乘法分配律进行计算，即可解答．【解答】解：39×+148×+48×＝39×+86×+24×＝（39+86+24）×＝149×＝148．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．23．（2022•越秀区校级开学）．【分析】先把除法转化为乘法，然后再逆用乘法分配律计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：＝（3.85×+6.15×）×＝（3.85+6.15）××＝10××＝．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．24．（2022秋•宛城区校级月考）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5﹣0.2500.250.30.5箱数1246n2（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量：（2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；（3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元．【分析】（1）根据总箱数和已知箱数求出n，求出新数的和再加200千克即可；（2）根据销售额＝销售单价×总数量计算即可；（3）根据销售额＝销售单价×总数量×销售比例计算即可．【解答】解：（1）n＝20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2＝5（箱），10×20+（﹣0.5）×1+（﹣0.25）×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2＝203（千克）；答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克；（2）25×203﹣200×20＝1075（元）；答：全部售出可获利1075元；（3）25×203×60%+25×203×（1﹣60%）×70%﹣200×20＝466（元）．答：是盈利的，盈利466元．【点评】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（2022秋•朝阳区校级月考）对于任意的非零有理数a，b，定义：，解决以下问题：（1）计算（﹣3）*4；（2）计算（﹣6）*2*（﹣3）；（3）请你举例验证一下交换律即a*b＝b*a在这一运算中是否成立．（举一个例子即可）．【分析】（1）按照定义的新运算，进行计算即可解答；（2）按照定义的新运算，进行计算即可解答；（3）按照定义的新运算，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：（﹣3）*4＝﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）由题意得：（﹣6）*2*（﹣3）＝（﹣1）*（﹣3）＝（﹣﹣1）*（﹣3）＝（﹣1）*（﹣3）＝﹣1＝3×﹣1＝﹣1＝；（3）a*b＝b*a不成立，举例如下：（﹣3）*4＝﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；4*（﹣3）＝﹣1＝﹣﹣1＝﹣1；∵﹣2≠﹣1，∴（﹣3）*4≠4*（﹣3），∴a*b＝b*a不成立．【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．26．（2022秋•庐江县期中）小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]；（3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．【分析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值；（2））根据（1）运算规律进行计算即可；（3）举例进行验证即可．【解答】解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值．故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17；（3）结合律不适用．例如[（﹣3）⊗（﹣4）]⊗0＝7，（﹣3）⊗[（﹣4）⊗0]＝﹣7，∴[（﹣3）⊗（﹣4）]⊗0≠（﹣3）⊗[（﹣4）⊗0]，故结合律不适用．【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键．一十二．科学记数法—表示较大的数（共2小题）27．（2022秋•沈丘县月考）2021年末河南省常住人口9883万人，其中城镇常住人口5579万人，乡村常住人口4304万人；常住人口城镇化率为56.45%，比上年末提高1.02个百分点，数据“9883万”用科学记数法可以表示为（）A．9.883×107 B．9.883×108 C．98.83×107 D．98.83×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：9883万＝98830000＝9.883×107．故选：A．【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．28．（2022秋•茅箭区校级月考）据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为3.2×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，